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河南省19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果复数(1+i)(2−ai)(a∈R)为纯虚数，则a=()A. 2B. 1C. 0D. −22.己知集合A={x|x≤−1}，B={x|x>0}，则∁R(A∪B)=()A. {x|x>−1}B. {x|x≤0}C. {x|−1≤x<0}D. {x|−1<x≤0}3.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 等于()A. 2√3B. 3C. √6D. √34.若双曲线x2−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，则实数m=()mA. 2B. 4C. 6D. 85.底面是等腰直角三角形的三棱锥P−ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则()A. PA，PB，PC两两垂直B. 三棱锥P−ABC的体积为83C. |PA|=|PB|=|PC|=√6D. 三棱锥P−ABC的侧面积为3√56.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，若μ=4，σ=1，则P(5<X<6)=()A. 0.1358B. 0.1359C. 0.2716D. 0.27187. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( )A. 32B. 3C. 92D. 68. 函数f(x)=ln|x|+1x 的图象大致为( )A.B.C.D.9. 设不等式组{x +y ≥0,x −√3y ≤0表示的平面区域为Ω，若从圆C ：x 2+y 2=4的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为( )A. 524B. 724C. 1124D. 172410. 函数f(x)=log 2x +3x −1的零点所在的区间是( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,34)D. (34,1)11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，若|MN|=8，则|PF|=( )A. √2B. √3C. 2D. 2√212. 数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =4n −2(1≤n ≤100,n ∈N ∗)，b n =6n −4(n ∈N ∗)，由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{c n }，数列{c n }的各项之和为( )A. 6788B. 6812C. 6800D. 6824二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如果(3x −√x 23n 的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x2的系数是________．14. 函数f(x)=x +√2x −1的值域为______ ．15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n ≠0，曲线y =x 3在点(a n ,a n 3)处的切线经过点(a n+1,0)，下列四个结论：①a 2=23；②a 3=13；③∑a i 4i=1=6527；④数列{a n }是等比数列． 其中所有正确结论的编号是_________．16. 在平行四边形ABCD 中，∠ABD =90°，且AB =1，BD =√2，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC 的面积为accosB ，BC 的中点为D ．(Ⅰ)求cosB 的值；(Ⅱ)若c =2，asinA =5csinC ，求AD 的长．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//CD ，∠BAD =π3，AB =2，CD =3，M 为PC 上一点，PM =2MC ． (Ⅰ)证明：BM//平面PAD ；(Ⅱ)若AD =2，PD =3，求二面角D −MB −C 的正弦值．19.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y={0,0≤x≤100,220,100<x≤250,1480,250<x≤300,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63，坐标原点到直线l：y=bx+2的距离为√2，(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E(−1,0)？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤−34a−2．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了复数的四则运算，属于基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．解：(1+i)(2−ai)=2+a+(2−a)i，因为(1+i)(2−ai)为纯虚数，所以2+a=0，解得a=−2．故选D．2.答案：D解析：解：A∪B={x|x≤−1，或x>0}；∴∁R(A∪B)={x|−1<x≤0}．故选：D．进行并集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，=3，则a⃗⋅b⃗ =|a⃗|×|b⃗ |×cos30°=√3×2×√32故选：B．根据题意，由向量数量积的计算公式直接计算即可得答案．本题考查向量数量积的运算，关键是掌握向量数量积的计算公式．4.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可．解：若双曲线x2m−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，可得1√m =12，解得m=4，故选：B．5.答案：C解析：解：根据三视图，可得三棱锥P−ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P−ABC的体积为13×12×2×2×2=43，|PA|=|PB|=|PC|=√6，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P−ABC的侧面积为2√5+2√2．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：解：∵随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，μ=4，σ=1，∴P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，∴P(2<X≤6)−P(3<X≤5)=0.9544−0.6826=0.2718，∴P(5<X<6)=12×0.2718=0.1359．故选：B．根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，本题是一个基础题．7.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．8.答案：A解析：解：当x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，由此排除C，D；当x>0时，f(x)=lnx+1x ，f′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴图象A符合．故选：A．由x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，排除C，D；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．9.答案：B解析：本题主要考查几何概型以及线性规划，属于基础题目． 求出符合条件的区域面积，比上总面积即为所求概率． 解：作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线x +y =0，x −√3y =0的倾斜角分别为3π4，π6， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3π4−π62π=724，故选B ．10.答案：C解析：本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题． 确定函数的单调性，再由f(12)f(34)<0求得结果．解：f(x)=log 2x +3x −1显然是增函数，最多有一个零点， 又因为f(12)=−1+√3−1=√3−2<0，，f(12)f(34)<0，所以零点所在的区间是(12,34)， 故选C ．解析：根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知|MN|=x 1+x 2+p ，求解P 的坐标，利用距离公式求解即可．本题主要考查抛物线的应用，抛物线的简单性质以及两点间的距离公式的应用，属中档题． 解：依题意可知p =2，焦点坐标为(1,0)，过F 的直线l 设为y =k(x −1)．准线方程为x =−1，根据抛物线的定义，可知|MN|=x 1+1+x 2+1=8，可得x 1+x 2=6，所以线段MN 的中点P 的横坐标为3，由{y =k(x −1)y 2=4x，可得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 可得x 1+x 2=6=2k 2+4k 2，解得k =±1，则P 的纵坐标±2，则|PF|=√(32+(±2)2=2√2．故选：D ．12.答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，解答此题的关键是分析出数列{a n }和{b n }的公共项是以2为首项，12为公差的等差数列，然后求其前n 项和即可．解：数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =4n −2(1≤n ≤100,n ∈N ∗)，b n =6n −4(n ∈N ∗)， 则数列{a n }的首项为2，公差为4，数列{b n }的首项为2，公差为6，则数列{a n }和{b n }的公共项是以2为首项，12为公差的等差数列，则c n =12n −10，且c n ≤398⇒n ≤34，则数列{c n }的各项之和为2×34+34×332×12=6800，故选C ．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 由题意利用二项式系数的性质求得n =8，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中1x 2的系数． 解：令x =1，可得(3x √x 23)n 的展开式中各项系数之和为2n =256，∴n =8， ∴(3x √x 23)n =(3x √x 23)8，它的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅38−r ⋅x 8−5r 3， 令8−5r3=−2，可得r =6，则展开式中1x 的系数为C 86⋅32=252，故答案为：252．14.答案：[12,+∞)解析：解：由2x −1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为：[12,+∞)，又可得函数f(x)=√2x −1+x 在[12,+∞)上单调递增， ∴当x =12时，函数取最小值f(12)=12，∴函数f(x)的值域为：[12,+∞)，故答案为：[12,+∞)．可得函数的定义域为[12,+∞)，函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题． 15.答案：①③④解析：本题考查数列与函数综合应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 利用已知条件推出数列的递推关系式，得到{a n }是首项为1，公比为23的等比数列，然后求解判断即可．解：∵y′=3x 2，∴曲线y =x 3在点(a n ,a n 3)处的切线方程为y −a n 3=3a n 2(x −a n )，则−a n 3=3a n 2(a n+1−a n ).∵a n ≠0，∴a n+1=23a n ， 则{a n }是首项为1，公比为23的等比数列，从而a 2=23，a 3=49，∑a i 4i=1=1−(23)41−23=6527，故所有正确结论的编号是①③④，故答案为：①③④．16.答案：4π解析：解：由已知：平面ABD ⊥平面BCD ，CD//AB ，∠ABD =90°得：CD ⊥BD ，故CD ⊥平面ABD ，由AB =1，BD =√2，得：三棱锥A −BDC 是一个以CD =1为高，以平面ABD 为底面的棱锥，故球心到底面的距离d =12CD =12，底面外接圆半径r =12AD =√32， 故三棱锥A −BDC 的外接球的表面积S =4π(d 2+r 2)=4π，故答案为：4π由已知可得三棱锥A −BDC 是一个以CD =1为高，以平面ABD 为底面的棱锥，求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式S =4π(d 2+r 2)，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解答的关键．17.答案：解：(Ⅰ) 由题意，△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB =accosB ，得sinB =2cosB ，①∵0<B <π，∴sinB >0，∴cosB >0，又sin 2B +cos 2B =1，②①代入②得cos 2B =15，∴cosB =√5=√55；(Ⅱ)由asinA =5csinC 及正弦定理得a 2=5c 2，∵c =2，∴a =2√5， BD =12a =√5， 在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2=c 2+BD 2−2BD ⋅c ⋅cosB =4+5−2√5×2×1√5=5，∴AD =√5．解析：(Ⅰ) 由△ABC 的面积公式，利用同角的三角函数关系，即可求出cos B 的值；(Ⅱ)由题意，利用正弦、余弦定理，即可求出AD 的值．本题考查了三角函数求值以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)在DC 上取点E ，使DE =2，则DE//AB ，DE =AB ，则四边形ABED 是平行四边形，则EB//AD ，∵PMMC =DEEC =2，∴PD//ME ，则平面PAD//平面MBE ，∵BM ⊂平面MBE ，BM ⊄平面PAD ，∴BM//平面PAD(Ⅱ)△ABD 是正三角形，建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则B(√3,1，0)，P(0,0，3)，C(0,3，0)，M(0,2，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，设平面DBM 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则由m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +z =0，得{y =−√3x z =−2y， 令x =1，则y =−√3，z =2√3则m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2√3)，设平面MBC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，0)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 则n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y =0，n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，令x =2，则y =√3，z =√3，即n ⃗ =(2,√3,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4×√10=4√10=√108， 则二面角D −MB −C 的正弦值sinα=√1−(√108)2=3√68．解析：(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明BM//平面PAD ；(Ⅱ)若AD =2，PD =3，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D −MB −C 的正弦值本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．19.答案：解：(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数.则P (ξ≥2)=P (ξ=2)+P (ξ=3)=C 62C 141C 203+C 63C 140C 203=23114；(2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，P(X =0)=P(0≤x ≤100)=20100=15，P(X =220)=P(100<x ≤250)=70100=710，P(X =1480)=P(250<x ≤300)=10100=110，所以E(X)=0×15+220×710+1480×110=302(元)，故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E(X)=9060(元)．解析：本题考查了古典概型以及随机变量的分布列和数学期望，是一般题．(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数.则P (ξ≥2)=P (ξ=2)+P (ξ=3)根据排列组合算出结(2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，求取这些值的概率，根据定义求出随机变量的期望．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴2√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63 ∴a 2−1a 2=(√63)2，∴a 2=3 ∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E ．解析：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求21.答案：(1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，且f(x)的定义域为{x|x>0}，所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−12a或x=−1(舍)，当x∈(0,−12a )时f′(x)>0；当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；综上可知：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；(2)证明：由(1)可知：当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减，所以当x=−12a 时，函数f(x)取最大值，f(x)max=f(−12a)=−1−ln2−14a+ln(−1a)，从而要证f(x)≤−34a −2，即证f(−12a)≤−34a−2，即证−1−ln2−14a +ln(−1a)≤−34a−2，即证−12(−1a)+ln(−1a)≤−1+ln2；令t=−1a ，则t>0，即证：−12t+lnt≤−1+ln2，(∗)令g(t)=−12t+lnt，t>0，则g′(t)=−12+1t，令g′(t)=0，可知t=2，则当0<t<2时，g′(t)>0，当t>2时，g′(t)<0，所以g(t)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，即g(t)≤g(2)=−12×2+ln2=−1+ln2，则(∗)式成立，所以当a <0时，f(x)≤−34a −2成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，属于较难题．(1)可知f ′(x)=(2ax+1)(x+1)x (x >0)，分a =0、a >0、a <0三种情况讨论，可得结论；(2)通过(1)可知f(x)max =f(−12a )=−1−ln2−14a +ln(−1a )，将问题转化为−12(−1a )+ln(−1a )≤−1+ln2，令t =−1a ，t >0，构造函数g(t)=−12t +lnt ，只需证明g(t)≤−1+ln2即可．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ．(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t (t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0，所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1；当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12；当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12；则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0，由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1，可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0，可得(|a|−1)(|b|−1)>0，故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．。
2019年河南省驻马店市成人学校高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数(为虚数单位) ，则=（）A． B． C． D．参考答案：C2. 设向量（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A3. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A． B．C． D．参考答案：A4. 若a=30.6，b=log3 0.2，c=0.63，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a参考答案：A【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用指数函数与对数函数的性质可知，a＞1，b＜0，0＜c＜1．从而可得答案．【解答】解：∵a=30.6＞a=3°=1，b=log30.2＜log31=0，0＜c=0.63＜0.60=1，∴a＞c＞b．故选A．【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查有理数指数幂的化简求值，掌握指数函数与对数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为A．102 B．410C．614 D．1638参考答案：B略6. 有解的区域是（）A. B. C. D.参考答案：B7. 执行如图所示的程序框图，输出的s=（）A．5 B．20 C．60 D．120参考答案：C【考点】程序框图．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的规律，然后根据运行的情况判断循环的次数，从而得出所求．【解答】解：第一次循环，s=1，a=5≥3，s=5，a=4；第二次循环，a=4≥3，s=20，a=3；第三次循环，a=3≥3，s=60，a=2，第四次循环，a=2＜3，输出s=60，故选：C．8. 已知sin＝，则sin 2x的值为 ()A. B. C. D.参考答案：D略9. 一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为() A．9 B．3 C．17 D．－11参考答案：A10. 条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【专题】计算题．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到?p，由q可得?q为x＜2，进而能够判断出?p是?q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2?x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．【点评】本题考查充分、必要条件的判断，解题的关键是利用补集的思想，并且根据充要条件的判断可以转化为两个集合之间的关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆过点(2,1)，则a的取值范围是__________。
河南省驻马店市正阳县第一中学2019-2020学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A． B． C． D． ||参考答案：B略3. 已知命题：，使得，则为A．，总有B．，使得C．，总有D．，使得参考答案：C4. （文科）椭圆的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么的值是A． B．C． D．参考答案：A5. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：答案：选D解析：由等差数列的前项和及等差中项，可得，故时，为整数。
故选D点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。
易错点：不能将等差数列的项与前项和进行合理转化，胡乱选择。
6. 已知回归直线斜率的估计值为 1.23，样本的中心点为（4,5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 当时,函数的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A8.参考答案：C9. 在等差数列中，，则此数列前13项的和是A．13 B．26 C．52 D．56参考答案：B10. 从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6, 16 ,32参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为________．参考答案：24【分析】利用分层抽样的定义即可得到结论。
河南省驻马店市外国语中学2019年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是A 7BC D参考答案：D2. 若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )A．B．﹣C．3 D．﹣3参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα=﹣，故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3. 已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为－2，则（）A．2 B．C．4 D．12参考答案：A由，即，所以，由向量在向量方向上的投影为，则，即，所以，故选A．4. 过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是（）(A) (B) (C)2 (D)参考答案：A略5. “”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。
如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（）A. 66B. 12C. 36D. 198参考答案：A模拟程序框图的运行过程，如下；a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为66.故选A.7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32 B．18 C．16 D．10参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为2，∴几何体的体积V=×43=32．故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量．8. 已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件．【解答】解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“?p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．9. 已知函数在（1，2）有一个零点，则实数a的取值范围是（）A、（1,4）B、（－1,4）C、（）（4,）D、（－4,4）参考答案：A10. 已知函数f（x）=2x的值域为A，g（x）=lnx的定义域为B，则（）A．A∩B=（0，1）B．A∪B=R C．B?A D．A=B参考答案：D【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】求出f（x）的定义域，g（x）的值域，确定出A=B，【解答】解：函数f（x）=2x的值域为A=（0，+∞），g（x）=lnx的定义域为B=（0，+∞），∴A=B，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等差数列{a n}中，a4=5，a7=11，设b n=（﹣1）n a n，则数列{b n}的前101项之和S101=．参考答案：﹣99【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a4=5，a7=11，可得，解得a1，d．可得a n．可得b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n．即可得出数列{b n}的前101项之和S101．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=5，a7=11，∴，解得a1=﹣1，d=2．∴a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．∴b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n=2．则数列{b n}的前101项之和S101=2×50﹣a101=100﹣（2×100﹣1）=﹣99．故答案为：﹣99．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知中令就可以求出常数，即.请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题若，即，则=参考答案：解：对两边求导：令x=0得：再两边求导：令x=0得：再两边求导：令x=0得：…猜想：所以，所以略13. 已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为．参考答案：[﹣，4]．【分析】根据题意，把化为3+2?﹣1，利用参数表示点C （cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根据三角函数的有界性求出3+2?﹣1的最值即可．【解答】解：根据题意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）?（+）+（+）?（+）+（+）?（+）=3+2?（++）+?+（+）?=3+2?﹣1，以点O为坐标原点，建立直角坐标系，设点C（cosα，sinα），点P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；则3+2?﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2?﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2?﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范围是[﹣，4]．故答案为：[﹣，4]．14. 已知实数满足，若的最大值为3＋9，最小值为3－3，则实数的取值范围是＿＿＿＿参考答案：[-1,1]15. 已知，则的值为．参考答案：16.某质点的运动方程是S = t3－(2t－1)2，则在t = 1 s时的瞬时速度为 .参考答案：答案：－117. 已知集合，，，则= ．参考答案：{3,5}三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年河南省驻马店市新安店中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则=(A)(-1,3) (B)(0,4) (C)(0,3) (D)(-1,4)参考答案：略2. 在频率分布直方图中，小矩形的高表示 ( ）A．频率/样本容量 B．组距×频率 C．频率 D．频率/组距参考答案：D3. 下列判断正确的是（）A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”C. “”是“ ”的充分不必要条件D. 命题“”的否定是“ ”参考答案：D4. 与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略5. 若x，y满足则x＋2y的最大值为A． B．6 C．11 D．10参考答案：C6. 如图，直三棱柱的主视图面积为，则左视图的面积为A． B． C． D．参考答案：C7. 若函数，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有恒成立，此时T为的假周期，函数是M上的a级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当函数，若，使成立，则实数m的取值范围是（）A．B．(－∞,12] C．(－∞,39]D．[12,+∞)参考答案：B根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的3级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=33?f（x﹣6），则有﹣≤f（x）≤，则f（8）=27 f（2）=27 f（0）=，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为，最小值为﹣；对于函数，有g′（x）=分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值g（1）=+m，若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤，得到m范围为.故答案为：B.8. 设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】首先，将a2﹣b2＞1化简为（a﹣b）（a+b）＞1，然后，结合条件a，b∈R+，做出判断．【解答】解：设命题p：a﹣b＞1；命题q：a2﹣b2＞1∵a2﹣b2＞1化简得（a﹣b）（a+b）＞1又∵a，b∈R+，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要条件，即“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要条件．【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题．9. 在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（）A. 6B.C. 9D.参考答案：A设，则有，因为EP⊥EQ，所以，即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。
2019年河南省驻马店市新安店中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的大致图象为参考答案：2. 设为定义在上的奇函数，且时，，则函数在上的零点个数为( ▲ )A. B. C. D.参考答案：D略3. 具有线性相关关系的变量x，y ，满足一组数据如右表所示.若与的回归直线方程为，则m的值是A. 4B.C. 5D. 6参考答案：A11.已知对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B5. 数列中，，，设其前项和为，则（）A．B． C.15 D．27参考答案：A6. 已知f(x)=a x-2,g(x)=log a|x|(a>0,a≠1),若f(4)g(-4)<0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的图象大致是（）参考答案：C略7. 已知x与y之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中的最后两组数据(5，2)和(6，0)求得的直线方程为，则以下结论正确的是( )A. B. C. D.参考答案：B8. 已知命题：，．则是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：A9. 函数的图像大致为( ).参考答案：D略10. 在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，则向量（）A. B. C. D.参考答案：C,故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列五个函数中：①；②；③；④；⑤，当时，使恒成立的函数是 (将正确的序号都填上）.参考答案：②③12. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .参考答案：．试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．13. 在北纬450东经300有一座城市A,在北纬450东经1200有一座城市B,设地球半径为R,则A、B两地之间的距离是。
2019届河南省驻马店市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知，且，则实数的值可能为( )A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【解析】化简，由根据复数模的公式可得，从而可得结果.【详解】化简，可得,解得，所以实数的值可能为，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合，，满足，，若，则集合( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，化简,再由可得结果.【详解】因为，所以，由可得，所以,所以，可得,解得，即集合，故选C.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．3．设为数列的前项和，若，，则（）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】直接利用且，推出S n﹣S n﹣1＝a n，n≥2，得到数列{a n}是以2为首项，以-1为公比的等比数列．【详解】S n为数列{a n}的前n项和且，所以a n＝S n﹣S n﹣1a n+1a n﹣1-1=a n a n﹣1，n≥2，∴a n＝-a n﹣1，n≥2，又n=1时，S1＝a1，∴a1＝2，∴数列{a n}是以2为首项，以-1为公比的等比数列，∴a5＝2•（-1）5﹣1＝2．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查数列前n项和与通项公式的关系，等比数列的定义的应用，考查计算能力．4．已知命题：函数的图像恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的平移变换及对数函数恒过的定点，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【详解】函数的图象可看作把y＝的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，而y＝的图象恒过（1，0），所以函数y＝恒过（2，1）点，所以命题p 假，则￢p真；函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x＝0，而函数f（x）的图象是把y＝f（x﹣1）向左平移了1个单位，所以f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，四个选项只有命题为真命题．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意复合命题的性质的合理运用，属于基础题．5．已知是双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A．2 B．4 C．D．【答案】A【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得双曲线焦点的坐标，由a、b的值计算可得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线C：x2﹣my2＝4m（m＞0）的标准方程为1，其中a，b＝2，其焦点在x轴上，则有c，双曲线的焦点为（±，0）其渐近线方程为y＝±x，即y±x＝0，则双曲线的右焦点到渐近线y+x＝0的距离d2；故选：A．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是将双曲线的方程变形为标准方程．6．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，满足条件的整点落在三角形0DE围成的区域（包括边界）上，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】利用，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为，即可得到输出条件.【详解】利用，执行程序框图，当时，输出的是；当时，输出的是；当时，；当时，输出的是，因为第5次输出数“1”，即，输出后结束程序，所以时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．已知函数的图象经过点，且关于直线对称，则下列结论正确的是( )A．在上是减函数B．若是的一条对称轴，则一定有C．的解集是，D．的一个对称中心是【答案】D【解析】先求出函数的解析式为，根据正弦函数的单调性判断；根据极值的定义判断；解不等式可判断;根据正弦函数的对称性判断.【详解】因为函数的图象经过点，且关于直线对称，所以，，，，，，，，,因为,在上是增函数，故错误，，若是的一条对称轴，则是极值点，一定有，故错误，，因为，，，故错误，，因为为对称中心，故正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函函数的单调性对称性性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.9．函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用f（﹣x）=f（x），得到函数为偶函数，排除A、C，又由定义域得到x0，排除B，可得结论.【详解】∵f（﹣x）＝=f（x），∴y＝f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C又函数若有意义，则得到x0，排除B．故选：D．【点睛】本题主要考查函数定义域及性质的应用，考查识别函数的图象的能力，属于基础题．10．如图所示几何体是由正四棱锥与长方体组成，，，若该几何体存在一个外接球，则异面直线与所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由长方体的性质可得由此是异面直线与所成的角，长方体的对角线是外接球的直径，由直角三角形的性质可出异面直线与所成角的余弦值.【详解】由长方体的性质可得，所以是异面直线与所成的角，，连接,取的中点,连接,如图所示：由题意知该几何体外接球的直径为,为球心，半径为，连接,则交于点,且是的中心，因为是正四棱锥，所以经过，且平面，，，又，，直角三角形中，，即异面直线与所成角的余弦值为，故选B.【点睛】本题考查了异面直线所成角以及多面体的外接球问题，是中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.11．如图，在平面直角坐标系中，为正十边形的中心，点在轴正半轴上.现任取不同的两点，（其中，，且，），使得点满足，则点落在第二象限的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】利用组合数公式求出从正十边形十个顶点中任取两个的事件总数，满足，且点落在第二象限,只需向量的终点落在第二象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式可得结果.【详解】从正十边形十个顶点中任取两个，基本事件总数为，满足，，且点落在第二象限，则需向量的终点落在第二象限，对应的为：共8种取法.点落在第二象限的概率是,故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算、古典概型概率计算公式等基础知识，是中档题.在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.12．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】原方程化为，令，令，可得，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合可得，得到关于不等式组，解出即可.【详解】，原式可化为，令时递增，故，令，故，故在上递减，在上递增，在上递减，而，要使总存在三个不同的实数，使得成立，即，故，故，实数的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为.二、填空题13．向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14．中，角，，对应边分别是，，，若，且，则__________．【答案】【解析】由,利用余弦定理可得，结合,即可解得的值,由，可求得的值，从而可得结果.【详解】，,由余弦定理可得，,解得，因为，所以，，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理、平面向量数量积公式及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．设是椭圆上一点，以为圆心的圆与轴相切，切点为椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点，，若为等边三角形，则椭圆的离心率为____．【答案】【解析】由圆M与x轴相切与焦点F，设M（c，y），则y或y，所以圆的半径为，利用△PQM是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率．【详解】∵圆M与X轴相切于焦点F，则MF与x轴垂直，∴不妨设M（c，y）在椭圆x轴上方，则y，∴圆的半径为，∵△PQM为等边三角形，∴c，∴b2ac，∴a2﹣c2ac，∴e2e﹣1＝0，∵0＜e＜1，∴e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．16．已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．【答案】【解析】利用与投影面所成角为，将正视图的面积和侧视图的面积用的三角函数表示，利用辅助角公式结，可求解的最大值.【详解】与投影面所成角为时，平面如图所示，，，，故正视图的面积为侧视图的面积为，，，故的最大值，故答案为.【点睛】本题考查了三视图的投影的认识和理解，以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值，属于中档题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .三、解答题17．已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设的前项和为，求.【答案】（1），.（2）【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由a1＝3，a n＝2n+1得S n＝n（n+2）．则n为奇数，c n．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，∵，，，，∴∴或，且是正项等比数列，∴，，∴，.（2）由（1）知∴∴==.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，面面.（1）证明：面面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）先由菱形的性质以及面面垂直的性质证明平面，从而，再利用勾股定理证明,从而可得平面，进而可得结果；（2）取中点，可证明平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标，平面的法向量可取为，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）因为底面为菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，从而.又，所以平面,由，，，可知，，，，从而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，，.所以，，.由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为,设平面的法向量为，则，即，即，令，得，所以.从而.由图可知，所求二面角的大小为锐角，故所求的二面角的余弦值为.法二：此题也可以连接，，即为所求的二面角的平面角.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）根据题意可得，解得a、p,即可求出圆与抛物线的标准方程，（2）设l的斜率为k，那么其方程为y＝k（x+2），根据韦达定理和弦长公式即可证明．【详解】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题．20．2018年12月18日，庆祝改革开放40周年大会在北京召开，习近平在会上强调“改革开放40年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大，由弱变强，在稳定增长，促进创新，增加就业，改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量，支持民营企业发展是党中央的一贯方针.这一点，丝毫不会动摇”.在习总书记讲话的鼓舞下，驻马店某民营企业与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议.现邀请甲、乙两个厂家进场试销10天.两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利80元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元.分别记录其十天的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表销售件数3839404142天数12241乙厂家销售件数频数表销售件数3839404142天数24211（1）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（2）若将频率视作概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙厂家的日返利额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（ⅱ）某商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.【答案】（1）；（2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）选择甲厂家.【解析】（1）利用组合知识，根据古典概型概率公式可得这两天的销售量都大于40的概率；（2）（ⅰ）的所有可能为：152,156,160,166,172，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（ⅱ）求出甲厂家日平均销售量，可得甲厂家的日平均返利额,与乙厂家的日平均返利额比较即可得结果.【详解】（1）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件，则.（2）（ⅰ）设乙产品的日销售量为，则当时， ,当时，当时，,当时，当时，.∴的所有可能为：152,156,160,166,172.∴的分布列为152156160166172∴（元）.（ⅱ）甲厂家日平均销售量为：甲厂家的日平均返利额为：（元），由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为：158.6元；元,因此，推荐该商场选择甲厂家长期销售.【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 21．设和是函数的两个极值点，其中，.（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出,方程有两个不等的正根，（其中）.由韦达定理可得，,由此可得，由二次函数的性质可得结果；（2）设，则，求出,利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出最值，从而可得结果.【详解】（1）函数定义域为，,依题意，方程有两个不等的正根，（其中）.故，并且，,∴,∵，∴,故的取值范围是：.（2）当时，，从而.若设，由（1）知，则.于是有,∴，记，，则，∴在上单调递减，，故的最大值是：.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，直线参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为：.（1）若射线与曲线交于点，求.（2）若直线与曲线交于，两点，点坐标为，且点在上方，点在下方，求的值.【答案】(1) (2)【解析】（1）将代入曲线C的极坐标方程中，即可求得结果．（2）将直线l的参数方程代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义得出结果．【详解】（1）将代入得.∴（2）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为将（为参数）化为（为参数）代入，得设，两点对应的参数分别为，，则，.∴【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了用极坐标解决长度问题，考查了一元二次根与系数的关系、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知函数.（1）时，求不等式解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）当a＝-1时，对x分类去绝对值，求出每种情况下的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意得当x∈时，f（x）≤2x恒成立，化简可得|x+a|≤1，即﹣1﹣x≤a≤1﹣x，由此求得a的取值范围．【详解】（1）当时，不等式可化为，①当时，不等式为，解得；②当时，不等式为，无解；③当时，不等式为，解得；综上，原不等式的解集为：（2）因为的解集包含，则不等式可化为，即.解得，由题意知，解得所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．。
河南省驻马店市诸市乡第一中学2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若变量满足，则关于的函数图象大致是（）参考答案：B2. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，53参考答案：A3. 已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C略4. 已知全集,集合, 若，则等于（）A. B. C.或 D.或参考答案：D5. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为( )A.12B.24C.36D.48参考答案：C略6. 由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为（）A.2－B.C. 4－D.参考答案：C7. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A．1 B． C． D．2参考答案：A8. 若函数在区间上的值域为，则的值是（）A.0B. 1C. 2D. 4参考答案：D【知识点】函数综合【试题解析】故答案为：D9. 已知函数是自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由已知，得到方程即在[，e]上有解，构造函数，求出它的值域，即可得到a的范围．【详解】根据题意，若函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，即，即方程在区间上有解，设函数，其导数，又，在有唯一的极值点，分析可得：当时，，为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由，，比较得，故函数有最大值，故函数在区间上的值域为；若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是.故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．10. （5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，对于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g （a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A． ln2 B．﹣ln2 C． D． e2﹣3参考答案：A【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2?﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．解：不妨设g（a）=f（b）=m，∴e a﹣2=ln+=m，∴a﹣2=lnm，b=2?，故b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）令h（m）=2?﹣lnm﹣2，h′（m）=2?﹣，易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，故h（m）=2?﹣lnm﹣2在m=处有最小值，即b﹣a的最小值为ln2；故选：A．【点评】：本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于．参考答案：2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数，求出f（1），f（﹣1），解方程即可．【解答】解：f（x）=，∴f（1）=a，f（﹣1）=2；∵f（1）=f（﹣1），∴a=2故答案为：2，【点评】本题分段函数及运用，考查分段函数值应注意各段的自变量的取值范围，属于基础题．12. 方程的解是．参考答案：13. （坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．参考答案：14. 原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是参考答案：315. 若点在幂函数的图像上，则函数的反函数= .参考答案：（）略16. 在△ABC中，若tanAtanB=1，则= ．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角和的正切公式求得tan（A+B）不存在，可得A+B等于，从而得到C=，从而求得要求式子的值．【解答】解：△ABC中，若tanAtanB=1，tan（A+B）=不存在，故A+B=，∴C=π﹣A﹣B=，则=sin（+）=cos=，故答案为：．17. 计算：= 。
2020年河南省驻马店市李桥中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）=e x﹣e﹣x，g（x）=lg（mx2﹣x+），若对任意x1∈（﹣∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则实数m的最小值为（）A．﹣B．﹣1 C．﹣D．0参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．【解答】解：∵f（x）=e x﹣e﹣x在（﹣∞，0]为增函数，∴f（x）≤f（0）=0，∵?x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴g（x）=lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，当m=0时，g（x）=lg（﹣x+），显然成立；当m≠0时，要使g（x）=lg（mx2﹣x+）的值域包含（﹣∞，0]，则mx2﹣x+的最大值大于等于1，∴，解得﹣≤m＜0，综上，﹣≤m≤0，∴实数m的最小值﹣故选：A．【点评】本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．2. 设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是( )A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，所以x的取值范围是（，1），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B.且C. D.参考答案：D4. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( )A．，3 B．C．，2 D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5. 已知满足,记目标函数的最大值为7，最小值为1，则（）A．2 B．1C．-1 D．-2参考答案：D考点：简单线性规划.【易错点睛】先根据红豆条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.本题的难点在于约束条件中含有参数，如何利用目标函数的最值来确定最值.6. 若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为A. －2B. 6C.4 D. －6参考答案：D7. 设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．参考答案：解：设2x=t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4原式化为：y=(t－a)2＋1①当a≤1时，y min=；②当1＜a ≤时，y min =1，y max =；③当＜a ＜4 时 y min =1，y max =④当a ≥4时，y min =8. 执行右图的程序框图，则输出的结果为 A ．66B ．64C ．62D ．60参考答案： C 略9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1． ∴几何体的体积V=+=1+=．故选B ．10. 在复平面内，复数对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限参考答案： B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的最小正周期为。
驻马店市2019~2020学年度第一学期期终考试高一（理科）数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3A =，{}24B x x =<，则A B =I （ ）A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}2D. {}1【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,再根据集合的交集运算即可得A B I . 【详解】因为集合{}1,2,3A =,{}24B x x =<即{}22B x x =-<<由集合的交集运算可得{}{}{}1,2,3221A B x x ⋂=⋂-<<= 故选:D【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1f f e +=（ ） A. 2- B. 2C. 4-D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式,先求得()1f e +的值,再代入即可求得()()1f f e +的值.【详解】因为函数()()21,1ln 1,1x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则()()1ln 111f e e +=+-=所以()()()211112f f e f +==+=故选:B【点睛】本题考查了分段函数中函数值的求法,属于基础题.3.已知正六边形ABCDEF 的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图A B C D E F ''''''，则直观图A B C D E F ''''''的面积为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求得正六边形的面积,根据直观图面积=4S S 直原即可求得直观图的面积. 【详解】正六边形ABCDEF 的边长为2,则2624S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭所以由=4S S 直原代入可得直观图A B C D E F ''''''的面积=4S =直 故选:D【点睛】本题考查了斜二测画法平面图形与直观图的关系,属于基础题. 4.下列不等式中解集是{}13x x -<<的是（ ） A. ()2log 12x +< B. 2230x x -->C. 128x <<D. ()1212x +<【答案】A 【解析】 【分析】根据选项,依次解四个不等式即可判断选项.【详解】对于A,变形可得()22log 1log 4x +<则1410x x +<⎧⎨+>⎩,解不等式组得13x -<<,即不等式()2log 12x +<的解集为{}13x x -<<,所以A 正确;对于B,2230x x -->因式分解可得()()310x x -+>,解得3x >或1x <-,即不等式2230x x -->的解集为{}31x x x ><-或,所以B 错误;对于C,128x <<,变形可得03222x <<,所以03x <<,即不等式128x <<的解集为{}03x x <<,所以C 错误;对于D, ()1212x +<,变形可得1410x x +<⎧⎨+≥⎩,解得03x ≤<,即不等式()1212x +<的解集为{}03x x ≤<,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A【点睛】本题考查了对数不等式与指数不等式的解法,一元二次不等式及根式不等式的解法,属于基础题. 5.下列函数中既是奇函数又在区间(),-∞+∞上单调递增的是（ ）A. 2x xe e y -+=B. 2222x xx xy ---=+C. 1y x x=+ D. 33x x y -=-【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-,即可判断函数是否为奇函数;根据函数的解析式,即可判断函数在(),-∞+∞上的单调性.【详解】对于A,2x x e e y -+=,定义域为R,则()()2x xe ef x f x -+-==,所以为偶函数,所以A 错误; 对于B, ,定义域为R,则()()22222222x x xx xx x f x f x -------==-=-++,所以为奇函数;将解析式变形可得222222211122222141x x x x x x x x x y ------⨯--==+=+=+++++,因为4x y =为单调递增函数,所以2141x y -=++在R 上为单调递增函数,所以B 正确; 对于C,1y x x =+,定义域为0x ≠,因而1y x x=+在区间(),-∞+∞上不具有单调性,所以C 错误; 对于D,33xx y -=-,定义域为R,()()()3333x x x xf x f x ---=-=--=-,所以为奇函数;因为()133xx y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以在区间(),-∞+∞上单调递减,所以D 错误.综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数为奇函数及单调性,属于基础题.6.若直线1l ：220ax y +-=与直线2l ：()110x a y +--=平行，则实数a =（ ） A.23B. 1-C. 2D. 1-或2【答案】B 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率相等关系,解方程即可求得a 的值.【详解】当0a =或1a =时,两条直线平行不成立,所以0a ≠且1a ≠因为直线1l :220ax y +-=,变形可得12ay x =-+ 直线2l :()110x a y +--=,变形可得1111y x a a =-+-- 因为直线1l 与直线2l 平行 所以112a a =---且111a ≠- 化简得220a a --=,即()()210a a -+=且2a ≠综上可知,1a =- 故选:B【点睛】本题考查了两条直线平行的关系,根据直线的平行关系求参数,注意截距不相等的条件,属于基础题.7.设l m ，为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，m α⊂，则//l m B. 若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C. 若//αβ，l α⊂，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,结合特殊位置形式即可判断. 【详解】对于A,若//l α,m α⊂,则//l m 或l 与m 异面,所以A 错误; 对于B, 若αβ⊥,l α⊂,则l β∥或l 与β相交,所以B 错误;对于C, 若//αβ,l α⊂,则由平面与平面平行性质可知//l β,所以C 正确; 对于D, 若αβ⊥,//l α,则l β⊥,//l β或l 与β相交,所以D 错误. 综上可知正确的为C 故选:C【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题.8.若实数x 满足3log 41x =，则22x x -+=（ ） A.52B.C.D.103【答案】C 【解析】 【分析】先求得x ,再根据对数的运算及换底公式化简即可求解.【详解】实数x 满足3log 41x =,则1222232log 311log 3log 3log 4log 42x ==== 则22x x -+112222log 3log 322-=+12121333==+故选:C【点睛】本题考查了对数的运算与换底公式的应用,指数幂的化简求值,属于基础题.9.直线l：0x m +=与圆C ：22410x y x +-+=交于A ，B 两点，若ABC ∆为等边三角形，则m 值是（ ） A. 1 B. 5- C. 1或5- D. 5【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程,由直线与圆相交形成等边三角形,结合点到直线的距离及垂径定理即可求得m 的值.【详解】圆C ：22410x y x +-+=,化为标准方程可知()2223x y -+=所以圆心坐标为()2,0.半径为r =由点到直线距离公式可知弦心距为d =直线l 与圆C 交于,A B 两点且ABC ∆为等边三角形根据垂径定理可得2d=,2=化简得23m +=解得1m =或5m =- 故选:C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点到直线距离公式及垂径定理的应用,属于基础题.10.已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A.13B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图,画出空间几何体,由几何体即可求得其表面积. 【详解】根据三视图,画出空间几何体如下图所示:则四棱锥B ADC -是棱长为的正四棱锥则(2444B ADC ADC S S -==⨯=故选:D【点睛】本题考查了三视图及简单应用,由三视图还原空间几何体,四棱锥表面积的求法,属于中档题. 11.已知函数()y f x =的定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，对任意的1x ，2x ，当122x x ≤≤时，()()12120f x f x x x ->-，则关于t 的不等式()()12224t t f f ++<-的解集为（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()21,log 6D. ()2,log 6-∞【答案】A【解析】 【分析】根据函数()2y f x =+为偶函数,可知函数()y f x =的图像关于2x =对称,结合当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即可得函数()y f x =的单调情况.由不等式()()12224t t f f ++<-,可知12224t t ++>-.再根据函数的单调性及对称性即可解不等式求得t 的取值范围.【详解】函数()y f x =的定义域为R,()2y f x =+为偶函数 所以由函数图像的平移变换可知,()y f x =的图像关于2x =对称 又因为当122x x ≤≤时,()()12120f x f x x x ->-即()y f x =在2x <时为单调递增函数,在2x <时为单调递减函数,函数图象示意图如下图所示:因为不等式()()12224t t f f ++<-中,满足12224t t ++>-结合函数图像,由函数的对称性与单调性可知需满足12224t t ++<-（舍）或12224t t +->- 令2t m =,代入不等式12224t t +->-可化为224m m ->-,解得2m <,即22t <,所以1t < 综上可知, t 的取值范围为(),1-∞ 故选:A【点睛】本题考查了函数图像的平移变化,根据函数的单调性解不等式,换元法解不等式的应用.综合性较强,属于中档题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M ，N 为线段BC ，1CC 上的动点，过点1A ，M ，N 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的个数是（ ）①当0BM =且01CN <<时，S 为等腰梯形；②当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，几何体11A D MN 的体积为112；③当M ，N 分别为BC ，1CC 的中点时，异面直线AC 与MN 成角60°；④无论M 在线段BC 任何位置，恒有平面11A D M ⊥平面1BC D A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角及平面与平面垂直的判定,四棱锥体积公式可依次判断选项.【详解】对于①,当0BM =时,M 与B 重合,01CN <<, 过点1A ,,M N 的平面截正方体所得截面S 如下图所示:由平面与平面平行的性质可知1//A B QN 且1A B QN ≠,1A Q BN = 则截面S 为等腰梯形,所以①正确;对于②,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,位置关系如下图所示:作111,NE D C MF A D ⊥⊥,因111,NE A D NE D C ⊥⊥,且1111A D D C D ⋂=所以NE ⊥平面11A D CM 所以NE 为四棱锥11NA D M -的高则MF ==,24NENC ==此时1132D M A M ====则1111111222A D MS A D MF ∆=⨯⨯=⨯=所以四棱锥11NA D M -的体积为1111111332412N A D M A D M V S NE -∆=⨯⨯=⨯=,所以②正确;对于③,当M,N 分别为BC,1CC 的中点时,连接11,AD D C由M,N 分别为BC,1CC 的中点,可知1//MN AD则1AD 与AC 所成的角即为异面直线AC 与MN 所成的角. 根据正方体的性质可知,1AD C ∆为等边三角形,即160AD C ∠=o 因而异面直线AC 与MN 所成的角为60o ,所以③正确;对于④无论M 在线段BC 任何位置,平面11A D CB 即为平面11A D M 因为11111,C D D C A D C D ⊥⊥且1111A D D C D ⋂=所以1C D ⊥平面11A D CB 而1C D ⊂平面1BC D所以平面11A D CB ⊥平面1BC D即平面11A D M ⊥平面1BC D所以④正确.综上可知,正确的有①②③④故选:D【点睛】本题考查了空间中平面与平面垂直的判定,异面直线夹角的求法,四棱锥的体积求法,综合性强,对空间想象能力和空间思维能力要求高,属于难题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题.13.若函数()2213f x x x +=+，则()5f =______. 【答案】10【解析】【分析】根据函数解析式,先求得自变量的值,再代入即可求解.【详解】函数()2213f x x x +=+ 令215x +=解得2x =所以()2523210f =+⨯=故答案为:10【点睛】本题考查了已知复合函数解析式,求函数值,属于基础题.14.已知空间直角坐标系中的点M ，N 的坐标分别为()5,5,8，()1,1,4-.则线段MN 的中点到坐标原点的距离为______.【答案】7【解析】【分析】根据M,N 的坐标求得中点坐标,结合空间中两点间距离公式即可求解.【详解】空间直角坐标系中的点M,N 的坐标分别为()5,5,8,()1,1,4-则中点坐标为()2,3,6由空间中两点距离公式可知, MN 的中点到坐标原点的距离为7d ===故答案为:7 【点睛】本题考查了空间直角坐标系中点公式,两点间距离公式的用法,属于基础题.15.三棱锥A BCD -满足AB BC ⊥，BC CD ⊥，22AB BC CD ===，3AD =.则该三棱锥外接球的表面积是______.【答案】9π【解析】【分析】根据线段关系,可判断出AB BD ⊥,即AB ⊥平面BCD .将三棱锥补全为长方体,即可求得其外接球的半径,进而得外接球的表面积.【详解】因BC CD ⊥,2,1BC CD ==所以BD =因2,3AB AD ==所以在ABD ∆中,满足222AD AB BD =+即90ABD ∠=o所以三棱锥在长方体中的位置如下图所示:即四棱锥的外接球即为长方体的外接球因为3AD =所以三棱锥A BCD -外接球半径322AD r == 则三棱锥A BCD -的表面积为294494S r πππ==⨯= 故答案为:9π【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积求法,将含有多个直角的棱锥放在长方体或正方体中研究外接和内切问题是常用方法,属于中档题.16.已知函数()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且函数()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1324⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】【分析】根据分段函数单调性的分析方法,对()f x 可求得a 的部分取值范围.通过分离参数,可化简()g x ,通过画出函数图像求得a 的部分取值范围,综合即可求得a 的取值范围.【详解】()()()2433,0log 1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨+≥⎪⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减 所以满足43020130a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩,解得304a <≤ ()2212g x x x ax =-+-在()0,∞+内有两个零点 即22120x x ax -+-=有两个解 即2212x x a x -+=.令()2212x x h x x -+=当01x <≤时, ()221122x x h x x x-+== 当1x <时, ()2221211222x x x h x x x x x-+-===- 画出函数()h x 的图像如下图所示:由函数图像可知,当()2212x x a h x x -+==有两个交点时,12a > 综上可知,13,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为:13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由分段函数单调性求参数取值范围,函数零点的定义及分类讨论思想的应用,构造函数法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.三、解答题：本大题共6小题，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合(){}lg 7A x y x ==-，132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}C x x a =<，全集为实数集R .（1）求A B I ，()()R R A B U 痧； （2）如果B C ≠∅I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}37x x ≤<，{|3x x <或}7x ≥；（2）2a >.【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义条件及对数函数定义域要求,解得集合A.解指数不等式,求得集合B,即可根据交集、并集和补集运算求解.（2）根据集合的交集为空集,结合不等式关系即可求得a 的取值范围.【详解】（1）(){}lg 7A x y x ==-由二次根式有意义条件及对数函数定义域可得3070x x -≥⎧⎨->⎩ 解得37x ≤< 则{}37A x x =≤<,所以{|3R A x x =<ð或}7x ≥132212log 44x B x -⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 化简可得13212222x --<<,即12312x -<-< 解得28x << 则{}28B x x =<<,所以{|2R B x x =≤ð或}8x ≥由集合的交集与补集运算可知 {}37A B x x ⋂=≤<()(){|3R R A B x x ⋃=<痧或}7x ≥；（2）由（1）知{}28B x x =<<,{}C x x a =<由B C ≠∅I所以当2a >时,B C ≠∅I故a 的取值范围为2a >【点睛】本题考查了函数定义域的求法,集合交集、并集与补集的混合运算,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.18.计算下列各式的值：（1）()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭；（2）3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++. 【答案】（1）2；（2）4.【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算,化简即可求解.（2）由对数的运算与换底公式,化简即可求解.【详解】（1）根据分数指数幂运算,化简可得()1233810.0082725M -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭()123333210.2325-⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦5211330.0425=-+⨯2=（2）由对数的运算及换底公式,展开化简可得3log 225334log 3log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9N =+--++()225333322log 3log 5log 4log 9log 4lg5lg3log 21log 32=++--++⨯⨯23lg 22log 31lg5lg3lg3=+-++⨯()221lg 52=+-+⨯2211=+-+4=.【点睛】本题考查了分数指数幂的化简求值,对数的运算与换底公式的应用,属于基础题.19.已知ABC V 的顶点坐标为()0,5A ，()1,2B -，()5,4C -.（1）求ABC V 的BC 边上的高所在直线的方程；（2）求直线AB 的方程及ABC V 的面积.【答案】（1）50x y -+=；（2）AB 方程是750x y +-=，面积是18.【解析】【分析】（1）根据两点间斜率公式,先求得直线BC 的斜率.结合垂直时两直线斜率关系求得高所在直线的斜率,再由斜截式即可求得高所在的直线方程.（2）根据两点间斜率公式,先求得直线AB 的斜率,再由斜截式即可求得直线AB 的方程.【详解】（1）根据两点的斜率公式,可得()42151BC k --==--- 根据两条直线垂直时的斜率关系可知,所求直线的斜率为1而高线经过点()0,5A ,由直线斜截式方程得5y x =+故所求直线方程是50x y -+= （2）根据两点的斜率公式,可得()52701AB k --==-- 又因为经过点()0,5A ,所以由直线斜截式方程得75y x =-+故直线AB 方程是750x y +-= 由两点间距离公式可得AB ==,由点到直线距离公式可得AB 的距离是d ==所以ABC ∆面积是1182ABC S ∆=⨯= 【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,斜截式方程的用法,两点间距离公式及点到直线的距离公式应用,属于基础题.20.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，4AB BC AC ===，3PA AD ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.的（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求三棱锥B CMN -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取BP 的中点T ,连接,AT TN ,根据中位线定理及空间中平行线的传递性,可证明=//AM TN ,即可知四边形AMNT 是平行四边形,进而由线面平行定理即可证明//MN 平面PAB .（2）根据4AB BC AC ===,可求得ABC S ∆.由PA ⊥底面ABCD 求得P ABC V -.由//AD BC 可知BCA BCM S S ∆∆=,即B CMN N BCM N BCA V V V ---==.因为N 为PC 的中点,即可知12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----===. 【详解】（1）由已知得223AM AD == 取BP 的中点T ,连接,AT TN ,如下图所示:由N PC 中点,则TN //BC 且12TN BC =又=1//2AM BC 则=//AM TN 所以四边形AMNT 是平行四边形所以MN //AT而MN ⊄平面PAB ,AT ⊂平面PAB所以//MN 平面PAB（2）ABC ∆中4AB BC AC ===1442∆=⨯⨯=ABC S又PA ⊥底面ABCD ,得13P ABC ABC V S PA -∆=⨯=因//AD BC ,得B CMN N BCM N BCA V V V ---==又N 为PC 的中点所以12B CMN N BCM N ABC P ABC V V V V ----====【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,三棱锥体积的的求法.对三棱锥的形式,通过转换顶点的方法,求得其体积是常用方法,属于中档题.21.已知函数()122x x b f x a++=+，（,a b ∈R ）是定义在R 上的奇函数. （1）求a ，b 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若存在()0,2t ∈，使不等式()()230f t kt f t -+-<成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =-；（2）()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数，证明见解析；（2）()1,+∞.【解析】【分析】（1）根据()f x 是定义在R 上的奇函数,由()00f =代入即可求得b 的值.再由定义()()f x f x -=-代入即可求得a 的值.（2）先判断函数的单调性,再根据定义,通过作差法即可证明函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性,即可将不等式化简为31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,结合基本不等式即可求得k 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数∴()00f =,即1b =- 此时()1212x x f x a+-=+由()()f x f x -=-恒成立得11212122x x x x a a--++--=-++ 解得2a =所以2a =,1b =-（2）由（1）知()1212x x f x a+-=+ 判断()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数.证明:任取,12x x <,则21220x x ->且()()211122220x x ++++>∴()()21f x f x - 21211121212222x x x x ++--=-++ ()()()21211142202222x x x x ++-=>++即：()()21f x f x >,故由函数单调性定义知：()f x 在(),-∞+∞上是单调递增函数；（3）由（1）、（2）知()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增,∴由()()230f t kt f t -+-<：()()()233f t kt f t f t -<--=- 也就是说关于t 的不等式23t kt t -<-在()0,2t ∈上有解,∴()213k t t +>+在()0,2t ∈上有解. 即31k t t+>+在()0,2t ∈上有解,∵t =时,3t t +取得最小值为∴1k +>即所求()1,k ∈+∞【点睛】本题考查了根据奇函数求参数的值,利用定义证明函数的单调性,根据单调性及奇函数性质解不等式,属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()224220x y ++-=与y 轴交于O ，P 两点，圆2C 过O ，P两点且与直线1l ：12y x =-相切. （1）求圆2C 的方程； （2）若直线2l ：y kx =与圆1C ，圆2C 的交点分别为点M ，N （不同于原点），试判断线段MN 的垂直平分线是否过定点；若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22240x y x y +--=；（2）是，()3,4-. 【解析】【分析】（1）对于圆1C 的方程,令0x =即可求得,O P 的坐标.设出圆2C 的方程,将,O P 的坐标代入,结合21OC l ⊥即可求得圆2C 的方程.（2）联立直线2l 与圆1C ,求得交点M 的坐标, 联立直线2l 与圆2C 可得N 点坐标.进而求得线段MN 的中点坐标.当斜率0k ≠时,表示出线段MN 的垂直平分线方程,即可求得所过定点坐标;当0k =时,由M 和N 点坐标,即可求得线段MN 的垂直平分线过的定点坐标.【详解】（1）1C ：()()224220x y ++-=,令0x =,得10y =,24y =,故()0,0O ,()0,4P 设圆2C 的方程220x y Dx Ey F ++++=将()0,0O ,()0,4P 的坐标代入圆的方程得4E =-,0F =,故2,22D C ⎛⎫- ⎪⎝⎭由题意知21OC l ⊥,得2D =-故圆2C 的方程为22240x y x y +--= （2）由22840y kx x y x y =⎧⎨++-=⎩得2224848,11k k k M kk ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 由22240y kx x y x y =⎧⎨+--=⎩得2224242,11k k k N k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭ 线段MN 的中点为2224343,11k k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当0k ≠时,线段MN 的垂直平分线方程为2224314311k k k y x k k k --⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭即()()222444314311k k k y x k k k k +----=-+++()2243143411k k y x k k k k +--+=-+++()2214343411k ky x k k k k -+=-+-+++()134y x k =-++此时线段MN 的垂直平分线过()3,4-当0k =时,()8,0M -,()2,0N此时线段MN 的垂直平分线为3x =-,也过()3,4-综上可知, 线段MN 的垂直平分线所过定点的坐标为()3,4-【点睛】本题考查了圆的方程求法,直线与圆的位置关系的应用,直线过定点的求法,综合性强,属于难题.。
河南省驻马店市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中，15a =，27a =，则17a 的值是（ ） A. 35 B. 37C. 39D. 41【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可求出公差，进而求出17a 的值. 【详解】解：由题意可知127a d a =+= ，解得2d =.所以1711637a a d =+=.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题. 2.命题“对任意x ∈R ，恒有20x x +≥”的否定是（ ） A. 对任意x ∈R ，恒有20x x +<B. 存在0x R ∈，使得2000+<x xC. 存在0x R ∈，使得2000x x +≥D. 存在0x R ∈，使得2000x x +≥【答案】B 【解析】 【分析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：“对任意x ∈R ，恒有20x x +≥”的否定是“存在0x R ∈，使得2000+<x x ”成立.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线2213y x -=有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（ ）A. 2211612x y +=B. 2211216x y +=C. 2214x y +=D.2214y x +=【答案】A 【解析】 【分析】计算双曲线的焦点为()2,0±，离心率12=e ，得到椭圆的焦点为()2,0±，离心率212e =，计算得到答案.【详解】双曲线2213y x -=的焦点为()2,0±，离心率12=e ，故椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为()2,0±，离心率212e =，即2214,2c a b a =+=.解得4,2,a c b ===2211612x y +=.故选：A .【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4.已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A. ac bc < B.11b ba a+<+ C.11b ba a+>+ D. ac bc ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5.已知空间三点(0,1,2)A ，B(1,3,5)，(2,5,4)C k -在一条直线上，则实数k 的值是（ ） A. 2 B. 4C. -4D. -2【答案】C 【解析】 【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数k 的值.【详解】解：因为空间三点(0,1,2)A ，B(1,3,5)，(2,5,4)C k -在一条直线上， 所以()()1,2,3,2,4,2AB AC k ==- , 故2AC AB =. 所以4k =- . 故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6.命题“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 14a ≥-B. 14a >C. 12a ≥-D. 12a >-【答案】B 【解析】 【分析】“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题，可得()2mina x x≥+，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题， 所以()22minmin111244a x xx ⎡⎤⎛⎫≥+=+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此上述命题得个充分不必要条件是14a >. 故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.已知中ABC ∆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin B =且a，b ，c 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出cos 21B =±，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为sin B =，所以cos 21B =±.由题意得2b ac = ，利用余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-. 当1cos 2B =，即3B π=时，2220+-=a c ac ，即()20a c -=，解得：a c =. 此时三角形为等边三角形； 当1cos 2B =-，即23B π=时，220a c +=,0a c == 不成立. 所以三角形的形状是等边三角形. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.8.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是1DD ，BD 的中点，点G 是棱11B C 上的点且满足112B G GC =，则两异面直线EF ，CG 所成角的余弦值是（ ）A.15B.30C.15D.30【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点E 、F 、C 、G 和向量的EF 、CG 坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以D为原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标第D xyz-,则10,0,2E⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，()010C，，，1,1,13G⎛⎫⎪⎝⎭，故111,,222EF⎛⎫=-⎪⎝⎭,1,0,13CG⎛⎫= ⎪⎝⎭,30,1cos5EF CGEF CGEF CG•>==<，故两异面直线EF，CG所成角的余弦值是3015.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.9.已知直线l经过抛物线24y x=的焦点F，且与该抛物线交于11(,)A x y，22(,)B x y两点，若满足2FB AF=，则直线l的方程为（）A. 330x y±-= B. 330x y±+=C. 22220x y±-= D. 220x y±+=【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得m，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线24y x =的焦点()10F ，， 设直线l 为1x my =+ ，则214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my --= ， 则124y y m += ，124y y =-. 由2FB AF =可得212y y =- ，代入上式即可得4m =±，所以14x y =±+，整理得：0y ±-=. 故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10.设直线210x y -+=与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若点(1,0)P 满足PM PN =，则该双曲线的离心率是（ ）A.3B.3C.3【答案】C 【解析】 【分析】先求出M ，N 的坐标，再求MN 中点坐标，利用点(1,0)P 满足PM PN =，可得222222204214b b a a b a --=---，从而求双曲线的离心率. 【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为by x a=±，分别于210x y -+=联立，解得：,2a M a b ⎛⎫-⎪-⎝⎭，,22a b N b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以MN 中点坐标为2222222,44a b b a b a ⎛⎫⎪--⎝⎭，因点(1,0)P 满足PM PN =，所以222222204214b b a ab a--=--- ， 所以2232b a = ，即2223b a =，所以3e == . 故选：C .【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC CC ===，且AC BC ⊥，点M 是棱1CC 上的动点，则点1B 到平面1BMA 距离的最大值是（ ）C. 2【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点M 的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点1B 到平面1BMA 距离的最大值.【详解】解：以C 为原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标第C xyz -,则()0,3,0B ,()10,3,3B ,()13,0,3A , 设点()0,0,M a ,故()13,0,3MA a =- ，()0,3,MB a =-，()10,0,3BB =. 设设平面1A BM 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0MA n MB n ⎧=⎨=⎩即()33030x a z y mz ⎧+-=⎨-=⎩，取1z = ，则(1,,1)33m m n =-.所以点1B 到平面1BMA 距离1221321233324n BB d nm mm ⋅===⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 当132m =，即32m =时，距离有最大值为6 .故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有(3)n n ≥个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这n 个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为n a ，则当3n ≥时，n a 和1n a +满足 （ ）A. 143n n a a n +=-B. 141n n a a +=-C. 121n n a a +=+D.12n n a a n +=+【答案】C 【解析】 【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到n a 和1n a +满足的递推公式. 【详解】若甲柱有k 个盘，甲柱上的盘从上往下设为(1,2,,)i x i k =，其中12x x =，1(3)i i x x i -<≥，当1n =时，将1x 移到乙柱，只移动1次；当2n =时，将1x 移到乙柱，将2x 移到乙柱，移动2次；当3n =时，将1x 移到丙柱，将2x 移到丙柱，将3x 移到乙柱，再将1x 移到乙柱，将2x 移到乙柱，35a =；当4n =时，将上面的3个移到丙柱，共3a 次，然后将4x 移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共3a 次，所以432111a a =+=次；当5n =时，将上面的4个移到丙柱，共4a 次，然后将5x 移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共4a 次，所以542123a a =+=次； ……以此类推，可知121,3n n a a n +=+≥， 故选C .【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式. 二、填空题13.已知变量x ，y 满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】7 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知，当目标函数经过点()3,1时，即3,1x y ==时，2z x y =+有最大值为7. 故答案为：7.【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理得到：sin sin a b A B=，故9sin 10B =，91sin sin 10B A >=>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.15.已知正数x ，y 满足122x y+=.若2212x y m m +-≥-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】利用基本不等式性质可得2+x y 的最小值，由2212x y m m +-≥-恒成立可得223m m -≤即可求出实数m 的取值范围.【详解】解：因为正数x ，y 满足122x y+=，所以()112142+222422y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 当且仅当4y x x y=时，即22y x == 时取等号. 因为2212x y m m +-≥-恒成立， 所以223m m -≤，解得-1m 3≤≤ . 故实数m 的取值范围是[]1,3-. 故答案填：[]1,3-.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【答案】)1,1【解析】试题分析：在△PF 1F 2中，由正弦定理得：211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知得：1211PF PF ac=，即：a|PF 1|=|cPF 2|设点（x 0，y 0）由焦点半径公式，得：|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0,则a （a+ex 0）=c （a-ex 0）解得：x 0=()(1)()(1)a a c a e e a c e e --=-++，由椭圆的几何性质知：x 0＞-a 则(1)(1)a e e e -+>-a整理得e 2+2e-1＞0，解得：e ＜-1或e -1，又e∈（0，1），-1，1)，故答案为-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a ，b ，c 转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c 的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos sin cos 3sin c A B c B A C +=.（1）求边c 的长；（2）若角A ，C ，B 成等差数列，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3；（2 【解析】 【分析】(1)根据题意运用两角和与差正弦公式整理即可得边c 的长度；(2)根据题意运用余弦定理和基本不等式求出ab 的最大值，进而可求出三角形面积最大值. 【详解】解：（1）∵sin cos sin cos 3sin c A B c B A C +=，且A ，B ，C 是ABC ∆的内角 ∴(sin cos sin cos )sin()sin 3sin c A B B A c A B c C C +=+== ∵sin 0C ≠，∴3c =；（2）∵角A ，B ，C 成等差数列且A C B π++=，∴3C π=，又∵3c =，由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，得：2292a b ab ab ab ab =+-≥-=.∴222a b ab +=-.又∵222a b ab +≥则有92ab ab +≥， ∴9ab ≤.当且仅当3a b ==时“=”成立，此时ABC ∆面积有最大值11sin 922S ab C ==⨯. 【点睛】本题主要考查，两角和与差的正弦公式、利用余弦定理和基本不等式结合求三角形面积的最值，属于中档题.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，12()n n a S n N ++=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和14nT <. 【答案】（1）2()nn a n N +=∈；（2）证明见解析【解析】 【分析】(1)根据题中公式写出当2n ≥时，12n n a S -=+，将两式相减可得1n n n a a a +-=，即可求出2n ≥时数列是等差数列，公比为2，再检验1n = 时的情况即可；(2)利用裂项相消法求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，再判断n T 是否小于14.【详解】解：（1）由12n n a S +=+可得：当2n ≥时，12n n a S -=+， 上述两式相减可得1n n n a a a +-=，即12(2)n n a a n +=≥.又∵12a =，2124a S =+=，21422a a == ， ∴12()n n a a n N ++=∈，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴1222()n nn a n N -+=⨯=∈；（2）证明：由（1）可得，2nn a =，2log 2n n b a n ==，∴111111()2(22)41n n b b n n n n +==-++， 故111111111()(1)41223141n T n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=-++. ∴111(1)414Tn n =-<+. 【点睛】本题考查如何求通项公式，和运用裂项相消法求数列的前n 项和并判断范围，属于中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点.（1）证明：PC BD ⊥；（2）当2PA =时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）427【解析】 【分析】(1)由线面垂直可得线线垂直，最终证出线线垂直;(2)建立空间直角坐标系，求出MA 的空间坐标和平面PBC 的法向量，利用求线面角所成角的正弦公式求出即可.【详解】解：（1）连接AC ，BD 交于点O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥，又∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥.又∵PAAC A =，PA ，AC 都在平面ABCD 内,∴BD ⊥平面PAC ， 又∵PC ⊂平面PAC , ∴PC BD ⊥.（2）易知AC BD ⊥，O 为AC 的中点，且M 是PC 的中点，//MO PA ，∴MO ⊥平面ABCD 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立如科所示的空间直角坐标系O xyz -. 又∵2PA AB ==，60ABC ∠=︒∴(0,1,0)A -，(0,0,1)M ，(0,1,2)P -，(3,0,0)B ，(0,1,0)C . ∴(0,1,1)MA =--，(3,1,2)PB =-，(0,2,2)PC =-.设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩即320220x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，取(3,3,3)n =. ∴cos ,42MA n MA n MA n⋅==. 故所求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为642cos ,742MA n -==.【点睛】本题考查线线垂直定理，考查建立空间坐标系求线面角的余弦值，属于中档题.20.已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为2. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，M （3，2）是线段PQ 的中点，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）10x y --= 【解析】 【分析】(1)利用抛物线性质求出p 值，即可；(2)由A ，B 是抛物线上两点，代入方程两式相减，解得k 值，即可得出结论.【详解】解：（1）由抛物线性质知：AOB ∆的面积12222pS p =⨯⨯=， ∴2p =,∴所求抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）易知直线l 不与x 轴垂直，设所求方程为：2(3)y k x -=-， 设11()P x y ，22()Q x y ，由P ，Q 在抛物线C 上得：21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相式相减化简得：212121()()4()y y y y x x +-=- 又∵2122y y +=，2121y y k x x -=-，代入上式解得：1k =. 故所求直线l 的方程为：21(3)y x -=⨯-. 即10x y --=.【点睛】本题考查由抛物线性质求标准方程，与做差法求直线方程，属于中档题. 21.如图，平面ABCD ，CFAE ，AD BC ∥，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）87【解析】 【分析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段CF 的长为t ，根据二面角E BD F --的余弦值，求出线段CF .【详解】解：（1）∵AD BC ∥，CFAE ，AD ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADECF平面ADE ，BC ∥平面ADE ，又∵CF BC C =，∴平面BCF ∥平面ADE 又∵BF ⊂平面BCF ， ∴BF ∥平面ADE .（2）∵AE ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥,1AB AD ==，2AE BC ==，∴以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标第A xyz -.易知(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,2)E ， 设CF t =，0t >，则(1,2,)F t ，0t >，(1,0,2)EB =-，(0,1,2)ED =-，(0,2,)EF t =，(1,1,)DF t =设1111(,,)n x y z =为平面EBD 的法向量，则：由11·0·0EB n ED n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：11112020x z y z -=⎧⎨-=⎩，取1(2,2,1)n =；设2222(,,)n x y z =为平面FBD 的法向量则由得22·0·0BF n DF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：22222200y tz x y tz +=⎧⎨++=⎩，取22(1,1,)n t =-.∴1212124cos ,3n n n n n n <>==∵二面角E BD F --的余弦值为13. 13=，解得：87t =经验证：87t =时，符合题意 故所求87CF t==. 【点睛】本题考查线面平行定理和利用二面角的余弦值求参数问题，属于中档题. 22.已知在平面直角坐标系中，B （3,0），C （3,0），ABC ∆的周长为4，设顶点A 的轨迹为E ，若直线:l y x m =+与y 轴交于P 点，与曲线E 交于M ，N 两点. （1）求ABC ∆顶点A 的轨迹E 的方程； （2）若3MP PN =，求实数m 的值.【答案】（1）2214x y +=（0y ≠）；（2） 【解析】 【分析】(1) 根据题中周长结合椭圆定义即可求出轨迹方程；(2) 联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，再由3MP PN =关系求出实数m 的值. 【详解】解：（1）∵ABC ∆的周长为4AB AC BC AB AC =++=++∴4AB AC +=>由椭圆定义知：顶点A 的轨迹E 是焦点在x 轴上，长轴长为4的椭圆， 其中24a =，2c =2a =，c =1b =,故所求ABC ∆顶点A 的轨迹E 的方程为：2214x y +=（0y ≠）； （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(0,)P m由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立化简得：2258440x mx m ++-= ∴1285m x x +=-，212445m x x -⋅=.又∵3MP PN =∴1122(,)3(,)x m y x y m --=- ∴123x x =-.与1285x x m +=-联立，解得：245x m =，1125x m =-.代入212445m x x -⋅=，解得：2517m =，∴m =.验证：当m =时，>0∆成立，符合题意.故所求m =. 【点睛】本题考查求椭圆的轨迹方程，及根与系数的关系求参数，属于中档题.。
2015-2016学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．已知复数z1=﹣i，则下列命题中错误的是（）A．z12=z2B．|z1|=|z2|C．z13﹣z23=1 D．z l、z2互为共轭复数3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．2 D．4．已知等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2是{a n+b n}为等比数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．6．平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．17．已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A．[0，] B．[，2） C．[，] D．[，+∞）8．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A．12 B．24 C．36 D．4811．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（）A．B．C．2 D．712．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．[，+∞）D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3，•=2，则•的值是．15．已知f（x）=lg﹣x，则f（x）的最小值为．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为．三、解答题（6小题，70分）17．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．20．已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．21．设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．选做题（请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．[坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[不等式选讲]24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．2015-2016学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．2．已知复数z1=﹣i，则下列命题中错误的是（）A．z12=z2B．|z1|=|z2|C．z13﹣z23=1 D．z l、z2互为共轭复数【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z1=﹣i，可得=z2，|z1|=|z2|，，=0．即可判断出．【解答】解：∵复数z1=﹣i，∴=z2，|z1|=|z2|，，因此A，B，D正确．对于C： =0．故选：C．3．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．据此即可计算出其体积．【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．∴V P﹣ABC===4．故选B．4．已知等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2是{a n+b n}为等比数列的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出．【解答】解：等比数列{a n}，{b n}的公比分别为q1，q2，则q1=q2=q⇒==q，因此{a n+b n}为等比数列；反之也成立，设{a n+b n}是公比为q等比数列，则a n+b n=，+=，对于∀n∈N*恒成立，∴q1=q2=q．∴q1=q2是{a n+b n}为等比数列的充要条件．故选：C．5．执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；…判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=．算法结束．故选B．6．平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A．±6或±1 B．6或1 C．6 D．1【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan（α+45°），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用α和α+45°是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可．【解答】解：由题意得tanα=，tan（α+45°）==而tan（α+45°）===，化简得：t2+5t﹣6=0即（t﹣1）（t+6）=0，解得t=1，t=﹣6因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，所以t=﹣6舍去则t的值为1故选D7．已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A．[0，] B．[，2） C．[，] D．[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化z==1+，由其几何意义（动点与定点连线的斜率）得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0）．z==，的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，1）连线的斜率，∵．∴z的取值范围为[，+∞）．故选：D．8．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣6y+3=0相切⇔圆心（0，3）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣6y+3=0化为x2+（y﹣3）2=6．圆心（0，3），半径r=．∵渐近线与圆x2+y2﹣6y+3=0相切，∴=化为a2=2b2．∴该双曲线的离心率e====．故选：C．10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．【解答】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．11．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（）A．B．C．2 D．7【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】由题意，=c••=c2=2，进而可得a2+b2=14≥2ab，即可求出四面体体积的最大值．【解答】解：由题意，=c••=c2=2，∵a2+b2+c2=16，∴a2+b2=14≥2ab，∴ab≤7，∴=≤，∴四面体体积的最大值为，故选：A．12．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则a的取值范围为（）A．B．C．[，+∞）D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，∵曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，∴a=，记，则，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．∴当x=2时，．∴a的范围是[）．故选：C．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【考点】定积分的简单应用；几何概型．【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3，•=2，则•的值是22 ．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】由=3，可得=+， =﹣，进而由AB=8，AD=5， =3，•=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+， =﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．15．已知f（x）=lg﹣x，则f（x）的最小值为lg2 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简f（x）=lg﹣x=lg=lg（10x+10﹣x），从而利用基本不等式求最值．【解答】解：f（x）=lg﹣x=lg=lg（10x+10﹣x）≥lg2，（当且仅当x=0时，等号成立）；故答案为：lg2．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470 ．【考点】数列的求和．【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解：∵a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…= [1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+]= [（12﹣32）+（42﹣62）+…++（22﹣32）+（52﹣62）+…+]= [﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]= [﹣2×]=470故答案为：470三、解答题（6小题，70分）17．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．【考点】三角函数恒等式的证明．【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDco sC，所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，则：cosA===．于是sinA==，连结AC，同理可得：cosB===，于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．由题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．所以，随机变量X的分布列为：X 90 45 30 ﹣15P．…（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以 n=4，或n=5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知得平面QBC∥平面A1AD，从而QC∥A1D，由此能证明Q为BB1的中点．（2）法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．（3）法二：以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】（1）证明：∵BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ=B，AD∩AA1=A，∴平面QBC∥平面A1AD，∴平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D．∴△QBC与△A1AD的对应边相互平行，∴△QBC∽△A1AD，∴，∴Q为BB1的中点．（2）解法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E．又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A，所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E．所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．因为BC∥AD，AD=2BC，所以S△ADC=2S△BCA．又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以S△ADC=4，AE=4．于是tan∠AEA1==1，∠AEA1=．故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．（3）解法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．因为S四边形ABCD=•2sin60°=6，所以a=．从而可得C（1，，0），A1（，0，4），所以DC=（1，，0），=（，0，4）．设平面A1DC的法向量=（x，y，1），由，得，所以=（﹣，，1）．又因为平面ABCD的法向量=（0，0，1），所以cos＜，＞==，故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．20．已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．21．设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依题设得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值．因为f′（x）=lnx+﹣1，记g（x）=ln x+﹣1，则g′（x）=．①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函数，所以x=1不是函数f （x）极值点．（3）当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f （1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．选做题（请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，所以，所以BC=2．[坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…[不等式选讲]24．函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．【考点】不等式的证明；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；（Ⅱ）由A、B求出B∩C R A，即得a、b的取值范围，由此证明成立即可．【解答】解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f（x）的定义域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．（Ⅱ）∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A=（﹣4，1），∴B∩C R A=（﹣1，1）；又∵，而；当a，b∈（﹣1，1）时，（b2﹣4）（4﹣a2）＜0；∴4（a+b）2＜（4+ab）2，即．。
2019-2020学年河南省驻马店市平舆县第一高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的定义为，且函数的图像关于直线对称，当时，，若，则的大小关系是(A)(B) (C) (D)参考答案：B2. 已知集合，，则（）A．(3,4) B．(－∞,－1) C．(－∞,4) D．(3,4)∪(－∞,－1)参考答案：D3. 下列命题的否定为假命题的是A． B．任意一个四边形的四个顶点共圆 C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．参考答案：4. 设(e是自然对数的底数），则( )A. B.C. D.参考答案：D5.A．9 B．8 C．4 D．2参考答案：A6. 已知抛物线C：的焦点为F，过F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线C于A、B 两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的方程为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设直线的方程为，联立方程组，求得，再根据弦的中点到抛物线的准线的距离为5，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线方程，可得，设直线的方程为，点，线段的中点，由，得，则，又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为5，所以，即，解得,即，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中设出直线方程，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和题设条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（▲ ）。
A．B．C．D．参考答案：B略8. 下列说法错误的是（）A．若命题“”与命题“或”都是真命题,那么命题一定是真命题B．命题“若,则”的否命题是:“若,则”C．若命题,则D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：D略9. 某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为(A)6 (B)7(C)8 (D)9参考答案：D略10. 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．（用区间表示）参考答案：[1，+∞）【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由二次根式的定义可知log3x≥0，结合对数函数的性质可推导出函数的定义域．【解答】解：由题设条件知log3x≥0解得x≥1．∴函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查对数函数的特点，解题时要注意等于0的情况，属于基础题．12. 三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，则它的体积是-------------。
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >2．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．103．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．494．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1545．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．5006．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ） A ．13B ．23C ．12D ．227．如图，2AB=是圆O的一条直径，,C D为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD⋅+=（）A．52B．4C．2D．138．在ABC∆中，60BAC∠=︒，3AB=，4AC=，点M满足2B MM C=，则AB AM⋅等于（）A．10 B．9 C．8 D．79．已知双曲线2222:1x yCa b-=（0a>，0b>），以点P（,0b）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若90MPN∠=︒，则C的离心率为（）A2B3C5D710．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛⎝的展开式中2x 项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．12011．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A．12πB．3πC．6πD．9π12．已知ABC∆中内角,,A B C所对应的边依次为,,a b c，若2=1,7,3a b c Cπ+==，则ABC∆的面积为（）A33B3C．33D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省驻马店市正阳县第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 右图的程序框图所描述的算法称为欧几里德辗转相除法．若输入，则输出的的值为（）A．0 B．11 C．22 D．88参考答案：B考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.2. i是虚数单位，复数z=，则复数z的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步得到得答案．【解答】解：∵z==，∴．∴复数z的共轭复数表示的点的坐标为（﹣3，4），在第二象限．故选：B．3. 命题：“若，则”的逆否命题是( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，或，则参考答案：D4. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）参考答案：D略5. 如图所示，用4种不同颜色对图中的5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为（） A．72种 B．96种 C．108种 D．120种参考答案：B6. 将函数的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的最小值为A. B. C.D.参考答案：A7. 已知数列满足：点都在曲线的图象上，则A．9 B10 C20 D30参考答案：B略8. 将函数y＝3sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象的解析式是()A．y＝3sin(2x＋)－1 B．y＝3sin(2x＋)＋1C．y＝3sin 2x＋1 D．y＝3sin(2x＋)－1参考答案：A9. 已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由题意得到，不妨令在第一象限内，再得到为等边三角形，求出，，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，所以，不妨令在第一象限内，又为中点，，所以，因为直线的倾斜角为，所以为等边三角形，所以，因此，在中，，由双曲线的定义可得：，所以双曲线的离心率为.故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.10. 某几何体的正视图和侧视图均如图（1）所示，则该几何体的俯视图不可能是（）参考答案：D因为图形为D时，正视图上方的矩形中间应该有一条虚线．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高BC为35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为91米, 从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为, 则这座电视发射塔的高度CD为_____▲ ___米.参考答案：169略12. 如右图，在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为．参考答案：513. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生500名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为_________．参考答案：略14. 在展开式中，项的系数是__________。
河南省驻马店市瓦岗乡中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．-1 B．0 C．1 D．2参考答案：C略2. 执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16参考答案：【知识点】循环结构．L1C 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，∵，故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出．3. 在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是(A) 3 (B)2 (C)4 (D) 5参考答案：A略4. 下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“?x∈R使得x2+x+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”参考答案：C【考点】25：四种命题间的逆否关系；2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由逆否命题的定义知A是正确的；x＞1|?x|＞0成立，但|x|＞0时，x＞1不一定成立，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否定是全称命题，故D是正确的．【解答】解：逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A是正确的；x＞1时，|x|＞0成立，但|x|＞0时，x＞1不一定成立，故x＞1是|x|＞0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否定是全称命题，故D是正确的．故选C．5. 以q为公比的等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：在等比数列中，若a1＜a3，则a1＜a1q2，∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或q＜﹣1．若q＞1，则a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．6.A. B. C.D.参考答案：C7. 已知双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）ks5u A. B. C.D.参考答案：A8. 已知集合，，则（）A. B.C. D.参考答案：B9. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（）① 能构成矩形；② 能构成不是矩形的平行四边形；③ 能构成每个面都是等边三角形的四面体；④ 能构成每个面都是直角三角形的四面体；Ks5u⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：C略10. 已知直线所过定点恰好落在曲线上，若函数有三个不同的零点，则实数的范围是 ( )（A）（B）（C）（D）参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在边长为1的正三角形ABC中，，则的值等于。
驻马店市2023-2024学年度高三年级期末统一考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1i43iz +=-，则z =A.17i 2525-+B.17i2525- C.1i 7-+ D.1i 7-2.设集合}21,A n n =-∈Z ，{}2340B x x x =--…，则A B = A.{}1,1,3- B.{}3,1,1--C.{}4,3,2,1,0,1---- D.{}1,0,1,2,3,4-3.已知函数()f x =的定义域为R ，则224a c +的最小值为A.1B.2C.4D.54.如图，这是某厂生产的一批不倒肦型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为A.45B.45-C.35D.35-5.设圆1C ：224x y +=和圆2C ：()()22224x y +++=交于A ，B 两点，则四边形12C AC B 的面积为A. D.C.6B.46.已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+A.215-B.215C.79-D.797.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为D.122C.100B.92A.788.已知O 为坐标原点，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若3AF BF =，则OA =A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000米跑测试，测试结果表明所有男生的成绩X （单位：分）近似服从正态分布()275,N σ，()600.1P X <=，()700.3P X <=，则下列说法正确的是A.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在(]80,90内的概率为0.2B.若从高三男生中随机挑选1人，则他的成绩在[]70,80内的概率为0.4C.若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.25D.σ越大，()75P X …的值越小10.将函数()sin2f x x =的图象向右平移712π个单位长度，再将所得的图象关于x 轴对称，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是A.()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3g x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D.()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11.已知函数()()[)6ln ,0,6,e 1,6,,x x xf x x -⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩存在()3n n …个不同的正数i x ，{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ==⋅⋅⋅=，则下列说法正确的是A.n 的最大值为5B.n 的最大值为4C.()11f x x 的最大值为eD.()11f x x 的最大值为1e12.在三棱锥A BCD -中，4AD BC ==，6AB BD DC CA ====，M 为BC 的中点，N 为BD 上一点，球O 为三棱锥A BCD -的外接球，则下列说法正确的是A.球O 的表面积为11πB.点A 到平面BCDC.若MN AB ⊥，则6DN NB=D.过点M 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知正项等比数列{}n a 的前3项和为26，且数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前3项和为1318，则2a =______.14.若函数()22,0,4,0x m x f x x x x ⎧+>=⎨+⎩…有最小值，则m 的取值范围是______.15.已知ABC △是边长为3的等边三角形，D 为CB 上一点，O 为ABC △的中心，E 为ABC △内一点（包括边界），且23AD AB mAC =+ ，则AD OE ⋅ 的最大值为______.16.探究函数1y x x =+的图象和性质时发现它的图象实际上是双曲线，将函数1y x x=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点在x 轴上的双曲线C ，()00,P x y 是双曲线C 上一点，则))220011x y --+=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos 2cos a B b A c C +=，4ab =.（1）求ABC △的面积；（2）求AB 边上的高的最大值.18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且满足()111nn n a a +-=+-.（1）令21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；（2）求30S .19.（12分）如图，在斜三棱柱ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面ACFD ，AB BC ⊥，四边形ACFD 是边长为2的菱形，3DAC π∠=，1BC =，M ，N 分别为AC ，DE 的中点.（1）证明：BC MN ⊥.（2）求直线MN 与平面BCD 所成角的正弦值.20.（12分）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷n 次，落于水平的桌面，记n 次底面的数字之和为n X .（1）当2n =时，记Y 为2X 被3整除的余数，求Y 的分布列与期望；（2）求n X 能被3整除的概率n P .21.（12分）动点(),M x y 到定点()11,0F -的距离和它到直线4x =-的距离的比是常数12，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过点1F 作不与坐标轴垂直的直线l 交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，若()11111149F A F B F Q F A F B =+，求l 的方程.22.（12分）已知函数()ln f x ax x =-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，21x x >，证明：82312e x x >.驻马店市2023-2024学年度高三年级期末统一考试数学参考答案1.B ()()()()1i 43i 1i 17i 17i 43i 43i 43i 252525z ++++====+--+，则17i 2525z =-.2.A 依题得{}{}234014B x x x x x =--=-………，则{}1,1,3A B =- .3.C 由题可知0a >，且440ac -…，即1ac …，所以22444a c ac +……，当且仅当a=c =号成立，则224a c +的最小值为4.4.C 几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，则球的半径也为r .因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以23114323r h r ππ=⨯，得2h r=.故l ==.设圆锥的轴截面的顶角为α，则2263cos 105r r α===.5.B 由题意可知()10,0C ，()22,2C --，直线AB 的方程为20x y ++=，易知四边形12C AC B 为菱形，所以1C 线直到AB 离的距d ==，以所AB ==故121242C AC B S d AB =⋅⋅==四边形.6.A sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.7.C 若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有2232224122224C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.8.D 不妨设点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ，所以2cos AF AFθ-=，则21cos AF θ=-，同理可得21cos BF θ=+.因为3AF BF =，所以1cos 2θ=，即3πθ=，23AFO π∠=，所以241cos AF θ==-.在AFO △中，OA ==9.ABC ()()()()8090607070600.2P X P X P X P X <=<=<-<=……，()()708012700.4P X P X =-<=……，故A ，B 正确.无论σ为何值，()750.5P X =…，若从高三男生中随机挑选2人，则他们的成绩都不低于75的概率为0.50.50.25⨯=，故C 正确，D 错误.10.BCD 由题得，()7sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=，则266x ππ-=，162g π⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 错误；当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()1sin 2,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 正确；sin 2cos232g x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 正确；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确.11.BD()f x x的几何意义为过点()(),x f x ，()0,0的直线的斜率.易知直线y kx =与()()[)6ln ,0,6,e 1,6,x x xf x x -⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象最多只有4个交点，故n 的最大值为4.当直线y kx =与曲线ln y x =相切时，()11f x x 取得最大值，设切点为()00,ln A x x ，则该直线的斜率为00ln x k x =，又01k x =，所以000ln 1x x x =，解得0e x =，得()e,1A ，所以()1010maxln 1e f x x x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.12.BCD 由4AD BC ==，6AB BD DC CA ====，可将三棱锥A BCD -补形成如图所示的长方体，则AE=EB BF==，所以球O=，所以球O的表面积为44π，故A错误.易知BC⊥平面AMD，过点A作MD的垂线，交MD于H，故AH为点A到平面BCD的距离.在AMD△中，AM MD==4AD=，解得AH=，故B正确.以E为原点，EB，EC，EA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则((0,0,,,,A D，()B，)M，(AB=-，(0,BD=.设()0,,BN BDλ==，所以)())0,,MN MB BN=+=+=.因为MN AB⊥，所以MN AB⋅=-=，解得17λ=，所以6DN NB=，故C正确.当且仅当OM与截面垂直时，截面面积最小，最小的半径为2，故D正确.13.6 由题可知12326a a a++=，13123222212313222111261318a a a a aaa a a a a a a a+++++=+===，则2236a=，解得26a=.14.[)5,-+∞函数2xy m=+在()0,+∞上的值域为()1,m++∞，24y x x=+在(],0-∞上的值域为[)4,-+∞，则14m+-…，即5m-…，所以m的取值范围是[)5,-+∞.15.3 因为B，D，C三点共线，所以213m+=，解得13m=，即D为CB上靠近点B的三等分点.利用向量的投影定义，可知当E位于点B时，AD OE⋅取得最大值，最大值为2122333333AD OB AB AC OB AB OB⎛⎫⋅=+⋅=⋅=⨯=⎪⎝⎭.16.2 设双曲线C的方程为()222210,0x ya bab-=>>，函数1y xx=+的两条渐近线方程为y x=和0x=，为角夹其4π故，22tan 8tan141tan 8πππ==-，解得tan18π=，则1ba=-，且3tan 18π==+，所以y x =和0x =的角平分线的方程为)1y x =+.联立)1,1,y x y x x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得2x =所以)(2222222142a x y x x x =+=+=+=+，)22212b a =-=，所以双曲线C1=，故))2200112x y --+=.17.解：（1）由cos cos 2cos a B b A c C +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，则1cos 2C =，即3C π=，所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==.（2）由余弦定理可知222222cos 4c a b ab C a b =+-=+-.因为222a b ab +…，所以2c …，当且仅当a b =时，等号成立.设h 为AB 边上的高，所以12S hc =，即2S h c=…，所以AB.18.（1）由题可知221n n a a -=，2122n n a a +=+所以21212n n a a +-=+，即12n n b b +=+，所以数列{}n b 是等差数列，则()12121n b n n =+-=-（2）()301232930135292S a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()1231515142215124502b b b b ⨯⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭19.（1）证明：如图，连接DM .因为四边形ACFD 是边长为2的菱形，3DAC π∠=，所以ADC △为等边三角形，则DM AC ⊥.又平面ABC ⊥平面ACFD ，平面ABC 平面ACFD AC =，所以DM ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以DM BC ⊥.因为AB DE ∥，AB BC ⊥，所以DE BC ⊥.因为DM DE D = ，所以BC ⊥平面NMD .又MN ⊂平面NMD ，所以BC MN ⊥.（2）解：如图，过B 作DM 的平行线为z 轴，结合（1）知z 轴，BA ，BC 两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()1,0,0C，12M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12D ⎛ ⎝，()A ，则12BD ⎛= ⎝ ，()1,0,0BC =，()BA = .设平面BCD 的法向量为(),,n x y =，则0,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,20,x y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩取2y =，得1z =-，则()0,2,1n =-.因为N 为DE的中点，所以110,22DN ED BA ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ .又(0,0,DM = .所以0,MN DN DM ⎛=-= ⎝ .则4cos ,5MN n MN n MN n⋅===-.设直线MN 与平面BCD 所成的角为θ，则4sin cos ,5MN n θ==，即直线MN 与平面BCD 所成角的正弦值为45.20.解：（1）由题可知，Y 的取值可能为0，1，2.()11111022222P Y ==⨯+⨯=，()1111224P Y ==⨯=，()1112224P Y ==⨯=，则Y 的分布列为Y 012P12141411130122444EY =⨯+⨯+⨯=.（2）由题可知10P =，当2n …时，1n -次底面的数字之和能被3整除的概率为1n P -，所以()1112n n P P -=-，则1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，12-为公比的等比数列，则1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，即1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.21.解：（112=，化简得223412x y +=，即22143x y +=.故曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆。
