【优化课堂】2012高中数学 第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

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知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
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类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
b B2
A1 -a o a A2
x
x2 y2 m(m 0)
-b B1
4 渐近线
如图,经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a,经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直
线围成一个矩形图2.2 7.
矩形的两条对角线所在的 直线的方程是 x y 0.
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率 .因为c a 0,所以双 曲线的离心率e c 1.
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质
复习回顾：
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
a.b.c 的 关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
c2 a2 b2
标准 方程
x2 y2 1
3
与双曲线方程联立得A、B的坐标为 (3,2
3),(9 , 2 3 ) 55
由两点间的距离公式得|AB|=
16 5
3
例4：如图所示，过双曲线
x2 3
y2 6
1的右焦点F2,倾斜角为
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|

②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的

A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例2 对于方程 x2 y2 1 和 x2 y2 （ 0 且 1),
4
4
所表示的双曲线有如下结论：
（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点
（3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线
其中正确的是 A. （1）（4）
B. （2）（4）
y2 52 a2
1,然后由 5 a
5 4
求得a 4,b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是
x2 m2
c2
y2 m2
1
(4). 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
4.双曲线的渐近线 ▲规定：直线 y
b a
x叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么y？
a
x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)