第一部分专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第4讲 复数、算法、推理与证明专题强化精练提能 理[A 卷]1．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i解析：选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z －＝2－i. 2．(2015·江西省九江市第一次统考)设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．1－3iD ．1＋3i解析：选B. z －＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i ，故选B.3．(2015·潍坊模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，输入的S 0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.第一次循环，得S ＝S 0－21＝S 0－2，i ＝2；第二次循环，得S ＝S 0－2－22＝S 0－6，i ＝3；第三次循环，得S ＝S 0－6－23＝S 0－14，i ＝4，此时不满足i <4，输出S ＝－4，即S 0－14＝－4，所以S 0＝10，故选D.4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15解析：选C.原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，故选C.5．“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.z ＝3－a i i ＝（3－a i ）·ii ·i ＝－a －3i 对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件．6．已知某算法的流程图如图所示，若输入x ＝7，y ＝6，则输出的有序数对为( )A ．(13，14)B ．(12，13)C ．(14，13)D ．(13，12)解析：选A.执行流程图得，n ＝1，x ＝6＋1＝7，y ＝8；n ＝2，x ＝y ＋1＝9，y ＝10； n ＝3，x ＝y ＋1＝11，y ＝12； n ＝4，x ＝y ＋1＝13，y ＝14；n ＝5，循环结束，输出(13，14)，故选A.7．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值是( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．0解析：选D.由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），a ≥b ，a （b －1），a <b ，所以2tan 5π4⊗ln e ＝2⊗1＝4，lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝4－4＝0，故选D. 8．(2015·郑州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝m －45－2m ＋25i ，若复数z 在复平面上对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －45>0，－2m ＋25>0，而此不等式组无解，所以复数z 在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?解析：选B.第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7.此时满足条件，故选B.10．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：选B.通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.11．(2014·高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于________．解析：由题意，得S ＝0，n ＝1；S ＝0＋2＋1＝3<15，n ＝2；S ＝3＋22＋2＝9<15，n ＝3；S ＝9＋23＋3＝20，n ＝4，因为20≥15，因此输出S .答案：2012．已知复数z ＝a －32i ，且z 2＝b ＋32i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________． 解析：由已知，得z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32i 2＝a 2－34－3a i ＝b ＋32i ，利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝b ，－3a ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，故a ＋b ＝－1.答案：－113．观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…；则第n 个不等式为________．解析：观察题中不等式知，分母中根号下被开方数依次是1×2；2×3；3×4；…，所以所求的不等式为12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n . 答案：12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n 14．(2015·山西省质量监测)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4.答案：415．在平面几何中：△ABC 的∠ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE BE ＝ACBC.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[B 卷]1．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( ) A.55B.55i C ．1 D ．i解析：选A.由z ＝|1＋2i|2－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝255＋55i ，可知其虚部为55. 2．用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B ．a ，b ，c ，d 全都为正数C ．a ，b ，c ，d 全都为非负数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：选C.用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”，故C 正确．3．复数z ＝1＋2i2 0151－i 2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015＝1－2i1＋i ＝1－3i －22＝－12－3i 2， 则z ＝－12＋3i2在复平面内对应的点在第二象限，故选B.4．(2015·山西省考前质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4；第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5；第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6，此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C.4题图 5题图5．如图给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i >100，n ＝n ＋2C ．i >50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C.因为12，14，…，1100共50个数，所以程序框图应运行50次，所以变量i 应满足i >50. 因为是求偶数的和，所以应使变量n 满足n ＝n ＋2，故选C.6．(2015·邢台市摸底考试)已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数解析：选C.依题意，z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；z －1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：若四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则V ＝V O ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ，即V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．(2015·太原质检)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )769813679294158 6103 111 4A．6 B．10C．91 D．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.9．(2015·临沂模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的a＝( )A．20 B．14C．10 D．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a＝10，i＝1；②a＝5，i＝2；③a ＝14，i＝3；④a＝7，i＝4；⑤a＝20，i＝5；⑥a＝10，i＝6，因为当i＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403，所以输出的a＝10.10．[n ]表示不超过n 的最大整数． 若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…则S n ＝( ) A ．n (n ＋2) B ．n (n ＋3) C ．(n ＋1)2－1D ．n (2n ＋1)解析：选D.观察得到：S n 是从n 2开始到（n ＋1）2(不含)之前共2n ＋1个n 的和， 所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[（n ＋1）2－1]＝n (2n ＋1)． 11．(2015·德州模拟)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： ①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为z ；④z 的虚部为－1. 其中所有正确命题的序号是________．解析：z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）(－1－i)＝－1－i ，|z |＝2；z 2＝2i ；z 的共轭复数为－1＋i ； z 的虚部为－1.所以正确命题的序号是②④. 答案：②④12．观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan 30°＋90°2＝3，tan 15°＋75°2＝1，tan 20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tanα＋β2.答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β213．某天，小赵、小张、小李、小刘四人到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A 、B 、C 、D 四部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片．小赵说：只要不是B 就行；小张说：A 、D 我都可以看；小李说：我们四人有共同喜欢的影片；小刘说：除了A 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为________．解析：根据四人的描述可知，小赵可以看的影片有A 、C 、D .小张可以看的影片有A 、D ，小刘可以看的影片有B 、C 、D .又他们四人有共同喜欢的影片，所以只能是D .答案：D14．数列{a n }满足a n ＝n ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n ＝5，a n ＝n ，x ＝2，则输出的结果v ＝________．解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，初始值为n ＝5，x ＝2，v ＝a 5＝5，i ＝n －1＝4，执行程序框图的结果依次为v ＝5×2＋4＝14，i ＝3；v ＝14×2＋3＝31，i ＝2；v ＝31×2＋2＝64，i ＝1；v ＝64×2＋1＝129，i ＝0，此时终止循环，输出的v ＝129.答案：12915．(2015·南昌模拟)观察下列等式：13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12；163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1， 知m ＝0，n ＝1，1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12， 知m ＝2，n ＝4，12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39， 知m ＝5，n ＝8，39＝82－52；…依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2. 答案：n 2－m 2。
