用函数图像看方程的根

利用函数性质和图象研究方程的根作者：李学仁来源：《中学生数理化·教与学》2011年第10期在高中数学中，解决方程的根的问题和函数的零点问题，通常有两个途径：一是用化归的思想，转化为一元一次方程（组）、一元二次方程（组）来解决；二是运用二分法的思想判断零点的存在性，进行近似计算．在解决这些问题的过程中，如果联系函数的图象和性质，往往能够将一些抽象的数学问题转化为直观的图象问题，为解题找到突破口，起到事半功倍的效果．下面举例分析．一、构造函数确定方程根的个数例1 判断方程log2x＝－(x－1)2＋2的根的个数．分析：这是一个超越方程，不能用公式法求出它的根，可以把它与函数y＝f(x)联系起来，构造函数f(x)＝log2x＋(x－1)2－2，利用函数的单调性确定根的个数．解：构造函数f(x)＝log2x＋(x－1)2－2易知，函数的定义域为(0，＋∞），函数在定义域内不单调。

当x＞1时，f(x)递增，f(1)＝－2＜0，f(2)＝0，f(4)＞0．当0＜x≤1时，f(x)＜0恒成立。

所以f(x)在（0,1）上无零点．所以f(x)在(0，＋∞）上有且仅有一个零点．即方程log2x＝－(x－1)2＋2只有一个根．例2 对于实数a讨论方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(x－a)解的个数．解：原方程可变形为x-1>0,3-x>0,(x-1)(3-x)=x-a。

即x2-3x+3-a=0,1所以，方程x2－3x＋3－a＝0在(1，3)内有解时，其解就是原方程的解，否则就不是原方程的解．令f(x)＝x2－3x＋3－a。

分情况讨论：（1）原方程在(1，3)内有两解的充要条件是f(1)>0,f(3)>0,Δ>0,1解得34＜a＜1。

（2）原方程在(1，3)内有且仅有一解的充要条件是＜0或f(1)>0,f(3)＝0或f(3)>0,f(1)＝0（因对称轴x＝32），解得a＝34或1≤a＜3．因此，当34＜a＜1时，方程有两解；当a=34或1≤a＜3时，方程有一解；当a＜34或a≥3时，方程无解．二、利用函数图象确定方程根的个数例3 判断方程x2＝2x的解的个数．分析：借助计算机技术，画出函数图象，利用函数图象的直观性，能轻松地求出方程根的个数．解：画出函数f(x)＝x2－2x的图象（如图1），由函数f(x)＝x2－2x的图象与x轴有三个交点，得方程x2＝2x有三个解．例4 确定方程2x2＋x－3－sinx＝0的根的个数．解：原方程即2x2＋x－3＝sinx。

用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。

下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。

21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。

二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。

例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根二次函数是一个常见的二次方程方程的图象，通过利用二次函数的图象可以求解一元二次方程的根。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

首先，我们来分析二次函数的图象。

二次函数的标准形式为y =ax^2 + bx + c，其中a≠0，对应的图象是一个抛物线。

如果a>0，那么抛物线开口向上，最低点在y轴上方，如果a<0，那么抛物线开口向下，最低点在y轴下方。

我们可以通过观察二次函数的图象，抛物线与x轴相交的点就是一元二次方程的根。

根据图象的特点，我们可以得出下面的结论：1.如果二次函数图象与x轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不同的实数根；2.如果二次函数图象与x轴有且只有一个交点，那么一元二次方程有一个实数根；3.如果二次函数图象与x轴没有交点，那么一元二次方程没有实数根。

接下来，我们以一个具体的例子来说明如何利用二次函数的图象求解一元二次方程的根。

例1：求解方程x^2-3x+2=0的根。

首先，我们将方程的系数与一元二次方程的一般形式对应起来，可以看出a=1，b=-3，c=2我们可以通过求解方程的判别式来判断该方程有几个实数根。

判别式的计算公式为D=b^2 - 4ac，其中D为判别式的值。

根据判别式的值可以得出以下结论：1.如果D>0，方程有两个不同的实数根；2.如果D=0，方程有一个实数根；3.如果D<0，方程没有实数根。

我们将系数代入计算判别式：D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1根据判别式的结果，我们可以得知方程有两个不同的实数根。

接下来，我们可以画出二次函数的图象来求解方程的根。

首先，我们可以画出抛物线的大致形状。

由于判别式大于0，所以抛物线开口向上。

现在，我们需要找到抛物线与x轴的交点。

我们可以看出，抛物线与x轴的交点对应方程的根。

根据题意，我们需要求解方程的两个根，所以我们需要找到抛物线与x轴的两个交点。

图解法求方程虚根如二次函数Y=AX 2+BX+C(A,B,C 为实数且A 不等于0)，当B 2-4AC>0时，二次函数Y=AX 2+BX+C 的零点就是方程AX 2+BX+C=0的解当B 2-4AC<0时，二次函数Y=AX 2+BX+C 就没有零点，方程AX 2+BX+C=0还有解吗？ 通过数系的扩充，我们知道这样的方程有一对共轭虚根。

现在我们利用图形计算器，结合实系数一元二次方程和二次函数的相关知识，展开“图解实系数一元二次方程的虚根”的研究。

二次函数Y=AX 2+BX+C ，（A 不等于0)图像的对称轴方程：X=-b/2a图像的顶点坐标：(-b/2a,4ac-b 2/4a) 一元二次方程AX 2+BX+C=0，（A 不等于0) △ù0 △<0实根X=[-b+§(b 2-4ac)]/2a 或[-b-§(b 2-4ac)]/2a 虚根X=[-b+§(4ac-b 2) ]/2a 或[-b-§(4ac-b 2) ]/2a 根与系数关系：X 1+X 2=-b/a X 1ÒX 2=c/a X 1-X 2= 根与系数关系：X 1+X 2=-b/aX 1ÒX 2= c/aX 1-X 2=通过这张表格，我们可以发现，一元二次方程AX 2+BX+C=0（△<0时），虚根X 的实部就是函数Y=AX 2+BX+C 的顶点坐标的横坐标。

接下来，我们用一个较简单的二次方程（X 2+2X+3=0），结合图形计算器来研究图解法求方程虚根的虚部。

作出二次函数Y 1=X 2+2X+3的图像，作出二次函数Y 1的对称轴X=1；找出二次函数Y 1=X 2+2X+3的顶点坐标（-1，2），作出于原函数关于其顶点（-1，2）成中心对称的图像Y 2；将Y 2的函数图像平移，置对称轴与Y 轴重合，定义新函数为Y 3（Y 3=-X 2+2）；按键⍓ 调出❽CALCULATE ”菜单，求Y 3的零点。

一元二次函数图像一、一元二次函数型式y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c二、一元二次函数图像画法1、 形状：抛物线2、 开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下3、 对称轴：x ＝－ab 2 4、 与x 轴的交点：方程的根5、 最大最小值：ab ac 424-三、例题1、 y ＝x 2－5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0 x ＝2或x ＝3最小值：a b ac 424-＝－412、 y ＝x 2＋5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最小值：a b ac 424-＝－413、 y ＝－x 2＋5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0 x ＝2或x ＝3最大值：a b ac 424-＝414、 y ＝－x 2－5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最大值：a b ac 424-＝415、 y ＝x 2－2x解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝1 方程根：x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝2 最小值：a b ac 424-＝－16、 y ＝－x 2－2x解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－1 方程根：－x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝－2 最大值：a b ac 424-＝17、 y ＝x 2－2x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：x 2－2x ＋1＝0 x ＝1最小值：a b ac 424-＝08、 y ＝－x 2＋2x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：－x 2＋2x －1＝0 x ＝1最大值：ab ac 424-＝09、 y ＝x 2解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：x 2＝0x ＝0最小值：a b ac 424-＝010、 y ＝－x 2解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：－x 2＝0 x ＝0最大值：a b ac 424-＝011、 y ＝x 2＋x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解 最小值：a b ac 424-＝4312、 y ＝－x 2＋x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解 最大值：a b ac 424-＝－43一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋102、y＝x2＋3x＋23、y＝－x2＋7x－124、y＝－x2－6x－85、y＝x2＋7x6、y＝－x2＋7x7、y＝x2＋4x＋48、y＝－x2＋6x－99、y＝x2＋x＋210、y＝－x2＋2x－4。

2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)一、情境导入你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．【类型二】列表求一元二次方程的近似根下面表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y2()A.6＜x＜6.17 B．C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20解析：由表格中的数据得，在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的近似根为( )A ．x 1≈－2.1，x 2≈0.1B ．x 1≈－2.5，x 2≈0.5C ．x 1≈－2.9，x 2≈0.9D ．x 1≈－3，x 2≈1解析：由图象可得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象的对称轴为x ＝－1，而对称轴右侧图象与x 轴交点到原点的距离约为0.5，∴x 2≈0.5；又∵对称轴为x ＝－1，则x 1＋x 22＝－1，∴x 1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x 1≈－2.5，x 2≈0.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y ＝2x 2－2和函数y ＝5x ＋1.(1)你能用图象法求出方程2x 2－2＝5x ＋1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解． 解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y ＝2x 2－2和函数y ＝5x ＋1的图象，如图所示：图象交点的横坐标是－12，3，故2x 2－2＝5x ＋1的解是x 1＝－12，x 2＝3； (2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x 2－2＝5x ＋1的解，化简得2x 2－5x －3＝0，因式分解，得(2x ＋1)(x－3)＝0.解得x 1＝－12，x 2＝3，可知(1)中求得的解正确． 方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】 二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x 的图象(如图所示)，利用图象求方程6x－x ＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)． 解析：(1)一元二次方程x 2＋x －3＝0可以转化为x 2－3＝－x ，所以一元二次方程x 2＋x －3＝0的解可以看成抛物线y ＝x 2－3与直线y ＝－x 交点的横坐标；(2)函数y ＝－6x的图象与直线y ＝－x ＋3的交点的横坐标就是方程6x－x ＋3＝0的近似根． 解：(1)x 2－3(2)图象如图所示：由图象可得，方程6x－x ＋3＝0的近似根为x 1＝－1.4，x 2＝4.4. 方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.。

根号x的图像根号x的图像y等于根号x的图像过原点和点(1,1)，是一条抛物线的左半支绕原点旋转90度得到的图像。

我们有三种方法可以画出这个图像。

第一种方法是最基础的，运用描点法来作y=根号x的图像。

可以在平面直角坐标系中，分别取x=0, 1, 4, 9, 16，…，对应的y=0, 1, 2, 3, 4，…. ，然后用平滑的曲线把这些点连起来，就可以得到y=根号x的图像了。

可以看到y=根号x的图像只经过原点和第一象限，像开口向上的二次函数左支绕顶点(原点)旋转90度。

这里其实是有内在联系的，因为y=根号x就是y=x^2(x>=0)的反函数。

这就得到了画y=根号x的图像的第二种方法。

根据互为反函数的图像关于y=x对称，我们可以先作出y=x^2(x>=0)的图像，然后再作它关于y=x的轴对称图形，最后得到的这个图形就是y=根号x的图像。

最后一种方法，是作函数图像比较通用的方法，就是根据函数的性质，来作它的图像。

首先我们分析函数y=根号x的单调性，奇偶性，凹凸性和周期性。

可以发现它是没有奇偶性和周期性的。

又由y=根号x的函数y’=1/(2倍根号x)>0，可以知道它是一个严格单调递增函数。

又y=根号x的二阶导函数y"=-1/(4倍根号(x^3))<0，可以知道，它是一个凸函数。

这就对函数y=根号x的图像形状有了一个大概的了解。

导接下来我们找函数图像与x轴和y轴的交点，当x=0时，y=0，发现函数图像经过原点。

一个点还不够，我们再找另外一个点，当x=1时，y=1. 即函数的图像过点(1,1)。

然后再求函数的渐近线。

不难求得函数图像没有垂直渐近线。

又当x趋于正无穷大时，lim((根号x)/x)=0，可见函数最多有一条水平渐近线。

又当x趋于正无穷大时lim根号x=正无穷大。

可见函数连水平的渐近线都不存在。

只能知道在x趋于正无穷大时，函数也趋于正无穷大。

既然这样，我们唯有求函数在x=0和x=1的切线方程，来确定函数图像的性状。

专题5 利用函数图像判定方程根的个数（教案）前言：一般情况，对于方程)()(x g x f =的根的个数问题，都可以转化为函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像的交点的个数问题。

一、专题知识基础结论：判断方程根的个数问题，尝尝运用图想法。

当函数图像并不容易作出时，可以再次进行转化，如：判断方程)()(x g x f =的根的个数时，可以构造函数)()()(x g x f x F -=，于是将问题转化为函数)(x F y =的图像与x 轴交点个数问题，再依据)(x F 的单调性和某些特殊点的位置来判断。

二、例题分析例题1 若关于x 的方程01=--a x 有四个解，求实数a 额取值范围。

【解】方程01=--a x 变形为方程a x =-1，令函数1)(-=x x f ，a x g =)(，在同一坐标系中，画出他们的图像，如图5-1所示，根据图像可知，当这两个函数图像有四个公共点时，关于x 的方程01=--a x 有四个解，所以函数a 的取值范围是10<<a 。

例题2 已知关于x 的方程)30(0322≤≤=---x a x x ，根据下列条件，求出实数a 的取值范围：（1）方程没有实数解。

（2）方程有一解。

（3）方程有二解。

【解】0322=---a x x 变形为a x x =--322，其中30≤≤x 。

设2()23f x x x =--（其中30≤≤x ），a x g =)(，在同一坐标系中，画出它们的图像，如图5-2所示，根据这两个函数的图像的交点的个数判定方程解的个数。

（1）当0>a 或4-<a 时，方程没有实数解；（2）当034≤<--=a a 或时，方程有一解；（3）当43a -<≤-时，方程有二解。

例题3 若关于x 的方程0322=---m x x 有四个解，求实数m 的取值范围。

【解】方程0322=---m x x 变形为m x x =--322设32)(2--=x x x f ，m x g =)(在同一坐标系中，画出它们的图像，如图5-3所示，根据这两个函数图像位置关系，可知当40<<m 时，这两个图像有四个交点，所以方程有四个解时，实数m 的取值范围是40<<m 。