沪教版(上海)数学七年级第二学期14.4 全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助线 教案

全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而解决全等三角形相关问题时，截长补短法是一种非常实用且巧妙的方法。

首先，咱们来聊聊什么是截长补短法。

简单来说，截长补短就是通过在图形中截取或者延长某条线段，使得图形中的线段关系发生变化，从而构造出全等三角形，帮助我们解决问题。

比如说，有一个三角形 ABC，其中∠B ＝ 2∠C，要证明 AB ＝ AC ＋ CD。

这时候，我们就可以考虑使用截长补短法。

如果使用截长的思路，就在 AB 上截取 AE ＝ AC，然后连接 DE。

这样一来，因为 AE ＝AC，再加上公共边 AD，以及已知的∠CAD ＝∠EAD，就可以证明△ACD 和△AED 全等。

然后通过一系列的角度推导，就能得出结论。

要是用补短的方法呢，就是延长 AC 至 E，使 CE ＝ CD，连接 DE。

通过角度关系证明∠E ＝∠CDE，进而得出∠B ＝∠BDE，再证明△ABD 和△AED 全等。

接下来，咱们通过几个具体的例子来更深入地理解截长补短法。

例 1：在△ABC 中，AB ＞ AC，AD 平分∠BAC，P 为 AD 上一点。

求证：AB AC ＞ PB PC。

我们来用截长的方法解决。

在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 PE。

因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。

又因为 AE ＝ AC，AP 是公共边，所以△APE ≌△APC。

那么 PC ＝ PE。

在△PBE 中，根据三角形两边之差小于第三边，有 PB PE ＜ BE。

而 BE ＝ AB AE ＝ AB AC，所以 AB AC ＞ PB PC。

例 2：已知在正方形 ABCD 中，∠MAN ＝ 45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。

求证：BM ＋ DN ＝MN。

这道题我们用补短的方法。

延长 CB 至 E，使 BE ＝ DN，连接 AE。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．知识点睛中考要求第九讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2、如图，AD ∥BC ， AE, BE 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC例3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BPDOEA例4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： ︒=∠+∠180C A例5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC例6、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例7、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN有怎样的数量关系? 变式练习如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NEB M A DNCDEBMAFEDCBA例8、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM ．求证：AE=BC+CE ．例9、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.例10、如图所示，ABC ∆是边长为2的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ME D CBACEDBA变式练习如图所示，ABC ∆是边长为4的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．例11、五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA 平分∠CDE例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE 与BC的关系并证明你的结论。

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

学生口述作图法情况一、作线段b+线段c出示方法一：补短法出示方法二：截长法情况二、作线段a-线段b 段之间的数量关系做铺垫。

二、教授新课【例1】已知，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1= ∠2，试说明：AB=AC+CD总结方法：截长法在一条线段上一截取一定长度的线段在图中标出已知信息添加辅助线：学生说画法，规范书写“在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE”学生说添辅助线的原因及目的学生说明BE=CD的原因参考PPT演示，集体说过程预设回答：从结论出发，对三条不在一直线上的线段进行转换。

借助已知条件构造全等三角形，将不在一直线上的线段和差问题转化为利用全等三角形、等腰三角形的性质说明线段长度相等的问题。

引导学生体会执果索因的思维方式以及化繁为简的数学思想。

引导学生利用旧知想到“截长”、“补短”两种方法，渗透1、延长AC至点E，使得CE=CD2、延长AC至点E，使得AE=AB参考PPT演示，集体说过程【例2】如图，AD//BC ，AE，BE平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，试说明：AB=AD+BC练习：如图，AD//BC，BE垂直于AE，E 是CD的中点，求AB=AD+BC 小组讨论选择方法选取【补短法】延长AE、BC，交于点F选取【截长法】发现无法构造全等三角形，因此不能使用截长法全等三角形的应用——“截长补短”法方法一：截长方法二：补短延长AC至点E，使得AE=AB，连接DE1、如图，在△ABC中，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，BE+CD=BC，求∠BOC的度数2、如图，点M为正方形ABCD的边AB上的任意一点（点B除外）MN ⊥ DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？3、如图，点M为正三角形ABD的边AB上的任意一点（点B除外），作∠DMN= 60 °，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？。

几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法，常用于证明几何定理和推导几何性质。

在证明过程中，使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。

截长补短是一种证明方法，即通过添加或截取一些辅助线或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且使得证明更加直观和明了。

下面以几何证明中常见的一些问题为例，介绍截长补短的应用方法。

一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时，可以考虑添加一条辅助线段，从而将问题转化为两个三角形的相等性质。

具体步骤如下：1.观察题目中给出的线段，设需要证明的线段为AB和CD。

2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的线段相关的线段，设为EF。

3.添加辅助线段，连接AE和CF，构建出两个三角形，如△AEB和△CFD。

4.利用已知的几何定理或条件，证明两个三角形的相等性质，如SSS （边-边-边）相等性质或SAS（边-角-边）相等性质。

5.根据三角形的相等性质，得出AB=CD的结论。

通过添加辅助线段，将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质，更加直观和易于操作。

二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时，可以考虑添加一条辅助线段或辅助点，从而改变原有角的性质，并且使得证明更加明确和简洁。

具体步骤如下：1.观察题目中给出的角度，设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。

2.根据题目的条件，找到一个与我们需要证明的两个角相关的角，设为∠GHI。

3.添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质。

如我们可以添加辅助线段IJ，使得∠GHI=∠ABC。

4.利用已知的几何定理或条件，证明新构建的几何形状的一些性质。

如垂直角、平行线、共线等。

5.根据已知的性质和构建的几何形状，得出∠ABC=∠DEF的结论。

通过添加辅助线段或辅助点，改变原有角的性质，并利用已知的几何定理和条件，可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。

三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时，可以考虑添加一些辅助线段或辅助点，从而改变原有图形的形状和性质，并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。

截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。

而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。

它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。

为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。

根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。

2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。

通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。

2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。

3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。

根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。

除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。

例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。

截长补短法在几何学中有着广泛的应用。

它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。

通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。

在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。

全等三角形辅助线的做法一：截长补短月日姓名【知识要点】1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.2.角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1)对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段.【典型例题】例1. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.例2. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.例3. 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD. DCBADAE CB12ACD例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 平分∠ABC.例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD.求证：EC=DE.【考点突破】1. 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD.EEEDC2. 已知：CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD.3. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC.求证：△ABC是直角三角形. 4．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC. AEB D CCABAB D C1 2CBA5．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD.6．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证：AC=BC ＋CD.课后作业月 日 姓 名 成 绩1. 如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。

咱先来说说啥是截长补短法。

简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。

给大家举个例子啊。

就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。

让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。

这时候，咱们就可以用截长补短法。

咱们先截长。

在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。

因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。

这样一来，DC ＝ DE 。

那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。

又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

再说说补短。

延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。

同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。

还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。

这样 BD ＝ DF 。

在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。

又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。

还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。

老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。

后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。

晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。

我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。

初中数学全全等三角形截长补短知识归纳总结附解析一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝12请给出证明；若不成立，请说明理由．2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ． （1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：2PE PF PC +=．8．如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ． （1）求∠AFE 的度数； （2）求证：AC•DF ＝BD•BF ；（3）连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD ＝12DC ．9．如图1，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF ⊥CP 交于C ，交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ． （1）若AP=78AC ，BC=4，求S △ACP ； （2）若CP ﹣BM=2FN ，求证：BC=MC ；（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且A B≠BC ，AC=AP ，取CP 中点E ，连接EB ，交AC 于点O ，猜想：∠AOB 与∠ABM 之间有何数量关系？请说明理由．10．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析． 【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题． 【详解】 （1）EF ＝BE +DF ， 理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ； 故答案为：EF ＝BE +DF ． （2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF＝BE+DF．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ； 故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°， ∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键． 4．（1）见解析；（2）EF AE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解； （3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+． （3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴D CFM ∠=∠， CAD ≌CBF ，∴D CFB ∠=∠，∴CFM CFB ∠=∠，//AC OQ ，∴MCF CFB ∠=∠，∴CFM MCF ∠=∠，∴MC MF =，同理可证：CN EN =，∴在Rt MCN △中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM =+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．5．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①PC PA =；理由见解析；②1)()PC PD PA PB +=+；【灵活应用】2)()PC PD PE PA PB ++=+．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ， ∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴2PB ，∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②21)()PC PD PA PB +=+证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°， ∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴2，∴2PA ，∴21)()PC PD PA PB +=+．灵活应用：52)()PC PD PE PA PB ++=+．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴15+PB ， ∴15+PB+PA ， 同理可证15+PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴PM=152+PC ， ∴15+PC-PB ， ∴PC+PD+PE 15+15+35+15+PB+PA ）+152+PA=()()2525PA PB +++=()()25PA PB ++ 【点睛】 本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．6．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．见解析延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP 是等腰直角三角形，即2PN PE NE PC =+=，从而得证2PE PF PC +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形，2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△BCE （SAS ），得出∠BAD ＝∠CBE ，则∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°； （2）证明△ADB ∽△BDF ，得出=AB BD BF DF ，由AB ＝AC 可得出结论； （3）延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，证明△BAF ≌△CAH （SAS ），得出∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，可证明AF ∥CH ，得出1=2BF BD FH CD =，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中， ABD BC AB BC BD CE E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ADC ＝∠CBE+∠BFD ＝∠BAD+∠ABC ，∴∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；（2）证明：由（1）知∠BAD ＝∠DBF ，又∵∠ADB ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△BDF ，∴=AB BD BF DF， 又AB ＝AC ， ∴=AC BD BF DF， ∴AC•DF ＝BD•BF ；（3）证明：延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，由（1）知∠AFE ＝60°，∠BAD ＝∠CBE ，∴△AFH 是等边三角形，∴∠FAH ＝60°，AF ＝AH ，∴∠BAC ＝∠FAH ＝60°，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠FAH ﹣∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAH ，在△BAF 和△CAH 中，BAF CA AB AC AF AH H =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝,∴△BAF ≌△CAH （SAS ），∴∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，又∵∠ABC ＝∠BAC ，∠BAD ＝∠CBE ，∴∠ABC ﹣∠CBE ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠ABF ＝∠CAF ，∴∠ACH ＝∠CAF ，∴AF ∥CH ，∵∠AFC ＝90°，∠AFE ＝60°，∴CF ⊥CH ，∠CFH ＝30°，∴FH ＝2CH ，∴FH ＝2BF ，∵FD ∥CH ， ∴1=2BF BD FH CD =， ∴BD ＝12DC ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．9．（1）；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM ，理由见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC ，得出AP ，即可求出S △ACP ；（2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，则CF ﹣CG=2FN ，证出∠BCF=∠DCP ，由ASA 证明△BCF ≌△DCP ，得出CF=CP ，证出CG=BM ，由SAS 证明△ABM ≌△BCG ，得出∠AMB=∠BGC ，因此∠BMC=∠BGF ，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG ，得出∠BFG=∠BGF ，因此∠BMC=∠CBM ，即可得出结论；（3）连接AE ，先证出∠BCA=2∠PAE ，再证明A 、D 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE ，得出∠BCF=∠PAE ，证出∠BCA=2∠ABM ，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABC是正方形，∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴，∴AP=78AC=78，∴S△ACP=12AP×CD=12×2；（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：则CF﹣CG=2FN，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，在△BCF和△DCP中，ABC CDP BC DCBCF DCP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF≌△DCP（ASA），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABI CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC；（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：连接AE，如图2所示：∵AC=AP，E是CP的中点，∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，∵∠ADC=∠AEC=90°，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠DCP=∠PAE，∴∠BCF=∠PAE，又∵∠ABM=∠BCF，∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，∴∠BCA=2∠ABM，∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，∴∠AOB=3∠ABM．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．10．见解析【分析】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．【详解】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD1∠ABC．2在△ABD和△EBD中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ） ∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ． 又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°． ∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°． ∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB ＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．。

CDBD AB BD AB DE CE CD CEAB CE AE CAE C CAE C AEB C2AEB C2B B AEB AB AE BC AD =++=+=∴=∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=∴⊥即又 证法二：如图2，延长CB 到F ，使BF=AB 。

连结AF则F 2ABC =∠CDBD AB BD AB BD BF DF DFCD CF AD ACF AFAC F C C 2ABC =+∴+=+==∴⊥∆∴=∴∠=∠∴∠=∠ 为等腰三角形【能力提升】3、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .证明:延长CB 到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.连接AM.AB=AD,BM=DF,∠ABM=∠D,则:⊿ABM ≌ΔADF(SAS).2、提示二：采取补短法构造全等三角形△ACD ≌△AFD 来证明AB ＋BD ＝CDFEDCBA故:∠MAB=∠FAD;又AF平分∠EAD,则:∠MAB=∠EAF;则∠M=∠AFD=∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠MAB=∠MAE,得AE=ME.所以,AE=ME=BE+DF.【思考题】4、如图，已知△ABC中，∠A＝90º，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD 于E，求证：CE=BD.•分别延长CE,BA，交与一点F因为BE⊥ECBE平分∠ABC∠FEB=∠BEC=90°∠ABD=∠DBCBE=BE△BFE全等于△BEC (以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明)FE=EC 即 FC=2EC又AB=AC∠BAC=90°∠ABD+∠ADB=180°∠ADB=∠EDC，故∠ABD+∠EDC=90°又∠DEC=90°∠EDC+∠ECD=90°∠FCA=∠DBC=∠ABD 3、提示：要证BE+DF=AE.就要构造全等三角形，延长CB到M,证⊿ABM≌ΔADF,这就需要连接AM。

全等三角形截长补短法的经典例题（最新版）目录1.截长补短法的概念2.截长补短法的两种方法：截长法和补短法3.截长补短法在全等三角形中的应用4.经典例题解析4.1 例题一4.2 例题二4.3 例题三5.截长补短法的优点和意义正文一、截长补短法的概念截长补短法是一种在几何问题中添加辅助线的方法，主要用于解决全等三角形的问题。

截长指的是在较长的线段上截取一段较短的线段，补短则是在较短线段上补一段线段，使其和较长的线段相等。

截长补短法的目的是将问题合理地转化为更容易解决的形式，从而简化结论。

二、截长补短法的两种方法截长补短法包括两种方法：截长法和补短法。

1.截长法：在较长的线段上截取与较短线段相等的线段。

2.补短法：在较短线段上补一段线段，使其和较长的线段相等。

三、截长补短法在全等三角形中的应用在全等三角形的证明中，截长补短法是非常常用的一种方法。

通过添加适当的辅助线，可以将问题转化为更容易证明的形式，从而得出结论。

下面通过几个经典例题来具体讲解截长补短法在全等三角形中的应用。

四、经典例题解析1.例题一已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。

解：通过截长补短法，我们可以在 BC 上截取 BE=CF，连接 AD 和 CE。

由于 AB=DE，BC=EF，且∠ABC=∠DEF，根据三角形全等的 SAS 条件，可得三角形 ABC≌三角形 DEF。

2.例题二已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。

解：这次我们可以在 AB 上截取 AD=DF，连接 CE 和 BD。

同样地，由于 AB=DE，BC=EF，且∠ABC=∠DEF，根据三角形全等的 SAS 条件，可得三角形 ABC≌三角形 DEF。

3.例题三已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。

截长补短法证明全等三角形全等三角形是指两个三角形的各个对应边和对应角相等。

证明两个三角形全等的方法有很多种，其中一种常用的方法是截长补短法。

截长补短法是通过截取或延长某些线段，使得两个三角形的对应边相等，从而证明两个三角形全等。

下面通过一个具体的例子来说明截长补短法的证明过程。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

首先，我们观察两个三角形的对应边和对应角，如果它们已经相等，那么可以直接得出两个三角形全等。

但通常情况下，我们需要通过截长补短的方法来使得对应边相等。

我们观察三角形ABC和DEF的对应边AB和DE，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边相等得出两个三角形全等。

但如果它们不相等，我们需要截取或延长某些线段来使它们相等。

假设我们截取了线段EF，使得EF = AB。

现在我们观察三角形ABC 和DEF的对应边AB和EF，它们已经相等了。

接下来，我们观察对应角B和对应角E，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。

但如果它们不相等，我们需要继续截取或延长某些线段来使它们相等。

假设我们截取了线段BC，使得BC = DE。

现在我们观察三角形ABC和DEF的对应边AB、BC和EF，它们已经相等了。

接下来，我们观察对应角B和对应角E，如果它们已经相等，那么我们可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。

但如果它们不相等，我们需要继续截取或延长某些线段来使它们相等。

假设我们截取了线段AC，使得AC = DF。

现在我们观察三角形ABC 和DEF的对应边AB、BC、AC和EF，它们已经全部相等了。

此时，我们只需要观察对应角B和对应角E，如果它们相等，那么我们就可以通过对应边和对应角相等得出两个三角形全等。

通过以上的截长补短的过程，我们可以得出结论：如果三角形ABC 的对应边AB、BC、AC和角B与三角形DEF的对应边DE、EF、DF和角E分别相等，那么三角形ABC和DEF全等。

全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例1】 如图，在 ABC 中， BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度 数.【解析】法一：如图所示，延长 AB 至E 使BE BD ，连接ED 、EC .由 AC AB BD 知 AE AC ,而 BAC 60，则AEC 为等边三角形.注意到 EADCAD , ADAD :,AE AC ,故AED 也 ACD .从而有DE DC , DEC DCE故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DECDCE 20 ,ABCBECBCE 6020 80 法二：在AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知CE BD .在ABD 和AED 中，AB AE , BADEAD , AD AD ,则ABD 也AED ，从而BD DE ,进而有 DE CE , ECD EDC ,AED ECD EDC 2 ECD .注意到 ABD AED ，则:ABCACB1 ABC -23ABC — ABC2180BAC 120 ,故 ABC 80【例2】已知ABC中， A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB, BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 【解析】BE CD BC ,理由是: :在BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO , / -1 2,•/ A60 ,•BOC190 -2A 120 ,• DOE 120 ,••• A DOE180 , • AEO ADO 180 ,••• 1 3 180••• 2 4 180 1 2, • 3 4,利用AAS证得CDO 也CFO , • CD CF ,•BC BF CF BE CD .【答案】见解析.分别是/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ AQ AB BP .【例3】如图，已知在厶ABC内, BAC 60 ,40 , P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ【解析】延长AB至D，使BD BP，连DP.在等腰ABPD中，可得BDP 40 ,从而BDP 40 ACP ,△ADP ^△ACP (ASA ),故AD AC又QBC 40 QCB，故BQ QC , BD BP. 从而BQ AQAB BP.【答案】见解析.【解析】延长BA至F，使BF BC，连FD△BDF ^△BDC ( SAS),故DFB DCB , FD DC又AD CD，故在等腰ABFD中，DFB DAF故有BAD BCD 180Q【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC BA , AD CD , BD 平分/ ABC，求证: C 180 .AC证：MN MB NC .【解析】延长NC 至E ，使得CE MBDBM 也 DCE .•••DE DM , 1 2.又•1 NDC 60 , • 2+ NDCEND 60在 MDN 与EDN 中，ND ND, MDNEDN60 , DEDMMND 也 END• MN EN NC MB【答案】见解析.••• BDC 是等腰三角形，且BDC 120 , •DBC ••• ABC 是等边三角形.• ABC ACB BAC 60• MBDABCDBCACB DCBDCN在DBM 和DCE 中，BDDC ,MB CEDCB 30DCE 90【例6】如图在△ ABC 中，AB AC , P 为AD 上任意一点， D求证： AB AC PB PC .C【解析】延长AC至F，使AF AB，连PD△ABP^△AFP (SAS)故BP PF由三角形性质知PB PC PF PC < CF AF AC AB AC【答案】见解析.【例7】如图，四边形ABCD中，AB// DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上.求证：BC AB DC .A【解析】在BC上截取BF AB，连接EF••BE 平分/ABC ,A ABE FBE又••• BE BE ‘•••△ABE 也/E BE (SAS), /• A BFE .TAB//CD, • A D 180•BFE CFE 180 , • D CFE又• DCE FCE , CE 平分/ BCD, CE CE z.ZDCE 也E CE (AAS ) , • CD CF• BC BF CF AB CD【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN •在AD上截取AG AM ,•••DG MB ,•••/ AGM 45•••/DGM / MBN 135，•/ ADM / NMB ,• DGM 也MBN , • DM MN .【答案】见解析.见解析.证：AE BC CE .AB AD , AD丄CD , AB丄BM , BM DFABM也ADFAFD AMB , DAF BAMAB// CDAFD BAF EAF BAE BAE BAMAMB EAM , AE EM BE BM BE DF，使得BM DF，连接AM •EAM【例9】已知：如图, ABCD是正方形，FAD FAE ,求证: BE DF AE .【解析】延长CB至M【例10】如图所示, 已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE 2 DAM .求B C【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2) 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等•我们用(1)法来证明.【答案】延长AB到F，使BF CE，则由正方形性质知AF AB BF BC CEF面我们利用全等三角形来证明AE AF •为此，连接EF交边BC于G •由于对顶角BGF CGE，所以Rt A BGF 也CGE AAS ,1从而BG GC - BC, FG EG , BG DM2于是Rt A ABG 也Rt A ADM SAS ,1所以BAG DAM BAE EAG , AG 是2【解析】延长DE至F，使得EF BC ,连接AC.-ABC AED180 , AEF AED 180 , / • ABC AEFAB AE,BC EF ,•••△\BC也zAEF •• EF BC,AC AFBC DE CD , • CD DE EF DF•••公DC 也zADF ,••• ADC ADF即AD平分/CDE.EAF的平分线【例11】五边形ABCDE中，AB AE , BC DE CD , ABC AED 180，求证：AD 平分/ CDE •HDMEC【例12】若P 为 ABC 所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120，则点P 叫做 ABC 的费马点.(1) 若点P 为锐角 ABC 的费马点，且 ABC 60 , PA 3 , PC 4，则PB 的值为 _________________ (2) 如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB',连结BB'. 求证：BB'过 ABC 的费马点 P ，且BB ' PA PB PC .【解析】(2)证明：在 BB '上取点P ，使 BPC 120 , 连结AP ，再在PB'上截取PE PC ，连结CE .•/ BPC 120 , ••• EPC 60 , ••• PCE 为正三角形， ••• PC CE , PCE 60 , CEB ' 120 ,•/ ACB '为正三角形， • AC B C , ACB ' 60 , • PCAACE ACE ECB ' 60 , • PCA ECB ',• ACP 也 B'CE , • APC B'CE 120 , PA EB', • APB APC BPC 120 , • P 为ABC 的费马点， • BB'过 ABC 的费马点P , 且 BB ' EB ' PB PE PA PB PC .【答案】见解析.2.3课后复习【作业1】已知，AD平分/ BAC, AC AB BD【解析】延长AB至点E,使AE AC，连接DEAD 平分/ BAC, ••• EAD CADAE AC , AD AD ,•公ED也△CD(SAS), E CAC AB BD , • AE AB BDAE AB BE , • BD BE, …BDE-ABC E BDE ,• ABC 2 E , • ABC2 C .【答案】见解析.【作业2】如图，△ ABC中，AB2AC , AD 平分/ BAC，且AD BD，求证：CD丄AC .C【解析】在AB上取中点F,连接FD .则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF 丄AB,故AFD 90△ADF ^△ADC ( SAS)ACD AFD 90 ，即：CD丄AC【答案】见解析.【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE BM .在BDM与CDE中，因为BD CD , MBD ECD90 , BM CE ,所以BDM羞? CDE , 故MD ED.因为BDC -120 , MDN60°，所以BDM NDC60 .又因为BDM CDE，所以MDN EDN60在MND与END中，DN DN , MDN EDN60,DM DE , 所以MND也END , 则NE MN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析.【作业4】已知：AC平分/ BAD, CE丄AB, B D 180，求证：AE AD BE.【解析】在AE上取F，使EF EB，连接CF••CE 丄AB二CEB CEF 90•EB EF , CE CE ,/•JCEB ^/CEF••• B CFE•B+ D 180 , CFE CFA 180• D CFA••AC 平分/BAD•DAC FAC•/ AC AC•△DC 也/FC (SAS)•AD AF•AE AF FE AD BE【答案】见解析.。

截长补短“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。

即延长a ，得到b ，证：c b a =+。

①延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。

即延长a ，得到c ，证：a c b -=。

例1. 已知：如图，在△ABC 中，△1=△2，△B=2△C ．求证：AC=AB+BD ．1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． △△ABD 是△BDE 的一个外角 △△ABD =△E ＋△BDE △BE =BD △△E =△BDE △△ABD =2△E △△ABD =2△C △△E =△C在△ADE 和△ADC 中12E CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADE △△ADC （AAS ）21D CB A E21D CB AFA BCD12△AE =AC△AC =AB ＋BE=AB ＋BD 2. 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AFD （SAS ） △△B =△AFD ，BD =FD △△B =2△C △△AFD =2△C△△AFD 是△DFC 的一个外角 △△AFD =△C +△FDC △△FDC =△C △DF =FC △BD =FC△AC =AF +FC =AB +BD例2. 如图，在四边形ABCD 中，△A=△B=90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分△ADC ，CE 平分△BCD ．求证：CD=AD+BC ．证明：如图，在CD 上截取CF =CB ． △CE 平分△CBD △△1=△2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB A 4321FE D CBA321G CDB A EF △△CFE △△CBE （SAS ） △△CFE =△B △△B =90°△△CFE =△DFE =90° △△A =90° △△DFE =△A △DE 平分△ADC △△3=△4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DEF △△DEA （AAS ） △DF =AD△CD =DF +CF =AD +BC例3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ． △△D =△ABC =90° △△ABG =△D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABG △△ADE （SAS ） △AG =AE ，△1=△2 △△BAD =90°，△EAF =45° △△2+△3=45°FEDC BAE21A B CD△△1+△3=45° 即△GAF =45° △△GAF =△EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AGF △△AEF （SAS ） △GF =EF △GF =BF +BG △EF =BF +DE例4. 在△ABC 中，AD △BC 于D ，△B =2△C ．求证：CD =AB +BD ．证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．△AD △BC△△ADB =△ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AED （SAS ） △△B =△1，AB =AE △△B =2△C △△1=2△C△△1是△AEC 的一个外角 △△1=△C +△2 △△C =△2 △AE =CE△CD =CE +ED =AE +BD =AB +BDD CAEA B C D P12例5. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，△1=△2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ．求证：AB -AC > PB -PC ．证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ． 则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEP △△ACP （SAS ）△PE =PC在△PEB 中，PB PE <EB △PB -PC <EB△AB -AC > PB -PC例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，CE △AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，△BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．1. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ．21PD A A DE CF B87654321MA D E CF B△△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD △△1=△DCB =45°△CE △AB ，△BDC =90° △△CEB =△BDC =90° △△2=△3 △△4=△5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△MCD （SAS ） △DA =DM ，△6=△7 △AD △BC △△7=△1=45° △△6=45° △△8=45° △△7=△8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADF △△MDF （SAS ） △AF =MF△CF =CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． △△BDC 为等腰直角三角形△△GDB =△BDC=90°，△5=45° △CE △AB△△CEB =△BDC =90°△△1=△2 △△3=△4 在△GBD 和△FCD 中1234567G A DE CF B34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△GBD △△FCD （ASA ） △BG =CF ，DG =DF △AD △BC △△6=△5=45° △△7=45° △△6=△7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GDA △△FDA （SAS ） △AG =AF △BG =AB +AG △CF =AB +AF。

全等三角形截长补短法的经典例题全等三角形截长补短法的经典例题引言：三角形是几何学中最基本的图形之一，而全等三角形则是一种特殊的三角形，意味着两个三角形的所有对应边和角度都完全相等。

在求解几何问题时，有时我们需要利用这一特性，来简化问题的分析和解决过程。

本文将以全等三角形截长补短法为主题，介绍该方法的基本原理，并通过一个经典例题来说明其应用。

全等三角形截长补短法的基本原理：全等三角形截长补短法是利用全等三角形的性质，将一个三角形切分成多个全等三角形，并在原三角形或其他平行线上补充等长的线段，以便求解或证明相关的几何问题。

这一方法在解决几何问题时十分常用，其核心原理在于通过构造全等三角形，将原问题转化为易于解决的几何关系。

经典例题：证明三平分线交于一点让我们来看一个经典例题：证明三平分线交于一点。

三平分线是指从三角形的一个顶点分别连接到对边中点的线段，我们需要证明它们的交点存在且唯一。

解题步骤如下：1. 我们考虑三角形的一个顶点A和它的对边BC，其中BC为底边。

将BC的中点记为M，连接AM。

2. 根据全等三角形的定义，我们可以发现三角形AMB与三角形AMC 全等。

这是因为AM为公共边，且AB=AC（三边对应相等），∠ABM=∠ACM（平分线与底边的夹角相等）。

3. 由全等三角形的性质可知，∠MAB=∠MAC，即MA是∠BAC的平分线。

4. 同理，我们可以构造三角形的另外两个顶点的平分线，构成全等三角形，从而证明三平分线交于一点。

简要总结：通过全等三角形截长补短法，我们成功证明了三平分线交于一点。

这是因为利用了全等三角形的性质和平分线的定义，将原问题转化为易于解决的几何关系。

这一方法的应用不仅限于证明，而且在求解其它几何问题时也非常实用。

只需找到合适的截长补短点，构造全等三角形，就能简化问题的求解过程。

个人观点与理解：全等三角形截长补短法是一种十分精巧的几何分析方法。

它通过找到适当的截长补短点，将复杂的几何问题转化为易于处理的全等三角形关系。