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初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。
初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。
一、一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。
2. 图象及其性质 （1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。
k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。
（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。
（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。
（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x==-⎧⎨⎪⎩⎪（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。
高中数学函数知识点归纳及常考题型1.映射定义：对于非空集合A和B，若集合A中的每个元素a都与集合B中唯一的元素b对应，则称从A到B的对应为映射。
当集合A中有m个元素，集合B中有n个元素时，从A到B可以建立n个映射。
2.函数定义：函数是定义在非空数集A和B上的映射f。
此时，数集A是函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}是函数的值域，且C是B的子集。
3.函数的三个要素是定义域、对应法则和值域。
判断两个函数是否相同，需要同时考虑它们的定义域和值域以及对应法则。
4.求函数的定义域通常需要考虑以下因素：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题需要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.求解函数解析式的方法包括：①配凑法；②换元法；③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.求函数值域的方法包括：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性的证明方法：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1f(x2)），则称f(x)在该区间上是增函数（或减函数）。
8.求函数单调区间的方法包括：①定义法；②图象法；③同增异减原则。
9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)），则函数f(x)是偶函数（或奇函数）。
例如f(x)=x+2，f(x)=x-x等。
10.函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
因此，如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.常用的判断函数奇偶性的形式包括：奇函数——f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0（对数函数）；偶函数——f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，mf(-x)/f(x)=-1（指数函数）。
1.若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.这个性质常用于待定系数的计算。
2024高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳函数是数学领域的一个重要概念，在高考中占据着很大的比重。
下面是2024年高考一轮复习函数知识点及最新题型的详细归纳。
1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
通常用f(x)表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
2.函数的表示方法函数可以用解析式、图像、表格等多种方式表示。
其中，解析式是最常见的表示方法，常见的函数表示如下：线性函数：f(x) = ax + b二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c指数函数：f(x)=a^x对数函数：f(x) = loga(x)三角函数：sin(x)，cos(x)，tan(x)3.函数的性质-定义域和值域：函数的定义域是自变量能取的全部实数值的集合，值域是因变量能取的全部实数值的集合。
-奇偶性：若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数；若对于函数的定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数。
-单调性：如果对于函数的定义域内的任意x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则称函数是递增的；如果当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则称函数是递减的。
-周期性：如果对于函数的定义域内的任意x，有f(x)=f(x+T)，其中T为正常数，则称函数具有周期T。
4.函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
-两个函数的和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)-两个函数的差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)-两个函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)*g(x)-一个函数除以另一个函数：(f/g)(x)=f(x)/g(x)随着高考的，函数的考查形式也在不断变化，以下是一些最新的函数题型归纳：-函数的图像分析：考生需要根据给定函数的解析式或表格，画出其对应的图像，然后分析图像的特点，如极值、拐点、单调性等。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒：①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一 函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎨⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x )＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．通性通法：判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．题型二 函数的周期性典型例题(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …n 个f (x )]}，则f 2 019(2)的值为( )A．0B．1C．2 D．3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.答案：(1)C(2)1 010通性通法：1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．题型三函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．角度一：奇偶性的应用1．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x解析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)．故选C.通性通法：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．。
高考函数知识点和题型整理大全函数是高考数学中的一个重要知识点，几乎贯穿了整个高中数学学习的内容。
它是数学与实际问题相结合的桥梁，也是解决复杂计算和推理问题的基础工具。
本文将整理高考函数知识点和相关题型，帮助同学们系统地回顾和总结。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：若给定数集A和数集B，对于每一个属于A的元素x，通过一个确定的法则f，可以得出B中唯一确定的元素y与之对应，那么就称f为从A到B的一个函数。
2. 函数的性质：自变量、因变量、定义域、值域、图像与映射关系等。
二、常见函数类型及其性质1. 一次函数：一次函数是函数的一种特殊类型，其形式为y=ax+b，其中a和b 为常数，a≠0。
性质：函数图像为一条直线，斜率为a，截距为b；增减性与性质。
2. 二次函数：二次函数是函数的一种特殊类型，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a≠0。
性质：函数图像为一条抛物线，开口的方向由a的正负决定；顶点坐标与坐标轴交点等。
3. 幂函数：幂函数是函数的一种特殊类型，形式为y=x^a，其中a为常数。
性质：函数图像与幂指数a的奇偶性相关；增减性与性质。
4. 指数函数：指数函数是函数的一种特殊类型，形式为y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
性质：函数图像通过点(0, 1)；增减性与性质。
5. 对数函数：对数函数是函数的一种特殊类型，形式为y=loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1。
性质：函数图像通过点(1, 0)；增减性与性质。
6. 三角函数：三角函数是函数的一种特殊类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
性质：函数图像的周期、对称性、单调性等。
三、函数的运算与复合1. 函数的四则运算：函数的加减乘除运算与性质。
2. 函数的复合：函数的复合运算与性质。
四、函数的图像与方程1. 方程的解与函数的零点：求解方程与函数的零点之间的关系。
2. 函数图像与方程的联系：根据函数图像求解方程，根据方程确定函数图像等。
函数与方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、函数的零点对于函数()x f y =，我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0=x f 有实数根⇔函数()x f y =的图像与x 轴有公共点⇔函数()x f y =有零点.三、零点存在性定理如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()c c f ,0=也就是方程()0=x f 的根.四、二分法对于区间[]b a ,上连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()x f ，通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0=x f 的近似解就是求函数()x f 零点的近似值.五、用二分法求函数()x f 零点近似值的步骤（1）确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精度ε.（2）求区间()b a ,的中点1x .（3）计算()1x f .若(),01=x f 则1x 就是函数()x f 的零点；若()()01<⋅x f a f ，则令1x b =（此时零点()10,x a x ∈）.若()()01<⋅x f b f ，则令1x a =（此时零点()b x x ,10∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若ε<-b a ，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.题型归纳及思路提示题型1 求函数的零点或零点所在区间思路提示 求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.例2.74 求下列函数的零点：（1）();2223+--=x x x x f （2）().4xx x f -=分析：令函数()0=x f ，因式分解或通分求方程()0=x f 的根，得()x f 的零点.解析：（1）有,02223=+--x x x 得()()0222=---x x x ，所以()()0122=--x x所以.1,2±==x x 故函数()x f 的零点是21,1,-。
高考数学知识点归类表格导语：高考是一次重要的考试，对于即将踏入大学的学生来说，数学是其中最为重要的一门科目之一。
在备考高考数学的过程中，掌握并理解各个知识点的归类和对应关系是非常关键的。
本文将以表格的形式，对高考数学的知识点进行归类和梳理，帮助考生更好地复习和备考。
一、函数与方程1. 一次函数相关知识：函数的概念、直线方程和图像、斜率的概念和计算、函数的性质与表示方法等。
典型例题：求函数图像与坐标系的交点等。
2. 二次函数相关知识：抛物线的基本性质、顶点、轴、对称性等。
典型例题：求一元二次方程的根、讨论二次函数的图像等。
3. 指数、对数函数相关知识：指数函数和对数函数的基本性质、对数函数与指数函数的互反性、对数运算、对数方程等。
典型例题：求对数函数的定义域和值域、求解对数方程等。
4. 三角函数相关知识：正弦、余弦、正切函数的性质、图像与周期、三角函数的四象限关系等。
典型例题：求解三角函数的方程、应用三角函数解决实际问题等。
二、几何1. 平面几何相关知识：平面几何的基本概念、平面图形的性质与计算、多边形的性质与计算等。
典型例题：求解平面图形的周长和面积、判断多边形的性质等。
2. 空间几何相关知识：空间几何的基本概念、空间图形的性质与计算、球面的性质与计算等。
典型例题：求解空间图形的体积和表面积、判断球面的性质等。
3. 三角形与相似相关知识：三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角形的周长和面积计算等。
典型例题：判断三角形的相似性、求解相似三角形的长度比等。
三、概率与统计1. 概率相关知识：随机事件与概率、事件的运算、概率分布等。
典型例题：求解概率、应用概率计算等。
2. 统计相关知识：统计图表的绘制与分析、样本调查与估计、统计参数的计算等。
典型例题：分析统计图表、计算统计参数等。
四、数列与立体几何1. 数列与数学归纳法相关知识：数列与数列的通项公式、等差数列与等比数列的性质与计算、数学归纳法等。
函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。
二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。
指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。
4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。
5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。
二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。
3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。
平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。
4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。
复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。
函数的图像知识点及题型归纳总结知识点精讲一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①i:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； ii:函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；iii: 函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②i:若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；ii: 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a ）和图2-21（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图2-21（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 题型归纳及思路提示题型1 由式选图（识图） 思路提示利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案例2.70 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2xy =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A . 解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22xy x =-的AxOxyO y xx yO O y BCD零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22x x >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .变式1 函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图像是（）变式2 在同一坐标系中画出函数log ,,xa y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是（）变式3 函数2y ax bx =+与log ,0,b ay x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图像可能是（）变式4（2012新课标全国卷10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）题型2 函数图像的应用 思路提示1利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例2.71函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D解析令0.5()2log 10xf x x =-=可得0.51log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()log g x x =，1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在同一坐标系下分别画出函数(),()g x h x 的图像，如图2-23所示.可以发现两个函数一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.故选B .变式1 已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是变式2 直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是变式3 函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（）.3A .2B .1C .0D变式4 设定义域为R 的函数lg 1(1)()0(1)x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（）.00Ab c <>且.00B b c ><且.00C b c <=且.00Db c ≥=且变式5 设定义域为R 的函数1251(0)()44(0)x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程[]22()2()0f x mxf x m -+=有7个不同实数解，则m =思路提示2利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案例2.72设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图2-24所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞，故选D .变式1 (2010新课标全国卷理24)设函数(),142+-=x x f 若不等式()ax x f ≤的解集非空，求a 的取值范围.变式2 已知函数()()(),040422⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=x x x x x x x f 若不等式()()a f a f >-22，则实数a 的取值范围是 （ ） A 、()()+∞⋃-∞-,21, B 、()2,1- C 、()1,2- D 、()()+∞⋃-∞-,12,变式3 （2012福建理15）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-ba ab b ba ab a ,,22，设()()12-=x x f *()1-x ，且关于x 的方程()()R m m x f ∈=恰有3个互不相等的实数根1x32,,x x ，则321x x x 的取值范围是 .变式4（2010新课标全国卷理11）已知函数()(),10621)100(lg ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=x x x x x f 若c b a ,,互不相等，且()()(),c f b f a f ==则abc 的取值范围是 （ ）A 、()10,1B 、()6,5C 、()12,10D 、()24,20思路提示3利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题一、函数及其性质1. 函数的定义与定义域、值域：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的依赖关系。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 常用函数类型：常见的函数类型有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 奇偶性：(1) 奇函数：f(-x)=-f(x)，对称于原点；(2) 偶函数：f(-x)=f(x)，对称于y轴；(3) 不存在奇偶性：例如二次函数f(x)=x^2或sin(x)。
4. 函数的单调性与极值：(1) 单调递增：x1 < x2，f(x1) < f(x2)；(2) 单调递减：x1 < x2，f(x1) > f(x2)；(3) 极大值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都小于此值；(4) 极小值：在一定范围内，函数值在此点左右两侧都大于此值。
5. 函数的周期性：周期函数是指函数在某一区间内具有某种规律的重复性。
二、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数可表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 斜率与截距的意义：(1) 斜率k：代表了函数的变化速率，k越大表示变化越快，k为正表示递增，k为负表示递减；(2) 截距b：表示函数与y轴的交点在y轴上的位置。
3. 函数图像与性质：(1) 图像特征：直线；(2) 平行线性质：同斜率的直线平行，即k相同；(3) 直线交点：两条直线的交点为(x, y)，满足k1x+b1=k2x+b2。
4. 求解问题：(1) 两点式：已知两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，再根据一点斜率式y-y1=k(x-x1)求解；(2) 截距式：已知截距b和斜率k，直线方程为y=kx+b；(3) 点斜式：已知直线上一点A(x1, y1)和斜率k，直线方程为y-y1=k(x-x1)。
三、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数可表示为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0，a为抛物线的开口方向。
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数知识点及常见题型总结函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。
函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。
函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。
换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。
一、核心知识点总结1、函数的表达式1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数xky =（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。
注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。
2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。
3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。
3、函数的图像 1）一次函数一次函数by=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+kx图像是经过原点（0，0）的直线。
2）反比例函数3）二次函数4、函数图像的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位二、常见题型：1、求函数的表达式常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。
第二章：函数1、函数的概念：一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合中B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。
记为y=f(x),x A y B ∈∈ (从映射的角度看，函数其实就是非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的映射)2、定义域：自变量x 的取值范围，即：集合A ，（对于用解析式表示的函数，若没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的x 的集合。
） 定义域的求法：主要遇到的是（1）、分式函数的分母不为0。
例如：11y x =- 定义域为：{}/1x x ≠（写成集合的形式）（2）、含偶次根式的函数，根号底下的大于等于0。
例如：y = 有220x -≥求得其函数定义域的为：{/x x x ≥≤练习：7、求()f x =3、值域：函数值的取值范围，记做C ，显然C B ⊆值域的求法：（值域的求法是比较难的内容，同学们暂时只要了解和掌握比较常见的值域求法就可以了）主要有以下几种：A 、观察法：只要适合于比较简单的函数，比如：1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩值域就为{}1,0,1-。
练习：8、函数A 到B 的函数():21f x x x →-集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,3,4,5,6B =求()f x 的值域。
B 、配方法求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）例如：已知函数223y x x =+-分别求出下列区间上的值域，（1）x R ∈，（2）、[2,2)x ∈-（3）、[1,3]x ∈ （这里给出的x 的范围主要有三种：整个定义域R ，区间介于对称轴的两边，区间在函数图像对称轴的一边，） 解：第一步：先进行配方。
第二步：作出函数的大致图像（要标出图像与坐标轴的交点和定点坐标、对称轴、要求的区间的端点坐标）第三步：从图像上分析，在要求的区间上的函数值域是多少 练习：9 函数2()41f x x x =-+，求(1,3)-上的值域。
根据函数知识点总结及题型归纳
一、函数的定义
函数是一种封装了一段特定功能的可重复使用的代码块。
它接
收输入参数，并返回相应的输出结果。
二、函数的调用
函数的调用通过函数名和参数来实现。
函数名后面跟随一对括号，括号内可以传递参数。
三、函数的返回值
函数可以返回一个值给调用者，也可以不返回任何值。
四、函数的参数
函数的参数可以是必需的或可选的。
必需参数在调用函数时必
须提供，而可选参数则有默认值。
五、常见的函数题型
1. 求和函数
函数接收一个数值列表作为参数，并返回列表中所有元素的和。
2. 平均值函数
函数接收一个数值列表作为参数，并返回列表中所有元素的平均值。
3. 最大值函数
函数接收一个数值列表作为参数，并返回列表中的最大值。
4. 最小值函数
函数接收一个数值列表作为参数，并返回列表中的最小值。
5. 阶乘函数
函数接收一个正整数作为参数，并返回该数的阶乘值。
6. 斐波那契数列函数
函数接收一个正整数作为参数，并返回该数以下的斐波那契数列。
七、总结
函数是编程中非常重要的概念。
了解函数的定义、调用方式、返回值和参数类型对编写高效且可复用的代码至关重要。
常见的函数题型包括求和函数、平均值函数、最大值函数、最小值函数、阶乘函数和斐波那契数列函数。
函数的定义与表示知识点及题型归纳总结知识点精讲：1、映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f ，对A 中的任何―个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射.注 由映射的定义可知，集合A 到集合B 的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多. 注 象与原象如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫a 的象．记作b ＝f (a ),a 叫b 的原象．A 的象记为f (A ) 2、一一映射设A ，B 是两个集合，f 是A 到B 的映射，在这个映射下，对应集合A 中的不同元素，在集合B 中都有不同的象，且集合B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f 为A →B 的一一映射.注 由一一映射的定义可知，当A ，B 都为有限集合时，集合A 到集合B 的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A 与集合B 中的元素个数相等. 3、函数设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.题型归纳及思路提示：题型1 映射与函数的概念思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射.例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（ ） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合BA ①②B .③④C .①③D .②③④解析 由映射的定义可知, ①集合A 中任一元素在B 中必须有象且唯―是正确的；集合A 中元素的任意性与集合B 中元素的唯一性构成映射的核心，显然②不正确，“一对多”不是映射；③因A 在对应法则f 下的值域C 是B 的子集，所以③正确；④不正确，象的集合是集合B 的子集，并不一定为集合B ．故选C 变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应[]2(1):1,2,0p x x a ∀∈-≥；(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f :x →y 是x 的外接圆； （4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :x →y 是x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______变式2 已知函数y ＝f (x ),定义域为A ＝｛1,2,3,4｝值域为C ＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？ 例2.2 函数)(x f y =的图像与直线x ＝2的公共点有（ ） A .0个 B . l 个 C . 0个或1个 D .不能确定分析 利用函数的定义解释，对于自变量x ∈D ，则有唯一的值与其对应.解析 若函数)(x f y =中定义域包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2有1个公共点；若函数)(x f y =定义域中不包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2无交点，故选C变式1 已知函数y ＝[],6,0,2642∈--+x x x 将函数图像绕原点逆时针旋转θ角，要使得图像在旋转的过程中为函数图像，则θ角正切值的最大值为多少？变式2 已知集合A ＝｛1，2，3，…，23｝求证：不存在这样的函数f ：A →｛1，2，3｝，使得对任意的整数21,x x ∈A ，若∈-21x x {1，2，3},则()()21x f x f ≠题型2 同一函数的判断思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组 （1）0x y =与y =1 （2）()2x y =与2x y =（3）xx y 31-=与331t t y -=解析 （1）0x y =的定义域为{}0≠x x ;y =1的定义域为R ,故该组的两个函数不是同一函数； (2)()2x y =的定义域为{0≥x x };2x y =的定义域为R ，故该组的两个函数不是同一函数；(3)两个函数的定义域均为｛x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数 故为同一函数的一组是（3）评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性变式1下列函数中与y ＝x 是同一函数的是( )(1)2x y =(2)x a a y log =(3)xa a y log = (4)33x y = (5))(*N n x y n n ∈=A (1)(2)B (2)(3)C (2)(4)D (3)(5) 题型3 函数解析式的求法思路提示 求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.(2)当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法.(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. 一、待定系数法（函数类型确定）例2.4已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y =x 的下方.（1）求证:a +b +c ≥1;（2）设()())()(,32x g x f x F x x x g +=++=，若F (0)＝5，且F （x ）的最小值等于2，求)(x f 的解析式.解析（1）因为())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任点都不在直线y ＝x 的下方，所以1)1(≥f ，即a ＋b＋c ≥1.(2)因为())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y ＝x 的下方，取相同x ，二次函数值总大于一次函数值，所以()x x f ≥，即x c bx ax ≥++2，得0)1(2≥+-+c x b ax ，对任意x ∈R 成立.因为a ≠0.所以a >0且04)1(2≤--ac b ① 又()()(),53000=+=+=c g f F 得C =2所以()()()5)1()1(2++++=+=x b x a x g x f x F .所以F （x ）的最小值为()()()21411202=++-+a b a .整理得12)1(122-+=b a . ②将②式与c =2代人①式，整理得()250,b -≤且()250,b -≥即()25b -=0，所以b =5，a =2. 故()2522++=x x x f变式1已知)(x f 是一次函数，若()()14-=x x f f ，求)(x f . 二、换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）例2.5已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式. 分析 把1+x 看成一个整体，可用换元法求解析式解析 解法一（换元法）令1+x =t （1≥t ），则,1-=t x 得)1()1(2≥-=t t x ，所以2)1()(-=t t f ()11)1(22≥-=-+t t t ，即()().112≥-=x x x f解法二(配凑法）：()()1112-+=+x x f,即)(x f ().112≥-=x x评注 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t 范围的限制变式1 已知221111xxx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,求()x f 的解析式. 变式2设()x f =xx-+11，又记()=x f 1()x f ()()()x f f x f k k =+1,(k =1,2,…),则()x f 2015=( ). A.x 1- B . x C .11+-x x D .xx -+11例2.6 已知函数()x f 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1221xx +=,则()x f 的表达式为________.解析 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1＝212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ,又21≥+x x 或x x 1+≤―2,故()22-=x x f(x >2或x <―2)评注 求函数解析式要注意定义域变式1 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的解析式 三、方程组法例2.7 已知函数()x f 满足：()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.分析 本题中除了所要求取的()x f 形式，同时还存在另个形式⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，应通过方程消元的思想，消去⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的形式，故只需寻求另一个关于()x f 和⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的等量关系式即可.解析 由()x x f x f 312=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ①以1x代替x 得到()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ②由①②联立，求得()()20.f x x x x=-≠ 评注 若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ϕ⎡⎤⎣⎦ （如()0a f a x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或()f a x - 等）时，可用()x ϕ 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式，常称这种方法为方程组法.变式1函数()f x 满足方程()()af x f x ax +-= ,其中x R ∈,a 为常数，且a ≠1± ·求()f x 的解析式. 四、求分段函数的解析式例2.8已知函()()()()2021,,10x x f x x g x x ⎧≥⎪=-=⎨-≤⎪⎩求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 的表达式. 分析 本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.解析 由()()()2010x x g x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩可得()()()()221021,30x x f g x g x x ⎧-≥⎪=-=⎡⎤⎨⎣⎦-<⎪⎩当()21,f x x o =-≥ 即12x ≥时,()()221g f x x =-⎡⎤⎣⎦ ;当()0,f x <即12x < 时,g () 1.g f x =-⎡⎤⎣⎦ 因此()()21 212.132x xg f xx⎧⎛⎫-≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎡⎤⎨⎣⎦⎛⎫⎪-≤⎪⎪⎝⎭⎩评注对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.变式1 已知函数()()()()2212.2212x xxf x xx x+≤-⎧⎪⎪=≥⎨⎪-<<⎪⎩(1)求7;4f f f⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(2)若()3,f a=求a的值. 变式2（2012江西理3）若函数()21,1,lg,1x xf xx x⎧+≤=⎨>⎩则()()10f f=( ).A. lg101B. 2C.1D.0例2.9已知实数a≠0函数(),1,2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩若()()11,f a f a-=+则a的值为______. 解析当a>0时,1-a<1.1+a>1.得()()2112a a a a-+=---解得32a=-.（不符，故舍去）；当a<0时,1-a >1,1+a<1 ,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a．解得34a=-.综上,34a=-.变式1 已知实数a≠0,函数()2,1,2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩若()()12,f a f a-=+则a的值为_______最有效训练题1.下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射的是( )A. {}20,B,:A x x R f x y x=>=→=·B .{}{}22,0,2,4,:A B f x y x=-=→=C.{}21,0,:A RB y y f x yx==>→=D.{}{}0,2,0,1,:2xA B f x y==→=2.如图2-2所示，（a），（b），（c）三个图像各表示两个变量x，y的对应关系则有A 都表示映射，且（a ），（b ），（c ）表示y 为x 的函数B 都表示y 是x 的函数C 仅（b ）（c ）表示y 是x 的函数D 都不能表示y 是x 的函数3.下列各组函数中是同一函数的是（ ） A .x Y x =与1y = B .1y x =- 与1,11,1x x y x x ->⎧=⎨-<⎩C .1y x x =+- 与21y x =-D .321x x y x +=+ 与y x =4.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){},,x y x R y R ∈∈，映射f ：A →B 使集合A 中的元素（x ，y ）映射成集合B 中的元素（x ＋y ，x -y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是（ ）． A .(3，1) B .31,22⎛⎫⎪⎝⎭ C .31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D . ()1,3 5.已知函数()()()20,10x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩若()()10f a f += ,则实数a 的值等于（ ）A .-3B .-1C .1D .36设,f g 都是由A 到B 的映射，其对应法则如表2-1和表2-2所示 . 表2-1 映射f 的对应法则则与()1f g ⎡⎤⎣⎦ 相同的是（ ）A .()1g f ⎡⎤⎣⎦B .()2g f ⎡⎤⎣⎦C .()3g f ⎡⎤⎣⎦D .()4g f ⎡⎤⎣⎦7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=，则f (-3)=_______.8.设函数()()()221121x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩,则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为_______. 9.设函数()()()2020x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩,若()()()30,12,f f f -=-=- 则关于x 的方程()f x x =的解的个数为_______.10．若:31f y x =+ 是从集合{}1,2,3,A k = 到集合{}42*4,7,,3,B a a a a N =+∈ 的一个映射,则A ＝_____，B =_______.11.求下列函数的解析式：(1)已知21lg ,f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭求()f x ; (2)已知()f x 是一次函数,且满足()()3121217,f x f x x +--=+求()f x ; （3）已知()21cos sin f x x -=,求()f x ;(4)()f x 为二次函数且f (0)=3,()()242f x f x x +-=+,求()f x ;(5）已知定义域为（0,＋∞）的单调函数(),f x 若对任意的()0,x ∈+∞都有()12log 3,f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求()f x 的解析式.12.已知()()()()2101,.20x x f x x g x x x ->⎧⎪=-=⎨-<⎪⎩(1)求()2f g ⎡⎤⎣⎦和()2g f ⎡⎤⎣⎦的值 （2）求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的表达式.参考答案 例2.1变式1分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则下，对应集合A 中的任一元素在B 中能否都有唯一的象.解析 在（1）中，元素0在B 中没有象，不满足“任意性”，因此，（1）不能构成映射. 在（2）中，当为偶数时，其象为1；当为奇数时，其象为-1，而1，-1，即A 中任一元素在B 中都有唯一的象，因此（2）能构成映射.在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（3）能够成映射.在（4）中，因为平面内的任一个圆，其内接矩形有无数个，因此（4）不能构成映射. 综上所述，能构成映射的有（2）（3） 评注 判断一个对应是否能够成映射，应紧扣映射定义，在映射中，A ,B 的地位是不对等的，它并不要求B 中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A 中元素的象的集合为C ，则，同时要注意映射中集合元素的对象是任意的，可以是数、点或其它任意对象. 例2.1变式2分析 由函数定义，本题等价于将4件不同的东西分配给3人，且每人至少1件. 解析 利用捆绑法，得，故满足条件的函数有36个.例2.2变式1 解析 ，整理得，得该函数图像如图2-35所示，即为圆，半径为的一段弧，逆时针旋转，要使得在旋转的过程中始终为函数的图像，那么所转过的最大时为圆弧在原点处的切线与y 轴重合时，.xy3-2图2-35θθθ(3,-2)6例2.2变式2解析 （反证法）假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.设，由已知，由于，所以.不妨令，这里，同理，因为只有三个元素，所以，即，但是，与已知矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的函数,使得对任意的整数，若，则.例2.3变式1分析首先判定定义域，再判断对应法则，也可快速判断值域.解析（1）的解析式不同，不是同一函数；（2）的定义域和解析式完全相同，为同一函数（3），但函数的定义域为的定义域不相同，故不是同一函数；（4），其定义域与解析式与完全相同，为同一函数；（5）解析式不同，故不是同一函数，故选C评注由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，才是同一函数，即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，因此函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例2.4变式1解析设，所以.评注当已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设出解析式，再确定系数得出解析式例2.5变式1分析利用换元法求解.解析：令.评注对于形式的表达式求解的有效方法：令，解出，代入函数表达式，但应注意新元的范围.若本题改为选择题：已知，则的解析式为（）A.B.B.D.则不需要按【例2.5变式1】中的方法求解，只需用特殊值排除法即可，如取，则，代入选项验证可知，只有选项C符合，而选项A,B,D都不符合，故答案为C，这种方法的解题效率往往比常规方法更快.例2.5变式2解析即, 可看作周期为4的变换，所以，故选C.评注只表示表达式相同，其定义域不同，.本题亦可用特殊值法..故选C 例2.6变式1分析利用题中的复合变量凑出.。
●高考明方向1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.★备考知考情从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.函数的图象主要体现在选择与填空题中用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象求解析式．一、知识梳理《名师一号》P10知识点一函数的基本概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．从映射的角度看，函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法知识点二映射映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .（补充）象和原象：给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B ，如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．注意：《名师一号》P11 问题探究 问题2函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数．知识点三 分段函数若函数在其定义域，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．（补充）复合函数()()=y f g x二、例题分析：（一) 映射与函数的概念例1．（1）(补充)（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 上述三个对应 是A 到B 的映射．答案：（2）注意：(补充)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有像”且“像唯一”；即要注意：①允许一对一、多对一，但不允许一对多；②B 中元素可有剩余（即允许B 中有的元素没有原象）.例1．（2）(补充)点(),a b 在映射f 的作用下的象是(),a b a b -+，则在映射f 的作用下点()3,1的原象是答案：()2,1-例2.《名师一号》P11 高频考点 例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．答案: ②③.解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧1 x ≥0，－1 x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.注意：《名师一号》P11 高频考点 例1 规律方法 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．简而言之1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射。
:f x y →是一对一或多对一2、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）可简化为两要素（定义域、对应法则）练习：《名师一号》P10 对点自测1---图像练习：温故知新P11 第9题解析式为2=y x ，值域为{}1,4的函数共有 个。
答案：9（二）求函数解析式例1. （1）《名师一号》P11 高频考点 例2(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．解析：(1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．例1. （2）《名师一号》P11 高频考点 例2(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；解析：(2)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值围．例1. （3）《名师一号》P11 高频考点 例2(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；解析：(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2， 得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1.∴⎩⎨⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)可用待定系数法．（补充）（1） 一次函数解析式：()()0f x kx b k =+≠（2） 二次函数解析式：① 一般式：()2()0f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()2()0f x a x h k a =-+≠(顶点为(),h k )③ 两根式：()()()12()0f x a x x x x a =--≠（12x x 、为相应方程()0f x =的两根）例1. （4）《名师一号》P11 高频考点 例2(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．解析：(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)． 注意：《名师一号》P11 高频考点 例2 规律方法求函数解析式常用以下解法：(4)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．例1. （5）（补充）已知函数f (x )满足f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)(a 、b ∈R)，求f (x )．解析：解法1：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1，再令－b ＝x 得，f(x)＝x2＋x＋1.解法2：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)，∴f(a)＝a(a＋1)＋1＝a2＋a＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.注意：（补充）求函数解析式常用以下解法：赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个围的一切值都成立，则对该围的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化，从而获解。
（三)分段函数、复合函数例1.（1）《名师一号》P11 对点自测4已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是__________．解析 f [g (1)]＝f (3)＝1. x 1 2 3f [g (x )] 1 3 1g [f (x )] 3 1 3故f [g (x例1.（2）《名师一号》P11 对点自测6(2014·卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值围是________．解析 由题意得⎩⎨⎧f a <0，f 2a ＋f a ≤2，或⎩⎨⎧ f a ≥0，－f 2a ≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎨⎧ a <0，a 2＋a ≥－2，或⎩⎨⎧ a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.例2.《名师一号》P12 高频考点 例3(2014·卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0， 则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)A 项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＋1＝π2＋44，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以函数f (x )不是偶函数，排除A. B 项，当x >0时，函数f (x )单调递增，而f (x )＝cos x在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f (x )不是增函数，排除B.C 项，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，对任意的非零实数T ，f (x ＋T )＝f (x )均不成立，故该函数不是周期函数，排除C.D 项，当x >0时，f (x )＝x 2＋1>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x∈[－1，1]．故函数f(x)的值域为[－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)，所以该项正确，选D.注意：《名师一号》P12 高频考点例3 规律方法(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，代入求解．(2)如果分段函数中每一段上的解析式都是我们常见的基本初等函数，通常可以将这个分段函数的图象画出来，然后结合图象解决一些函数单调性问题、函数零点个数的判断问题、参数取值围的讨论等问题．例3《名师一号》P12 特色专题典例设x≥0时，f(x)＝2；x<0时，f(x)＝1，又规定：()()()() 3122---=>f x f xg x x，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．【规解答】对于x>0的不同区间，讨论x－1与x －2的符号可求出g(x)的表达式．当0<x <1时，x －1<0，x －2<0， ∴g (x )＝3－12＝1； 当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52； 当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2. 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 0<x <1，52 1≤x <2，2 x ≥2.其图象如下图．注意：分段函数意义理解不清致误【易错分析】①对函数的对应法则不理解，误认为f(x－1)＝f(x－2)＝2，虽然都是x>0但已知函数y＝f(x)，x是作为对应法则f下的自变量，而函数y＝f(x－1)是复合函数，对应法则f不是直接作用于x，而是作用于x－1只有x≥1时，x－1≥0，此时f(x－1)＝2才成立．②不理解分段函数的概念，不会对x－1，x－2的符号进行讨论或讨论时易遗漏1≤x<2这种情况．③忽视分段函数中每一段自变量取值围端点处等号是否取得，表现在图象上为端点的虚实与衔接，如x＝1和x ＝2时对应的两点不能同时为实点，否则x与y的对应是一对二，不是映射也就构不成函数关系了，另本题中已知条件x>0也是容易忽视的．【名师点评】对于分段函数问题是高考的热点，在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．课后作业计时双基练P213 基础1-11、培优1-4课本P11-12变式思考1、2、3；对应训练1、2、3预习 第二章 第二节 函数的定义域与值域补充：练习1：已知2(21)465f x x x +=-+，求()f x 。
