2013年湖南省长沙市2013年初中毕业学业水平考试数学试题

2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学网上模拟试卷（1）一、选择题（共10题，30分）第1题函数中自变量的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案C答案详解根据平方根号下的数为非负数得：第2题已知空气的单位体积质量为克/厘米3，用小数表示为（） A．0.000129 B．0.0129 C．－0.00129 D．0.00129参考答案D答案详解小数点向左移动三位第3题下面计算正确的是（）A． B． C． D．B答案详解A. B.C. D.第4题已知反比例函数的图象经过点P(－l，2)，则这个函数的图象位于（）A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限参考答案D答案详解第5题有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）A．10 B． C．2 D．参考答案C第6题已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（）A．12π B．15π C．30π D．24π参考答案B答案详解第7题若直线经过第一、三、四象限，则点A(m，1)必在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案B答案详解第8题抛物线（是常数）的顶点坐标是（）A． B． C． D．参考答案B答案详解根据顶点坐标式，顶点为（h，k）可得顶点坐标为第9题如图，已知△ACD∽△BCA，若CD＝4，CB＝9，则AC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案D根据可得第10题如图，内接于，若，则的大小为（）A． B． C． D．参考答案D答案详解连结OB可得，OA=OB又二、填空题（共8题，24分）第11题分解因式：= ．答案详解第12题点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B，那么点B的坐标是．参考答案（－1，－1）答案详解画图可得第13题如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数的图象过点B，则的值为．参考答案－1答案详解由图像可得又第14题如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC 交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为．参考答案答案详解第15题小丹的衣柜里有两件上衣，一件是红色的，一件是黄色的；三条裤子，分别是：白色、蓝色和黄色．任意拿出一件上衣和一条裤子，正好都是黄色的概率是．参考答案答案详解第16题如图，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为．参考答案12m答案详解解：设旗杆为x米解得x=12第17题已知⊙O1和⊙O2外切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为 cm．参考答案5cm答案详解第18题已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是．参考答案答案详解由原方程组得三、解答题（共8题，66分）第19题计算：参考答案解：原式=第20题先化简，再求值：，其中．参考答案解：原式= =．将代入得：原式=第21题为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．第(1)题本次抽测的男生有________人，抽测成绩的众数是_________；参考答案50 5次第(2)题请你将图2中的统计图补充完整；参考答案第(3)题若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？参考答案（人）第22题如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．第(1)题判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；参考答案CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下：作直径CE，连结AE．∵CE是直径∴∠EAC＝90°∴∠E＋∠ACE=90°∵CA=CB∴∠B＝∠CAB∵AB∥CD∴∠ACD＝∠CAB∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°∴OC⊥D C∴CD与⊙O相切第(2)题若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长参考答案∵CD∥AB，OC⊥D C∴OC⊥AB又∠ACB=120°∴∠OCA＝∠OCB=60°∵OA=OC∴△OAC是等边三角形∴∠DOA=60°∴在Rt△DCO中， =∴DC=OC=OA=2第23题某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．第(1)题今年三月份甲种型号电脑每台售价多少元？参考答案解：设今年三月份甲种电脑每台售价元解得：经检验：是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．第(2)题为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？参考答案设购进甲种电脑台，解得因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案（五种方案分别列出）第24题将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．第(1)题求证：△ABE≌△AD′F；参考答案由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD∴∠B＝∠D′，AB＝AD′∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE≌△A D′F．第(2)题连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．参考答案四边形AECF是菱形．由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形．第25题如图，以为顶点的抛物线与轴交于点已知两点的坐标分别为第(1)题求抛物线的解析式；参考答案设把代入，得∴第(2)题设是抛物线上的一点（为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点的坐标；参考答案解法一：∵四边形的四边长是四个连续的正整数，∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6.∵点位于对称轴右侧，且为正整数，∴是大于或等于4的正整数，∴∵∴只有两种可能：∴或当时，（不是整数，舍去）；当时，（不是整数，舍去）；当时，当时，因此，只有一种可能，即当点的坐标为时，四边形的四条边长分别为3、4、5、6.解法二：∵为正整数，∴应该是9的倍数.∴是3的倍数.又∵∴当时，此时，∴四边形的四边长为3、4、5、6.当时，∴四边形的四边长不能是四个连续的正整数.∴点的坐标只有一种可能第(3)题在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点是否总成立？请说明理由.参考答案设与对称轴交点为则∴∴当时，有最小值∴总是成立.第26题如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．第(1)题当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长会发生怎样的变化？并说明理由；参考答案设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；第(2)题当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？参考答案根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x－2)2+4 ∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；第(3)题当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．参考答案如图，当时，；如图，当时，；∴S与的函数的图象如下图所示：。

相关资料湖南省长沙市2013 年中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）1．（3 分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（）B．0 C． D．A．﹣1考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数．故选D．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3 分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105 B．6.17×106 C．6.17×107 D．0.617×108考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将61700000 用科学记数法表示为6.17×107．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3 分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2 和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：三角形三边关系．分析：已知三角形的两边长分别为2 和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．÷ 2 2 2解答：解：设第三边长为 x ，则由三角形三边关系定理得 4﹣2＜x ＜4+2，即 2＜x ＜6．因此，本题的第三边应满足 2＜x ＜6，把各项代入不等式符合的即为答案． 2，6，8 都不符合不等式 2＜x ＜6，只有 4 符合不等式．故选 B ．点评：本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（3 分）（2013•长沙）已知⊙O 1 的半径为 1cm ，⊙O 2 的半径为 3cm ，两圆的圆心距 O 1O 2 为 4cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案． 解答：解：∵⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1cm 和 3cm ，圆心距 O 1O 2=4cm ，∴O 1O 2=1+3=4， ∴两圆外切． 故选 B ． 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则 P ＞R+r ；外切，则 P=R+r ；相交，则 R ﹣r ＜P ＜R+r ；内切，则 P=R ﹣r ；内含，则 P ＜R ﹣r ． （P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）．5．（3 分）（2013•长沙）下列计算正确的是（ ） A ．a 6 a 3=a 3 B ．（a 2）3=a 8 C ． D ．a 2+a 2=a 4（a ﹣b ） =a ﹣b考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 解答：解：A 、正确；B 、（a 2）3=a 6，选项错误；C 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，选项错误． 故选 A ．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．人数 1 2 5 3 1则该校篮球队12 名同学身高的众数是（单位：cm）（）A．192 B．188 C．186 D．180考点：众数分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．解答：解：身高188 的人数最多，故该校篮球队12 名同学身高的众数是188cm．故选B．点评：本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．7．（3 分）（2013•长沙）下列各图中，∠1 大于∠2 的是（）A．B．C．D．考点：等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．分析：根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记各性质是解题的关键．8．（3 分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点：多边形内角与外角．分析：设多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理即可求解．解答：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选A．点评：本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．9．（3 分）（2013•长沙）在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项错误；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．10．（3 分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）D．a+b+c＞0A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上得出a＞0，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得出c ＞0，根据抛物线与x 轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，把x=1 代入抛物线的解析式得出y=a+b+c＜0，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故本选项错误；B、∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故本选项错误；C、∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故本选项错误；﹣﹣ D 、把 x=1 代入抛物线的解析式得：y=a+b+c ＜0，错误，故本选项正确； 故选 D ．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和运用能力．二、填空题(本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2013•长沙）计算： = ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 解答：解：原式=2 = ．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．12．（3 分）（2013•长沙）分解因式：x 2+2x+1= （x+1）2 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的 2 倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 解答：解：x 2+2x+1=（x+1）2．点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的 2 倍（或积的 2 倍的相反数）． 13．（3 分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 23 度． 考点：余角和补角分析：根据互余两角之和为 90°即可求解． 解答：解：∵∠A=67°，∴∠A 的余角=90°﹣67°=23°．故答案为：23．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为 90°是解题关键．14．（3 分）（2013•长沙）方程的解为 x= 1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：最简公分母为（x+1）x ，方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边都乘（x+1）x，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1 时，（x+1）x≠0．∴原方程的解是x=1．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程需代入最简公分母验根．15．（3 分）（2013•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P 到边BC 的距离为 4 cm．考点：角平分线的性质．分析：BD 是∠ABC 的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P 到BC 的距离．解答：解：∵BD 是∠ABC 的平分线，PE⊥AB 于点E，PE=4cm，∴点P 到BC 的距离=PE=4cm．故答案为4．点评：本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P 到BC 的距离即为PE 长是解决的关键．16．（3 分）（2013•长沙）如图，在△ABC 中，点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，则△ADE 和△ABC 的周长之比等于1：2 ．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：D、E 分别是AB、AC 边的中点，则DE 是△ABC 的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．解答：解：∵点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE 与△ABC 的周长比为1：2．故答案为1：2．点评：本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定与性质，难度中等．17．（3 分）（2013•长沙）在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是10 ．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n 大约有10个．故答案为：10．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．（3 分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD 交BC 于点E，若AD=2，BC=5，则边CD 的长是 3 ．考点：梯形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：先判定四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AD=EC，再求出BE 的长度，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠AEB=∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠BAE=50°，从而得到∠B=∠BAE，再根据等角对等边得到AE=BE，从而得解．解答：解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD=EC=2，CD=AE，∵AD=2，BC=5，∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，∵AE∥CD，∠C=80°，∴∠AEB=∠C=80°，在△ABE 中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，∴∠B=∠BAE，∴AE=BE=3，∴CD=3．故答案为：3．点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，根据度数确定出相等的角，从而得到相等的边是解答本题的关键．三、解答题本题共2 小题，每小题6 分，共12 分）19．（6 分）（2013•长沙）计算：．考点：实数的运算；零指数幂．分析：分别进行绝对值、平方及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=3+4﹣1=6．点评：本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．20．（6 分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示为：点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）21．（8 分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013 年1 月份至4 月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100 天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）根据良的天数是70 天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）利用360 度乘以对应的百分比即可求解；（3）利用概率公式即可求解．解答：解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；（3）班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8 分）（2013•长沙）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算分析：（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）分别求出等边三角形 DOB 面积和扇形 DOB 面积，即可求出答案． 解答：（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°， ∵∠DBC=∠BAC ， ∴∠DBC+∠ABD=90°， ∴AB ⊥BC ， ∵AB 为直径， ∴BC 是⊙O 切线；（2）解：连接 OD ，过 O 作 OM ⊥BD 于 M ， ∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°， ∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴OB=BD=OD=2， ∴BM=DM=1， 由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积 S=S 扇形 DOB ﹣S △DOB =×2×= π﹣．点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积．五、解答题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．（9 分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．（1） 求 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2） 除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿元？考点：二元一次方程组的应用分析：（1）假设 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元，y 亿元，根据“修建地铁 1号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线的平均造价多 0.5 亿元”分别得出等式求出即可；﹣（2）根据（1）中所求得出建91.8 千米的地铁线网，每千米的造价，进而求出即可．解答：解：（1）设1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是x 亿元，y 亿元，由题意得出：，解得：，答：1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是6 亿元和 5.5 亿元；（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），答：还需投资660.96 亿元．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．24．（9 分）（2013•长沙）如图，在▱ABCD 中，M、N 分别是AD，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C 作CE⊥MN 于点E，交DN 于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长．考点：平行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N 分别是AD，BC 的中点，即可利用SAS 证得△ABN≌△CDM；（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N 分别是AD，BC 的中点，∴BN=DM，∵在△ABN 和△CDM 中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M 是AD 的中点，∠AND=90°，∴MN=MD= AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2 ，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM 是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2 ．点评：此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．六、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）25．（10 分）（2013•长沙）设a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b 的值．考点：二次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：（1）根据反比例函数y= 的单调区间进行判断；，解得] （2） 根据新定义运算法则列出关于系数 k 、b 的方程组或，通过解该方程组即可求得系数 k 、b 的值；（3） y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数 a 、b 的方程组 或 ，通过解方程组即可求得 a 、b 的值． 解答：解：（1）反比例函数 y= 是闭区间[1，2013 上的“闭函数”．理由如下：反比例函数 y=在第一象限，y 随 x 的增大而减小，当 x=1 时，y=2013；当 x=2013 时，y=1，所以，当 1≤x ≤2013 时，有 1≤y ≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数 y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k ＞0 或 k ＜0．①当 k ＞0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=x ；②当 k ＜0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=﹣x+m+n ；（3）∵y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣ ，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；，解得，解得，∵ ＜0，①当 b ≤2 时，此二次函数 y 随 x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或 ；②当 a ＜2＜b 时，此时二次函数 y=x 2﹣ x ﹣ 的最小值是﹣=a ，根据“闭函数”的定义知，b=a 2﹣a ﹣、b=b 2﹣b ﹣； a ）当 b=a 2﹣a ﹣时，由于 b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b ）当 b=b 2﹣b ﹣时，解得 b=，由于 b ＞2， 所以 b=；③当 a ≥0 时，此二次函数 y 随 x 的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，∴舍去．综上所述，或 ．点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论” 数学思想的应用．26．（10 分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2 与x 轴，y 轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB 相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．（1）求∠OAB 的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE，EF，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF 的面积为S2．试探究：S1+S2 是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题分析：（1）当x=0 或y=0 时分别可以求出y 的值和x 的值就可以求出OA 与OB 的值，从而就可以得出结论；（2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；（3）先根据E、F 的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0 时，y=2，B（0，2），当y=0 时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（2）∵四边形OAPN 是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF= ON，∴BE•AF= OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON 的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（3）∵四边形OAPN 是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF 为等腰直角三角形．∵E 点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F 的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF 组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．∵S 梯形OMPF= （PF+ON）•PM，S△PEF= PF•PE，S△OME= OM•EM，﹣∴S 2=S 梯形 OMPF ﹣S △PEF ﹣S △OME ，=（PF+ON ）•PM ﹣PF •PE ﹣OM •EM ， =[PF （PM ﹣PE ）+OM （PM ﹣EM ）]， =（PF •EM+OM •PE ）， =PE （EM+OM ）， =（a+b ﹣2）（2﹣a+a ）， =a+b ﹣2． ∴S 1+S 2=（a+b ﹣2）2+a+b ﹣2．设 m=a+b ﹣2，则 S 1+S 2=m 2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数， ∴当 m ＞﹣时，S 1+S 2 随 m 的增大而增大．当 m 最小时，S 1+S 2 最小． ∵m=a+b ﹣2=a+ ﹣2=（ ）2+2﹣2，∴当= ，即 a=b=时，m 最小，最小值为 2﹣2∴S 1+S 2 的最小值=（2 ﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．。

2013年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题（本题有12个小题，每小题3分，共36分） 1．2的倒数是（ ） A 、－2 B 、12C 、－12D 、12．反比例函数()0k y k x=≠的图像经过点（1，－3），则k 的值为（ ） A 、－3B 、3C 、13D 、－133．数据2、4、4、5、7的众数是（ ）A 、2B 、4C 、5D 、7 4．不等式1030x x ->⎧⎨-<⎩的解集是（ ） A 、x>1B 、x<3C 、1<x<3D 、无解5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）6．随着新农村建设的进一步加快，湖州市农村居民人均纯收入增长迅速。

据统计，今年本市农村居民人均纯收入比上一年增长14.2%。

若去年湖州市农村居民人均纯收入为a 元，则今年本市农村居民人均纯收入可表示为（ ）A 、14.2a 元;B 、1.42a 元;C 、1.142a 元;D 、0.142a 元 7．如图，在⊙O 中,AB 是弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若AB=16，OC=6，则⊙O 的半径OA 等于（ ） A 、16 B 、12 C 、10 D 、8 8．如图是一个正方体纸盒的展开图,每个面内都标注了字母或数字，则面a 在展开前所对的面的数字是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、59．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A 、122122x y x y x yx y --=++ B 、0.220.22a b a b a ba b++=++C 、11x x x yx y+--=-- D 、a b a b a ba b+-=-+10．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（ ） A 、1 B 、12C 、13D 、2311．已知一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0），x 与y 的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是（ ） A 、x<0 B 、x>0C 、x<1D 、x>112．已知二次函数y=x 2－bx+1（－1≤b ≤1），当b 从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。

2013年湖南省长沙市中考数学试卷（数学）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂料胶和贴纸；6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列实数是无理数的是（ ） A.－1 B.0 C.21D.3 2.小星同学在“百度”搜索引擎中；输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A.617×105B.6.17×106C.6.17×107D.0.617×1083.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A.2 B.4 C.6 D.84.已知⊙O 1的半径为1㎝、⊙O 2的半径为3㎝，两圆的圆心距O 1O 2为4㎝，则两圆的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切 5.下列计算正确的是（ ）A.336a a a =÷B.()832a a = C.()222b a b a -=- D.422a a a =+6.某校篮球队12名同学的身高如下表：则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：㎝）（ ）A.192B.188C.186D.180 7.下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）8.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形9.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有．．运用旋转或轴对称知识的是（ ）10.二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示，则下列关系错误．．的是（ ） A. a ＞0 B. c ＞0 C. ac b 42-＞0 D. a +b +c ＞0 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.计算：28-= .12.因式分解：122++x x = . 13.已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度.21（AB=AC ）C B Aba21（a b ）ba 21D21CBAAB C DAB C D14.方程xx 112=+的解为x = .15.如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4㎝，则点P 到边BC 的距离为 ㎝.16.如图，在⊿ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则⊿ADE 与⊿ABC 的周长之比等于 .17.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 .18.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AE ∥CD 交BC 于点E ，若AD=2，BC=5，则CD 的长是 .三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19.计算：()()021523+--+-20.解不等式组()⎩⎨⎧-+≤+xx x x 34312π并将其解集在数轴上表示出来.E PD CB A E D CBA E DCB A（第10题）（第15题） （第16题） （第18题）四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21.“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了 天的空气质量情况.（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数. （3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22.如图，⊿ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC. （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.-24各类空气质量天数条形统计图类别污染污染良各类空气质量天数扇形统计图（第21题）五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23.为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线..已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元. （1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24.如图，在□ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O. （1）求证：⊿ABN ≌⊿CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长.六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]a，b .对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时 ，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[]m，n 上的“闭函数”. （1）反比例函数xy 2013=是闭区间[]20131，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]m，n 上的“闭函数”，求此函数的解析P NMEO D21CBA（第22题）（第24题）式；（3）若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]a，b 上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.26.如图，在平面直角坐标系中，直线2+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求∠OAB 的度数； （2）求证：⊿AOF ∽⊿BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最（第26题）2013年湖南省长沙市中考数学试卷答案及解析一、选择题、1、D 【详解】根据无理数的定义可知，只有D是无理数.2、C 【详解】根据科学记数法的原则可知选C.3、B 【详解】三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，只有B符合.4、B 【详解】因为1+3=4，即两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切.5、A 【详解】B、（a2）3=a2×3=a6C、（a-b）2=a2-2ab+b2D、a2+a2=2a26、B 【详解】众数就是出现次数最多的数，表格中188出现了5次，是最多的，所以12名同学身高的众数是188，选B.7、D 【详解】A、△ABC是等腰三角形，所以∠1=∠2；B、∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2；C、对顶角相等与根据两直线平行、同位角相等性质可知∠1与∠2；D、由于∠1是△ABC的外角，且∠1=∠B+∠2，所以∠1＞∠2；综上所述，选D8、A 【详解】所有多边形的外角和都是360°，而内角和公式为180°（n-2），其中n表示多边形的边数，所以当180°（n-2）=360°时，n=4，即四边形的内角和与外角和相等，选A。