习题4 参考答案

第四章企业设立的税收筹划（习题及参考答案）复习思考题1. 居民企业与非居民企业的税收政策有何差异？参考答案：居民企业的税收政策：居民企业负担全面的纳税义务。

居民企业应当就其来源于中国境内、境外的所得缴纳企业所得税。

所得，包括销售货物所得、提供劳务所得、转让财产所得、股息红利等权益性投资所得、利息所得、租金所得、特许权使用费所得、接受捐赠所得和其他所得。

非居民企业的税收政策：第一，非居民企业在中国境内设立机构、场所的，应当就其所设机构、场所取得的来源于中国境内的所得，以及发生在中国境外但与其所设机构、场所有实际联系的所得，缴纳企业所得税。

这里所说的实际联系，是指非居民企业在中国境内设立的机构、场所拥有据以取得所得的股权、债权，以及拥有、管理、控制据以取得所得的财产等。

第二，非居民企业在中国境内未设立机构、场所的，或者虽设立机构、场所但取得的所得与其所设机构、场所没有实际联系的，应当就其来源于中国境内的所得缴纳企业所得税。

第三，我国企业所得税的法定税率是25%，对于符合税收减免政策的小微企业额，按20%的税率征收所得税;国家需要重点扶持的高新技术企业，减按15%的税率征收企业所得税;非居民企业适用税率为20%,减按10%的优惠税率或协定税率征收企业所得税。

2. 子公司与分公司的税收政策有何差异？参考答案：子公司因其具有独立法人资格，而被所在国视为居民企业，通常要履行与该国其他居民企业一样的全面纳税义务，同时也能享受所在国为新设公司提供的免税期或其他税收优惠政策。

分公司是指公司独立核算的、进行全部或部分经营业务的分支机构，如分厂、分店等。

分公司是企业的组成部分，没有独立的财产权，不具有独立的法人资格，其经营活动所有后果均由总公司承担。

设立分公司有如下税收筹划优势：一是分公司与总公司之间的资本转移因不涉及所有权变动，不必纳税；二是分公司交付给总公司的利润不必纳税；三是经营初期分公司的经营亏损可以冲抵总公司的利润，减轻税收负担。

第四章网络层1.网络层向上提供的服务有哪两种？是比较其优缺点。

网络层向运输层提供“面向连接”虚电路（Virtual Circuit）服务或“无连接”数据报服务前者预约了双方通信所需的一切网络资源。

优点是能提供服务质量的承诺。

即所传送的分组不出错、丢失、重复和失序（不按序列到达终点），也保证分组传送的时限，缺点是路由器复杂，网络成本高；后者无网络资源障碍，尽力而为，优缺点与前者互易2.网络互连有何实际意义？进行网络互连时，有哪些共同的问题需要解决？网络互联可扩大用户共享资源范围和更大的通信区域进行网络互连时，需要解决共同的问题有：不同的寻址方案不同的最大分组长度不同的网络接入机制不同的超时控制不同的差错恢复方法不同的状态报告方法不同的路由选择技术不同的用户接入控制不同的服务（面向连接服务和无连接服务）不同的管理与控制方式3.作为中间设备，转发器、网桥、路由器和网关有何区别？中间设备又称为中间系统或中继(relay)系统。

物理层中继系统：转发器(repeater)。

数据链路层中继系统：网桥或桥接器(bridge)。

网络层中继系统：路由器(router)。

网桥和路由器的混合物：桥路器(brouter)。

网络层以上的中继系统：网关(gateway)。

4.试简单说明下列协议的作用：IP、ARP、RARP和ICMP。

IP协议：实现网络互连。

使参与互连的性能各异的网络从用户看起来好像是一个统一的网络。

网际协议IP是TCP/IP体系中两个最主要的协议之一，与IP协议配套使用的还有四个协议。

ARP协议：是解决同一个局域网上的主机或路由器的IP地址和硬件地址的映射问题。

RARP：是解决同一个局域网上的主机或路由器的硬件地址和IP地址的映射问题。

ICMP：提供差错报告和询问报文，以提高IP数据交付成功的机会因特网组管理协议IGMP：用于探寻、转发本局域网内的组成员关系。

5.IP地址分为几类？各如何表示？IP地址的主要特点是什么？分为ABCDE 5类;每一类地址都由两个固定长度的字段组成，其中一个字段是网络号net-id，它标志主机（或路由器）所连接到的网络，而另一个字段则是主机号host-id，它标志该主机（或路由器）。

第4次 习题参考答案2010春7．已知类氢离子某一激发态的径向波函数.()n l R r 及球谐函数(,)l m Y θϕ分别为：请回答下列问题：（1）确定轨道名称；（2）计算原子轨道能、势能<V>与动能<T>；（3）计算轨道角动量l M 、轨道磁矩l u ；（4）列出计算电子离核平均距离的公式；（5）画出径向分布示意图；（6）画出轨道的角度分布分布示意图；（7）确定节面的形状、数目与位置；（8）分别确定以下三个极大值的位置：概率密度极大值、径向分布极大值、角度分布极大值。

（9）计算轨道角动量与z 轴的夹角。

答：(1)由径向波函数的形式（指数部分）可推知n =3，由球谐函数的形式（cosθ项），可推知该轨道为p z ，则n =3, l =1, m =0，该类氢离子中的电子所处轨道为 (2) 轨道能E 2222213.613.6 1.51()3Z Z Z eV n =-=-=-; ，＋，由根据eV Z V V T 22151.1-=-=可知eV Z T eV Z V 2251.102.3=-=， (3) 轨道角动量(1)2l M l l ==;轨道磁矩(l B B u l l ==(4)考虑到角度部分的波函数已归一化，则上式可写成：222323,.,0000()(,)sin ()n l l m n l r r r R r Y r d d dr R r r dr ππθϕθϕθθϕ∞∞====<>==⎰⎰⎰⎰ (5) (6) 3p z 轨道电子云径向分布、角度分布、空间分布图如下所示.(7) 2个节面，一个为半径为r 节面的球面，一个为xy 平面。

(8) 几率极大值：z 轴上离原子核（即坐标原点）r 0距离的位置。

径向分布极大值：在半径为r 0的球面上。

角度分布极大值：在z 轴方向。

(9)30,z p m =轨道， 0lz M m ==，轨道角动量与z 轴的夹角为90°。

Unit FourHuman PhysiologySection A1—c 2—g 3—h 4—b 5—i6—a 7—f 8—e 9—j 10—dSection BPassage 1I. Reading Comprehension1.What does physiology deal with?Physiology is the study of processes and functions in living organisms. It is a broad field that encompasses many disciplines and has strong roots in physics, chemistry, and mathematics. The scope of physiology ranges from the activities or functions of individual molecules and cells to the interaction of our bodies with the external world. An important part of physiology is understanding how different parts of the body are controlled, how they interact, and how they adapt to changing conditions.2.What are the common characteristics of different forms of cells?Though cells differ widely in form and function, they all have certain common characteristics. First, they are bounded by a limiting membrane, the plasma membrane. Secondly, they have the ability to break down large molecules to smaller ones to liberate energy for their activities. Thirdly, at some point in their life history, they possess a nucleus which contains genetic information in the form of deoxyribonucleic acid.3.Could you describe the functions of the right ventricle and the left ventricle?Contractions of the right ventricle propel deoxygenated blood through the lungs where it absorbs oxygen from the air, while the left ventricle pumps oxygenated blood returning from the lungs to the rest of body to supply the tissues.4.How do you understand the concept of balance in the human body?The concept of balance is very important to human body. It can be applied to any of the body constituents including water and salt. Intake must match requirements and any excess must be excreted to maintain balance. If balance can’t be maintained well, sickness even death may happen.5.What are two coordinating systems and how do they perform their functions?Two coordinating systems are the nervous system and the endocrine system. The nervous system coordinates the movements of the limbs and body, stimulates themuscles to contract, and senses muscle tension and limb position. The endocrine system helps adjust blood flow and the supply of various metabolic substrates to the working muscles. The endocrine system produces hormones which travel in the bloodstream to the cells upon which they exert a regulatory effect.6—A 7—A 8—D 9—B 10—DII. Vocabulary StudyPart A1—platelets 2—physiological 3—Extracellular 4—nitrogen 5—Indigestible 6—urinary 7—lymphatic 8—glycogen 9—deoxygenated 10—oxidationPart B1—excrete 2—Evolution 3—stabilize 4—locomotion5—notion 6—dysfunction 7—intricate 8—endowed9—liberate 10—exquisitelyIII. TranslationPart A1.The success of physiology in explaining how organisms perform their daily tasksis based on the notion that they are intricate and exquisite machines whose operation is governed by the laws of physics and chemistry.生理学成功地解释了生物体如何进行日常活动，基于的观点是生物体好比是结构复杂而灵巧的机器，其运行机制受物理和化学规律的调控。

第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。

,.习题4参考答案4.1 简述汇编语言与机器语言及高级语言间的区别？参考答案：要点：汇编语言与机器语言的区别：汇编语言采用符号表示，机器语言二进制表示。

汇编语言与高级语言的区别：汇编语言属于低级语言，每条指令与对应的机器指令间是一一对应关系，而高级语言接近于自然语言。

4.2 简述汇编语言程序的指令语句与伪指令语句在写法及功能上的不同？参考答案：要点：写法上的不同主要表现在第一部分上，一条指令的第一部分“标号”若需要，则在标号后面一定有冒号“：”，而伪指令语句的第一部分在“名字”后没有冒号“：”。

功能上的不同：每一条指令都有对应的机器指令，在程序运行过程中执行到每条指令时起作用；伪指令没有对应的机器指令，是在程序汇编时起作用。

4.3 汇编语言程序的标号有何规定？标号有哪三种属性？参考答案：略4.4 汇编语言程序的变量如何定义？变量有哪三种属性？参考答案：略4.5 汇编语言程序中，算术表达式、逻辑表达式、关系表达式各有什么含义？参考答案：略4.6 简述汇编语言程序上机的基本步骤和每步所进行的主要操作？参考答案：略,.4.7 设TABLE为数据段中0100H单元的符号名，其中存放的内容为FF00H，试分析以下两条指令分别执行后的结果，并指出它们之间的区别？MOV AX,TABLEMOV AX,OFFSET TABLE参考答案：第一条指令传送的是TABLE所指单元的内容，AX结果为FF00H；第二条指令传送的是TABLE的偏移地址，AX结果为0100H。

4.8 设有如下的变量定义：DATA SEGMENTARRAY DW 1000H,2000H,3000H,4000H,5000HBUF DW ？DATA ENDS请分别完成以下操作（1）用一条指令完成将ARRAY的偏移地址送BX（2）用一条指令完成将ARRAY的第一字节单元内容送AL（3）用一条指令完成将ARRAY定义的数据个数送CX参考答案：（1）LEA BX,ARRAY（2）MOV AL，BYTE PTR ARRAY（3）MOV CX，（BUF- ARRAY）/24.9 已知一数据段中的数据定义如下：,.DATA SEGMENTSTR1 DB 1,2,3,4,5STR2 DB ‘12345’CONT EQU 20NUMB DB 3 DUP(6)NUMW DW 20H,-80HTABLE DW 0DATA ENDS试根据以上数据段的定义，指出下列每小题指令中的错误或者用得不当的指令。

第四章习题解答（仅供参考）4—1 若有两个无符号数。

、x y 分别存放在内部存储器50H 、51H 单元中，试编写一个程序实现10⨯+x y ，结果存人52H 、53H 两个单元中。

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 习题4-1 参考答案 ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ORG 0000HSJMP STARTORG 0030HSTART: MOV A,50HMOV B,#10MUL AB ;(50H)x10积的高、低字节分别在B 、A 中ADD A,51HMOV 53H,A ;积的低字节加（51H ）其和存放在53H 中MOV A,#00HADDC A,BMOV 52H,A ;积的高字节加进位位存放在52H 中。

SJMP $4—2 从内部存储器20H 单元开始，有30个数据。

试编一个程序，把其中的正数、负数分别送51H 和71H 开始的存储单元，并分别记下正数、负数的个数送50H 和70H 单元。

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 习题4-2 参考答案 ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ORG 0000HSJMP STARTORG 0030HSTART: MOV 1EH,#51H ;正数存放首地址51H 存暂存于1EH 单元MOV 1FH,#71H ;负数存放首地址71H 存暂存于1EH 单元MOV R0,#20H ;建立取数（源操作数）的地址指针MOV R2,#30 ;预置数据长度MOV 50H,#00H ;正数个数统计单元清零MOV 70H,#00H ;负数个数统计单元清零LOOP: MOV A,@R0 ;取数JB ACC.7,NEG ;是负数转 NEG 处理POSI: MOV R1,1EH ;是正数，将暂存的地址送R1（间址寄存器）MOV @R1,A ;将正数入存INC 50H ;正数个数加1INC 1EH ;正数暂存地址加1修正LOOP1: INC R0 ;取数地址加1修正DJNZ R2,LOOP ;计数长度减1，不等于零，继续循环统计SJMP $ ; 结束NEG: MOV R1,1FH ;是负数，将暂存的地址送R1（间址寄存器）MOV @R1,A ;将负数入存INC 70H ;负数个数加1INC 1FH ;负数暂存地址加1修正SJMP LOOP1 ;转取数地址修正4—3 内部存储单元40H中有一个ASCII码字符，试编一程序，给该数的最高位加上奇校验。