《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。
