数学：山东诸城一中2010-2011学年下学期高二周末练习(新人教版)

2010-2011学年高二年级第二学期期末考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚;3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效;4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()(1)(k 0,1,2,,n)k k n k n n p k P k C P P ξ-∴===-= 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}15,B x x x R =<<∈。

若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是 （ ） A. {06}a a ≤≤ B. {24}a a a ≤≥或 C. {06}a a a ≤≥或 D. {24}a a ≤≤2.函数f （x ）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[)(]1,00,1-⋃,则不等式f （x ）－ f （-x ）>－1的解集是 （ ） A. {110}x x x -≤≤≠且 B. {10}x x -≤< C. 1{101}2x x x -≤<<≤或D. 1{101}2x x x -≤<-<≤或 3.10(1)x -的展开式的第6项的系数是 （ ）A. 610CB. -610CC. 510CD. -510C4.函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，①图象C 关于直线1112x π=对称；②函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35．已知满足约束条件 5003x y x y x -+≥+≥≤ ，则2z x y =+的最小值是( )A ．2．5B ．-3C ．5D ．-56. 现有高一年级的学生2名，高二年级的学生4名，高三年级的学生3名，从中任选一人参见接待外宾的活动和从3个年级各选一人参见接待外宾的活动分别多少种不同选法（ ）A. 9，24B. 24，84C.24，504D.9， 847.设5,11213x y x y R i i i∈-=---且，求x ，y （ ） A. x=-1，y=-5 B. x=5，y=10 C. x=-1，y=5 D. x=-5，y=-10 8.已知2~(0,6),N ξξ≤≤且P(-20)=0.4，则2ξ>P()=_________ ( )A.0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.89.下表是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：有散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 0.7y x a ∧=-+，则a=________ ( )A. 10.5B. 5.15C. 5.2D. 5.2510．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ，作向量a =(m,n)．则向量a 与向量b =(1,-1)的夹角成为直角三角形内角的概率是（ ）A ．712 B ．512 C ．12 D 34. 11.已知函数21()1f x a x =+-，则曲线()f x在点P f 处的切线方程为( )(A)50y a +--=(B)50y a ---=(C)250x y a +--=50y a +--=12.已知等差数列{n a }的前项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S 为( )(A)15 (B)20 (C)25 (D)30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2010-2011学年度高二下学期期中考试数学试卷（理）一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若复数Z=i1-i，则=|z |( )A 12B 2 2C 1D 22．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（ ） A ．假设三个内角都不大于60° B ．假设三个内角至多有两个大于60° C ．假设三个内角至多有一个大于60° D ．假设三个内角都大于60°3．函数)(x f y =在定义域[3,23-]内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为（ ）A ．]38,34[]21,1[ -B ． ]3,2[]1,31[ -C ．]2,1[]21,23[ -D ．]3,38[]34,21[]1,23[ --4．定积分22|1|x dx -+⎰的值为（ ）A 3B 4C 5D 65．对于函数32()1f x x ax x =+-+的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程()0f x =一定有三个不等的实数根。

这四种说法中，正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．设函数321()252f x x x x =--+，若对于任意x ∈[－1，2]都有()f x m <成立，则实数m 的取值范围为为( )A. ()7+∞，B. ()+∞8，C. [7,)+∞D. ()+∞9，. 7．如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A －5 B 0 C 5 D 108．若423401234(23)x a ax axa x a x=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A. 1- B ．0 C ．1 D ．29. 从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有两只成1双的取法种数为（ ）A ．60B ．120C ．240D ．28010.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A ．18B ．24C ．30D ．36二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是12.已知随机变量X 服从正态分布2(0)N σ，，且(20)P X -≤≤0.4=，则(2)P X >= _____13.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =__14.函数21(01)y x x =+≤≤图象上点P 处的切线与直线0,0,1y x x ===围成的梯形面积 等于S ，则S 的最大值等于 15.在ABC Rt ∆中，若,,,900a BCb AC C ===∠则三角形ABC 的外接圆半径222b a r +=，把此结论类比到空间，在空间四面体P －ABC 中，若PA ．PB ．PC 两两互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，请写出类似的结论班级 姓名： 学号密封线内不要答题2010-2011学年度高二下学期期中考试数学试卷答题卷（理） 得分:__________11.____________________. 12. ____________________ 13. ____________________14. ____________________15. __________________________________________________三．计算题（本题共6小题，共75分）16．7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲不排头，也不排尾 （2）甲、乙之间有且只有两人 （3）甲、乙、丙三人两两不相邻（4）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，321-=a ，21-=+n nn a S S ),2(N n n ∈≥ （1）求234,,S S S 的值；（2）猜想n S 的表达式；并用数学归纳法加以证明18．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式中的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项.19．有一个箱子内放有3个红球、1个白球、1个黄球，现从箱子里任意取球，每次只取一个，取后不放回．（1）求前两次先后取到一个红球和一个白球的概率；（2）若取得红球则停止取球，求取球次数X 的分布列及期望．20.已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' （1）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; （2）在（1）的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积.21.已知函数)ln()(a e x f x +=（a 为常数）是R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是 区间 [1,1]-上的减函数. （1）求a 的值和λ的取值范围；（2）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；参考答案1－5 BDBCC 6－10 AACBC11、207 12、0.1 13、()1f x x =- 14、5415、此三棱锥外接球的半径是2222c b a r ++=16．（本小题满分12分，每小题3分）解：（1）甲有中间5个位置供选择，有15A ，其余有66720A =，即共有16563600A A =种；（2）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有25A ，甲、乙可以交换有22A ，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，则共有224524960A A A =种；（3）先排甲、乙、丙之外的四人，有44A ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有35A ，则共有34541440A A =种；（4）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有47A ，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即47840A = 17. （本小题满分12分）18.解：722128,8n n -==， ……3分821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项281631881()()(1)r rr r r r r T C x C x x --+=-=- ……6分 当4r =时，展开式中的系数最大，即4570T x =为展开式中的系数最大的项；……9分 当3,5r =或时，展开式中的系数最小，即72656,56T x T x =-=-为展开式中 的系数最小的项。

高二模块学分认定考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位，复数131ii--的实部是 A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-2. 已知,,a b c ∈R ，满足||||b c a <-，则下列不等式成立的是A. c b a +<B. ||||||c b a ->C. b c a -<D. ||||||c b a +<3. 设函数310()(12)f x x =-，则(1)f '等于A.0B. 60C. 1-D. 60-4. 有一批种子，每一粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为A. 140.9B. 1410.9- C. 1414150.9(10.9)C ⨯⨯- D. 1414150.9(10.9)C ⨯⨯-5.已知0>x ,由不等式........43;32;2132>+>+>+xx x x x x 可以推广为 A. n x n x n>+ B. 1+>+n xnx n C. 11+>++n xn x n D. n x n x n >++1 6. 000(2)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于A. 2B. 1C.12D. 0 7. 设随机变量)4(,)(),,2(2c P a c P N ->=>ξξσξ则若服从正态分布等于 A. aB. a -1C. a 2D. a 21-8. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则 点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ．14 B ．13 C ．12 D ．239. 某个命题与正整数有关，若当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也成立，现已知当4n =时该命题不成立，那么可推得 A. 当5n =时，该命题不成立 B. 当5n =时，该命题成立C. 当3n =时，该命题成立D. 当3n =时，该命题不成立10. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为ˆ7.1973.93yx =+，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 A. 身高一定是145.83cm B. 身高超过146.00cm C. 身高低于145.00cm D. 身高在145.83cm 左右11. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A ．6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种12. 如图，111A B C ABC -是直棱柱，90BCA ∠=，点1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点. 若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值为 A. 3010 B. 12C. 3015D. 1510第Ⅱ卷（非选择题 共90分）题号二三总分1718 19 20 21 22 得分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填写在题后横线上.21．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中,,OC OA OC OB ⊥⊥，0120AOB ∠=，且.1===OC OB OA （I ）设P 为线段AC 的中点，试在线段AB 上求一点E ，使得PE OA ⊥； （II ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值.22．（本小题满分14分）已知函数21()3(1)ln 2f x x x a x =-+-，()g x ax =，()()()3h x f x g x x =-+，其中a ∈R 且1a >. （I ）求函数()f x 的导函数()f x '的最小值；（II ）当3a =时，求函数()h x 的单调区间及极值；（III ）若对任意的1212,(0,), x x x x ∈+∞≠，函数()h x 满足1212()()1h x h x x x ->--，求实数a 的取值范围.高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题ADBCB CBCDD CA 二、填空题13. 5； 14. 过原点的平面； 15. 6； 16. (,0)-∞ 三、解答题17. 解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为0nC 、21n C 、42n C ，所以0nC +42n C =221⨯nC ，即2980n n -+=. 解得8n =. …………………………………………………………………………….4分 （I ）第四项()325333483172T Cx x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；…………………………………….7分23735101(3)12C C P C ξ===. ……………………………………………….6分ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P112 512 512 112155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………9分 （II ）记“张强被选中”为事件A ，“李莉也被选中”为事件B ，则2536101()202C P A C ===，14361()5C P BA C ==，所以()2()()5P BA P B A P A ==.（亦可直接得142542()105C P B A C ===）……………12分21. 解：在平面内AOB 过点O 作OF OA ⊥交AB 于点F .以O 为坐标原点，分别以OA 、OF 、OC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（如图）. ………………………………………………………………………1分 则(1,0,0)A 、(0,0,1)C 、13(,,0)22B -、11(,0,)22P . ……………………….…..3分 （I ）设(01)AE AB λλ=<<，因为33(,,0)22AB =-， 所以3333(1,0,0)(,,0)(1,,0)2222OE OA AE λλλ=+=+-=-， 1331(,,)2222PE OE OP λλ=-=--. 因为PE OA ⊥，所以0PE OA ⋅=. 即13022λ-=，解得13λ=. 故所求点为E 13(,,0)26. 即点E 为线段AB 的三等分点（靠近点A ）. ………………………………………7分 （II ）设平面ABC 的法向量为1(,,)x y z =n ，(1,0,1)CA =-.由11CA AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得033022x z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.。

2010—2011学年度第一学期期中考试高二数学（理科） 2011.4试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在题后括号内.） １.向量)6,3(=对应的复数是 （ ）A .i 63+B .i 36+C .i 33+D .i 66+ ２.满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆３.菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是 （ ） Ａ．大前提 Ｂ．小前提Ｃ．推理形式D ．大小前提及推理形式４.若质点M 按规律t t s 23-=运动，则3=t 秒时的瞬时速度为 （ ）A .7B .11C .25D .29５.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()2(≥'-x f x ，则必有 （ ）A )2(2)3()1(f f f <+B )2(2)3()1(f f f ≥+C )2(2)3()1(f f f ≤+D )2(2)3()1(f f f >+6．曲线6sin 2+=x y 在4π=x 处的切线的倾斜角是 （ ）A .4πB .4π-C .43πD .43π-7．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为 （ ）Ａ. 72 Ｂ．36 Ｃ．12 D ．08．函数216x xy +=的极大值为 （ ） A .2B .3C .4D .59．曲线x y 4=和x x y 232-=所围成图形的面积 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是 （ ） A .2-，2 B . 1-，4 C .1，1- D . 2，4 11．已知整数按如下规律排成一列：)1,1(、)2,1(、)1,2(、)3,1(、)2,2(、)1,3(、)4,1(、)3,2(、)2,3(、)1,4(、……则第60个数对是 （ ） Ａ．)1,10( Ｂ．)10,2( Ｃ．)7,5( Ｄ．)5,7(12．设函数xx x f )21(log )(21-=，xx x f 21(log )(212-=的零点分别为21,x x ，则（ ）Ａ．1021<<x x Ｂ．121=x x Ｃ．2121<<x x Ｄ．221≥x x第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）13．设C z ∈，且i z i 34)21(+=+（i 为虚数单位），则_______=z ，=||z . 14. 用反证法证明命题“如果b a >，那么33b a >” 时，应假设 . 15.函数x x y ln -=的单调减区间为 .16.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 17.若三角形内切圆半径是r ，三边长为,,,c b a 则有三角形面积r c b a S )(21++=.根据类比思想，若四面体内切球半径是R ，四面体四个面的面积是,,,,4321S S S S 则四面体的体积=V .18．已知函数cx bx x x f ++=23)(的图象如图所示，则=+2221x x .三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. 证明：（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a .证明：21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为 矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成 正比（强度系数为k ，0 k ）．要将直径为d 的圆木锯 成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？ 解：dx横梁断面图已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值. 解：已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=.（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式. 解：2010—2011学年度第二学期期中考试参考答案 高二数学（理科） 2011.4一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13.i +2，5 14.33b a ≤ 15.)1,0( 16.221e17.)(314221S S S S R V +++= 18．38三、解答题（本大题共6小题，共60分．）19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数； （Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）)1(2)1(3)2(2i i m i z --+-+=i m m m m )23()232(22+-+--=. …………………………………1分①当0232=+-m m 时，即1=m 或2=m 时，复数z 为实数. …………2分②当0232≠+-m m 时，即1≠m 且2≠m 时，复数z 为虚数. …………3分③当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数. …………………………………………5分 （Ⅱ）若复数z 所对应的点在第二象限，则⎪⎩⎪⎨⎧>+-<--023023222m m m m . …………7分解得⎪⎩⎪⎨⎧><<<-21221m m m 或，所以121<<-m .所以， m 的取值范围)1,21(-. …9分20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++ 证明：因为0,222>≥+a bc c b ， …………………………………………1分 所以abc c b a 2)(22≥+. …………………………………………2分同理abc c a b 2)(22≥+.abc b a c 2)(22≥+. …………………………………………………3分所以abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. ……………………4分（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a证明：要证321---<--a a a a ，只需证明213-+-<-+a a a a ， ……………………5分两边平方得212323232-⋅-+-<-⋅+-a a a a a a ，……6分 只需证明213-⋅-<-⋅a a a a ， …………………………7分两边平方得23322+-<-a a a a ，…………………………………8分 即20<，所以原不等式成立 ……………………………………9分 21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明解：（Ⅰ）因为n n a a -=+211， 所以a a -=212， a a a 2323--=，aa a 34234--=， ………………3分 （Ⅱ）猜想：an n a n n a n )1()2()1(-----=. ……………………………5分 证明：①当1=n 时， a a =1显然成立.， ………………………………6分②假设k n =时，a k k a k k a k )1()2()1(-----=，……………………………7分 当1+=k n 时，ak k a k k a a k k )1()2()1(21211------=-=+ ])2()1[(])1([2)1(a k k a k k a k k --------= kak a k k -+--=)1()1(.…………8分 故当1+=k n 时，结论成立.由①、②可知，对N n ∈，都有a n n a n n a n )1()2()1(-----=成立. . …………19分 22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0>k ）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？解：设断面高为h ，则222x d h -=．横梁的强度函数2)(xh k x f ⋅=， d x 横梁断面图所以)()(22x d x k x f -⋅= ，d x <<0． ……………………………3分 所以)3()(22x d k x f -⋅='．令0)(='x f 解得d x 33±=（舍负）． ……5分 当d x 330<<时，0)(>'x f ；当d x d <<33时，0)(<'x f ． ……6分 因此，函数)(x f 在定义域),0(d 内只有一个极大值点d x 33=．………………7分 所以)(x f 在d x 33=处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………8分 即当断面的宽为d 33时，横梁的强度最大． ……………………9分 23．（本题10分）已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值．解：(Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +=' ……………………………………………………1分 ①当0=a 时，令)(x f '=0, 得0=x ．若0>x 则0)(>'x f ,从而)(x f 在),0(+∞上单调递增；若0<x 则0)(<'x f ,从而)(x f 在)0,(-∞上单调递减． ………………3分 ②当0>a 时,令0)(='x f ,得0)2(=+ax x ,故0=x 或a x 2-=． ………4分 若a x 2-<,则0)(>'x f ，从而)(x f 在)2,(a --∞上单调递增； ………5分 若,02<<-x a 则0)(<'x f ，.从而)(x f 在)0,2(a -)上单调递减；……6分若0>x ， 则0)(>'x f ，从而)(x f ),0(+∞上单调递增． ……………7分 (Ⅱ)①当0=a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是1)1(=-f . …………8分 ②当20<<a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是a e f -=-)1(.………9分 ③当2≥a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是224)2(e a a f =-．………10分 24．（本题14分）已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=．（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式.解：（Ⅰ）∵函数)(x f 过点)2,1(-，∴2)1(=-+-=-c b a f ， ①……………1分又c bx ax x f ++='23)(2，函数)(x f 点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ， ∴⎩⎨⎧='-=0)1(2)1(f f ，即⎩⎨⎧=++-=++0232c b a c b a ， ②……………3分 由①和②解得3,0,1-===c b a ，故 x x x f 3)(3-=． ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，解得1±=x ， ……………5分 ∵2)2(,2)1(,2)1(,18)3(=-==--=-f f f f ， …………………………6分 ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-， …………………………7分 ∴对]2,3[,21-∈∀x x ，都有20|)()(|21≤-x f x f ，∴20≥t ，从而t 的最小值为20． ………………………………………8分（Ⅲ）∵c bx ax x f ++='23)(2，则 ⎪⎩⎪⎨⎧++='+-=-'='c b a f c b a f c f 23)1(23)1()0(，可得)0(2)1()1(6f f f a '-'+-'=．……………10分 ∵当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，∴1|)1(|≤-'f ，1|)0(|≤'f ，1|)1(|≤'f ． ∴4|)0(|2|)1(||)1(||)0(2)1()1(|||6≤'+'+-'≤'-'+-'=f f f f f f a ． ∴32≤a ，故a 的最大值为32． …………………………………………………12分 当32=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+-=-'=='1|22||)1(|1|22||)1(|1|||)0(|c b f c b f c f ，解得1,0-==c b ．∴a 取得最大值时x x x f -=332)(． …………………………………………14分。