第3 章狭义相对论

如果我說，相對論與日常生用息息相關，你會信嗎？或許就算我是一位知名的物理學教授，說服力相信也不會大得多少。

以下我將要用比較淺白簡單的文字和少許初等代數，說明並說服大家，相對論並不難懂，而且它在日常經驗中是如此的明顯、如此的必要！1905 年被稱為愛因斯坦的「奇蹟年」，愛因斯坦向世界提出了一套非常明顯、非常合理，但卻一直不為人所理解的理論狹義相對論(special relativity)。

被稱為「狹義」是因為這個理論只在慣性座標系中適用；換句話說，即是在所有沒有加速度的系統中都適用。

狹義相對論建基於兩大假設：∙在所有的慣性系統中，所有有物理定律保持不變。

∙對於所有系統中的所有觀測者，光速永遠不變，而且不是無限快的。

假設(一)「所有自然定律不變」一般被稱為相對性原理(principle of relativity)，明顯比較合理，也比較容易理解。

而乍看之下，光速相對於所有人都不變，而不論那人正在高速奔跑或者靜止不動都沒有關係，就顯得較為奇怪了。

要理解這一點，我們需要由速度的意義說起。

速度，就是在說「每單位時間內走了多遠」。

說得再淺白一點，可以想像為「每秒走了多少米(m/s)」。

但這只是慣用單位的問題，你當然可以想成「每小時走了多少公里(km/h)」，這正是司機們慣用的單位。

在科學中，單位是至關重要的，因為不同單位的東西就是不同性質的東西，不可以混為一談的比較，好像一個蘋果永遠不會等於一個橙。

假設(二)「光速相對所有人都不變」，就是說相對於所有人，光在每單位時間內走的距離都一樣。

就是說，當你向著一道光奔跑，「直覺上」你會認為你所看到的光速比起你在靜止不動時快，因為在你向光跑去的「同時」，光亦向著你衝去。

換成數學上的表達，就是說如果你用速度v 向著光衝去，而我們用c 代表你在靜止時看到的光速，那你看到的光速就會變成了c+v。

這就是所謂的伽俐略變換，亦被一般人叫做「常識」。

當然了啊，兩個物件互相衝去，當然會比其中一個不動、或兩者互相遠離快啊。

狭义相对论狭义相对论是爱因斯坦在1905年提出的一种物理学理论，它主要研究的是在匀速直线运动的参考系中，时间和空间的变化规律。

下面将从四个方面详细回答这个问题。

一、狭义相对论的基本假设狭义相对论的基本假设有两个：一是物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，即物理学的基本规律具有相对性；二是光速在真空中是不变的，即光速是一个普遍不变的常数。

二、狭义相对论的主要内容狭义相对论的主要内容包括以下几个方面：1. 时间的相对性：不同的惯性参考系中，时间的流逝速度是不同的，即时间是相对的。

2. 长度的相对性：不同的惯性参考系中，长度的测量值是不同的，即长度也是相对的。

3. 质量的变化：物体的质量随着速度的增加而增加，当物体的速度趋近于光速时，质量无限增大。

4. 能量的等效性：质量和能量是可以相互转化的，质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。

三、狭义相对论的实验验证狭义相对论的假设和内容在很多实验中都得到了验证，例如：1. 米歇尔逊-莫雷实验：实验证明了光速在不同方向上的测量结果是相同的，即光速是不变的。

2. 布拉格实验：实验证明了快速运动的电子具有更大的质量，证明了质量的变化。

3. 电子加速器实验：实验证明了质子在高速运动时具有更大的质量，证明了质量的变化。

四、狭义相对论的应用狭义相对论在现代物理学中有着广泛的应用，例如：1. GPS导航系统：GPS导航系统需要考虑相对论效应，才能准确测量卫星和接收器之间的距离。

2. 粒子物理学：狭义相对论对粒子物理学的研究有着重要的影响，例如粒子加速器和粒子探测器的设计和使用。

3. 核能技术：狭义相对论对核能技术的发展也有着重要的推动作用，例如核反应堆的设计和核武器的制造。

总之，狭义相对论是现代物理学的基础之一，它的理论和实验研究对于我们对自然界的认识和技术的发展都有着重要的影响。

第3章 狭义相对论地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上别离放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．若是地球从形成到此刻是50亿年，请问那两只钟指示的时刻差是多少？解：地球的半径约为R = 6400千米 = ×106(m)，自转一圈的时刻是T = 24×60×60(s) = ×104(s)，赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = ×102(m·s -1)．将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．南极和赤道上的钟别离用A 和B 表示，南极参考系取为S ，赤道参考系取为S`．A 钟指示S 系中的本征时，同时指示了B 钟的运动时刻，因此又指示S`系的运动时．同理，B 钟指示S`系中的本征时，同时指示了A 钟的反向运动时刻，因此又指示S 系的运动时． 方式一：以S 系为准．在S 系中，A 钟指示B 钟的运动时刻，即运动时Δt =50×108×365×24×60×60=×1016(s)．B 钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A 钟的运动时Δt 和B 钟的本征时Δt`之间的关系为t ∆=，可求得B 钟的本征时为21`[1()]2v t t c∆=∆≈-∆， 因现在刻差为 21`()2v t t t c∆-∆≈∆=×105(s)．在南极上看，赤道上的钟变慢了． 方式二：以S`系为准．在S`系中，B 钟指示A 钟的反向运动时刻，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=×1016(s)． A 钟在S 中的位置不变的，指示着本征时Δt ．B 钟的运动时Δt `和A 钟的本征时Δt 之间的关系为`t ∆=，可求得A 钟的本征时为21[1()]`2v t t t c∆=∆≈-∆， 因现在刻差为 21`()`2v t t t c∆-∆≈∆=×105(s)．在赤道上看，南极上的钟变慢了． [注意]解此题时，先要确信参考系，还要确信运动时和本征时，才能正确引用公式．有人直接应用公式计算时刻差``t t t ∆-∆=-∆2211[1()]``()`22v v t t t c c ≈+∆-∆=∆， 由于地球速度远小于光速，因此计算结果差不多，可是关系没有弄清．从公式可知：这人以S 系为准来对照两钟的时刻，Δt `是B 钟的本征时，Δt 是A 钟的运动时，而题中的本征时是未知的．也有人用下面公式计算时刻差，也是一样的问题．`t t t ∆-∆=-∆2211[1()]()22v v t t t c c ≈+∆-∆=∆一根直杆在S 系中观看，其静止长度为l ，与x 轴的夹角为θ，S`系沿S 系的x 轴正向以速度v 运动，问S`系中观看到杆子与x `轴的夹角假设何？解：直杆在S 系中的长度是本征长度，两个方向上的长度别离为l x = l cos θ和l y = l sin θ．在S`系中观看直杆在y 方向上的长度不变，即l`y = l y ；在x 方向上的长度是运动长度，依照尺缩效应得`xl l =``tan `yxl lθ==，可得夹角为21/2`arctan{[1(/)]tan }v c θθ-=-．在惯性系S 中同一地址发生的两事件A 和B ，B 晚于A 4s ；在另一惯性系S`中观看，B 晚于A 5s 发生，求S`系中A 和B 两事件的空间距离？解：在S 系中的两事件A 和B 在同一地址发生，时刻差Δt = 4s 是本征时，而S`系中观看A 和B 两事件确信不在同一地址，Δt ` = 5s 是运动时，依照时刻膨胀公式`t ∆=， 即5=能够求两系统的相对速度为v = 3c /5．在S`系中A 和B 两事件的空间距离为Δl = v Δt ` = 3c = 9×108(m)．一个“光钟”由两个相距为L 0的平面镜A 和B 组成，关于那个光钟为静止的参考系来讲，一个“滴答”的时刻是光从镜面A 到镜面B 再回到原处的时刻，其值为002Lc τ=．假设将那个光钟横放在一个以速度v 行驶的火车上，使两镜面都与v 垂直，两镜面中心的连线与v 平行，在铁轨参考系中观看，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系如何？解：不论两个“光钟”放在什么地址，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时刻，称为本征时．在铁轨参考系中观看，火车上钟的一个“滴答”的时刻τ是运动时， 因此它们的关系为τ=S 系中观看到两事件同时发生在x 轴上，其间距为1m ，S`系中观看到这两个事件间距离是2m ，求在S`系中这两个事件的时刻距离．解：依照洛仑兹变换，得两个事件的空间和时刻距离公式`x ∆=2`t ∆=----------（1）由题意得：Δt = 0，Δx = 1m ，Δx` = 2m ．因此`x ∆=，2`t ∆=-----------（2）由（2）之上式得它们的相对速度为v =（3）将（2）之下式除以（2）之上式得 2``t vx c∆=-∆， 因此`t ∆=== ×10-8(s)． [注意]在S `系中观看到两事件不是同时发生的，因此距离Δx` = 2m 能够大于距离Δx = 1m ．若是在S `系中观看到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时能够用长度收缩公式`x ∆=∆一短跑运动员，在地球上以10s 的时刻跑完了100m 的距离，在对地飞行速度为0.8c 的飞船上观看，结果如何？解：以地球为S 系，那么Δt = 10s ，Δx = 100m ．依照洛仑兹坐标和时刻变换公式`x =2`t =，飞船上观看运动员的运动距离为`x ∆==≈-4×109(m)．运动员运动的时刻为2`t ∆=100.8100/0.6c-⨯=≈(s)．在飞船上看，地球以0.8c 的速度后退，后退时刻约为；运动员的速度远小于地球后退的速度，因此运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m ．已知S`系以0.8c 的速度沿S 系x 轴正向运动，在S 系中测得两事件的时空坐标为x 1 = 20m ，x 2 = 40m ，t 1 = 4s ，t 2 = 8s ．求S`系中测得的这两件事的时刻和空间距离． 解：依照洛仑兹变换可得S`系的时刻距离为2``21t t -=840.8(4020)/0.6c---=≈(s)．空间距离为``21x x -=40200.8(84)0.6c --⨯-=≈×109(m)．S 系中有一直杆沿x 轴方向装置且以0.98c 的速度沿x 轴正方向运动，S 系中的观看者测得杆长10m ，还有一观看以0.8c 的速度沿S 系x 轴负向运动，问该观看者测得的杆长假设何？ 解：在S 系中的观测的杆长Δl = 10m 是运动长度，相对杆静止的参考系为S `，其长度是本征长度，依照尺缩效应l l ∆=∆`l ∆=== (m)．另一参考系设为S ``系，相对S 系的速度为v 20 = -0.8c ．在S ``系观看S`系的速度为102012210201/v v v v v c-=-0.98(0.8)10.98(0.8)c c --=--= 0.99796c ． 在S ``系观看S`系中的杆的长度是另一运动长度``l l ∆=∆= (m)．[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地域别不同的速度，例如用v 10表示S `相对S 系的速度，用v 12表示S `系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就可不能混淆．一飞船和慧星相关于地面别离以0.6c 和0.8c 速度相向运动，在地面上观看，5s 后二者将相撞，问在飞船上观看，二者将经历多长时刻距离后相撞？解：二者相撞的时刻距离Δt = 5s 是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时刻距离，因此是运动时．在飞船上观看的碰撞时刻距离Δt`是以速度v = 0.6c 运动的系统的本征时，依照时刻膨胀公式t ∆=，可得时刻距离为`t ∆=∆．在太阳参考系中观看，一束星光垂直射向地面，速度为c ，而地球以速度u 垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．解：方式一：用速度变换．取太阳系为S 系，地球为S`系．在S 系中看地球以v = u 运动，看星光的速度为u x = 0，u y = c ．星光在S`系中的速度分量为`21/x x x u v u u u v c -==--`21/y x u u u v c=-=星光在S`系中的速度为`u c ==，即光速是不变的．星光在S`系中与y `轴的夹角，即垂直地面的夹角为``arctanarctan y u u θ==． 方式二：用大体原理．依照光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c ，本地球以速度v = u 沿x 轴运动时，依照速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为u y ` = -u ，因此星光速度沿y`轴的分量为`y u ==从而可求出星光速度垂直地面的夹角为```arctan x y u u θ==．[注意]解题时，要确信不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S 系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？解：（1）粒子的非相对论动能为E k = m 0v 2/2，相对论动能为E`k = mc 2 – m 0c 2， 其中m为运动质量m =22200m c m v -=，设x = (v/c )21x =+，或1(1x =+ 平方得1 = (1 – x 2)(1 - x )，化简得x (x 2 – x -1) = 0．由于x 不等于0，因此x 2 – x -1 = 0．解得12x ±=，取正根得速度为v =c ． （2）粒子的非相对论动量为p = m 0v，相对论动量为`p mv ==，02m v =．很容易解得速度为v == 0.866c ．．某快速运动的粒子，其动能为×10-16J ，该粒子静止时的总能量为×10-17J ，假设该粒子的固有寿命为×10-6s ，求其能通过的距离． 解：在相对论能量关系中E = E 0 + E k ，静止能量E 0已知，且E 0 = m 0c 2，总能量为22E mc ===，因此00kE E E +=， 由此得粒子的运动时为0`kE E t t E +∆==∆． 还可得00k E E E =+，解得速度为v =粒子能够通过的距离为l v t c t ∆=∆=∆8310 2.610-=⨯⨯⨯．试证相对论能量和速度知足如此关系式：vc =证：依照上题的进程已得v = E = E 0 + E k 代入公式立可得证．静止质子和中子的质量别离为m p = ×10-27kg ，m n = ×10-27kg ，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m 0 = ×10-27kg ，求结合进程中所释放出的能量． 解：在结合进程中，质量亏损为Δm = m p + m n - m 0 = ×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s -1)，可得释放出的能量为ΔE = Δmc 2 = ×10-13(J)． 若是取c = ×108(m·s -1)，可得释放出的能量为ΔE = ×10-13(J)．。

3狭义相对论3.1狭义相对论根本假设1. 有如下几种说法：(1) 所有惯性系对物理根本规律都是等价的.(2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关.(3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都一样. 假如问其中哪些说法是正确的，答案是(A) 只有(1)、(2)是正确的.(B) 只有(1)、(3)是正确的.(C) 只有(2)、(3)是正确的.(D) 三种说法都是正确的.答案：(D)参考解答：光速不变原理和相对性原理是爱因斯坦在创立狭义相对论时提出的两大根本假设。

光速不变原理：在真空中的任何惯性参考系上，光沿任意方向的传播速度都是C;相对性原理：所有物理规律在所有不同惯性参考系中的形式都一样。

所有选择，均给出参考解答，进入下一题3.2狭义相对论时空观1.在狭义相对论中，如下说法中哪些是正确的？(1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速.(2) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的.(3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的.(4) 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的一样的时钟走得慢些.(A) (1)，(3)，(4). (B) (1)，(2)，(4).(C) (1)，⑵，⑶. (D)⑵，⑶，⑷.答案：(B)参考解答：在狭义相对论中，根据洛仑兹变换物体运动速度有上限，即不能大于真空中的光速；质量、长度、时间都是相对的，其测量结果取决于物体与观察者的相对运动状态，有动尺收缩和运钟膨胀的相对论效应。

对于所有选择，均给出以下思考题。

相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系?参考解答：牛顿力学时空观的根本观点是，长度和时间的测量与运动〔或说与参考系〕无关；而相对论时空观的根本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速〔即运动速度远远小于光速〕时的vty y,z z, t比拟上述两个变换式可知，在低速时，即 u c 时，洛仑兹变换式就会过渡近似。