《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析

许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。

设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。

上式中系数21是为了简化计算。

指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。

(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。

(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。

线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题如果所研究系统为线性，所取性能指标为状态变量与控制变 量的二次型函数，称这种动态系统最优化问题为线性二次型最概念优控制问题.问题的提法 设线性时变系统的状态方程为：x ( t ) = A( t ) x ( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C ( t ) x ( t )假设控制向量u(t)不受约束 ，用yr(t)表示期望输出，则误差向量为e( t ) = yr ( t ) − y( t )求最优控制u*(t) ，使下列二次型性能指标极小。

1 T 1 tf e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e T ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0 F —半正定 q × q常数矩阵 , Q ( t ) —半正定 q × q时变矩阵 J ( u) =R ( t ) —正定 p × p时变矩阵 t 0 及 t f 固定NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITYNWPU线性二次型最优控制问题2. 线性二次型最优控制问题各项指标物理意义1 T 1 tf T J ( u) = e ( t f )Fe ( t f ) + ∫ [e ( t )Q( t )e( t ) + u( t )T R( t )u( t )]dt 2 2 t0(1) 第一积分过程项 0.5∫ttf0[e T ( t )Q ( t )e( t )]dt 是对动态跟踪误差加权平方和的积分要求，是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量. t (2) 第二积分过程项 0.5∫t [u( t )T R( t )u( t )]dt 表示系统在控制过程中对系统加权f 0后的控制能量消耗的总度量. (3) 末值项 0.5eT (t f )Fe( t f ) 表示末态跟踪误差向量与希望的零向量之间的距 离加权平方和. 整个性能指标物理意义： 使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统 终端跟踪误差综合最优。

二次型最优控制问题标题：二次型最优控制问题在控制理论中，二次型最优控制问题是一个经典的研究领域。

它涉及到在最小化特定成本函数的同时，通过合适的控制策略来实现系统的最优性能。

本文将介绍二次型最优控制问题的基本概念、数学模型和解决方法。

首先，二次型最优控制问题的核心在于寻找一个最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最小化。

这个性能指标通常由一个二次型成本函数来表示，其中包含了系统状态和控制输入之间的关系。

通过对该成本函数进行最小化，可以获得最优的控制策略。

其次，针对不同的系统，可以建立相应的数学模型来描述二次型最优控制问题。

这些模型通常采用微分方程或差分方程的形式，用于描述系统状态的动态演化规律。

在建立模型的过程中，需要考虑系统的物理特性以及所需达到的控制目标。

解决二次型最优控制问题的方法有多种，其中最常用的是最优控制理论中的动态规划方法。

动态规划方法基于贝尔曼方程，通过将问题分解为一系列子问题来求解最优控制策略。

此外，还有其他方法如最优化理论、线性二次调节器和广义预测控制等可以用于处理二次型最优控制问题。

需要注意的是，在实际应用中，二次型最优控制问题可能面临一些挑战和限制。

例如，系统模型可能存在不确定性，或者控制器的设计需要考虑到实时性和鲁棒性等因素。

因此，在解决问题时需要综合考虑这些因素，并根据具体情况选择合适的方法。

总结起来，二次型最优控制问题是一个重要的研究领域，它涉及到在最小化成本函数的同时实现系统最优性能的控制策略。

在解决该问题时，需要清晰的思路，流畅的表达，并避免包含任何会对阅读体验产生负面影响的元素。

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线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。

线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。

本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。

首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。

实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。

线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。

其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。

实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。

基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。

此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。

最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。

在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。

只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。

总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。

本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。

一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。

特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。

优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。

但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。

组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。

二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。

锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。

示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。

关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。