研究生矩阵论期末试题

武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。

二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。

三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。

四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。

证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。

五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。

六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。

中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟 考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

【二】（15分） 已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。

【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。

【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。

【五】（10分） 已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞； （2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。

【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解； （2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。

【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。

参 考 答 案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。

西安邮电大学研究生课程考试试题
第1页 共3页 西安邮电大学研究生课程考试试题
（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵 ，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。

矩阵论研究生复习题矩阵理论及应用证明题复习题正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，证明：（1）1H n H x Axx xλλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。

证明：(1)存在正定矩阵S 使得2A S =；（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2HH H Y AXX AX Y AY≤，并且，等号成立当且仅当,X Y 线性相关。

3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。

4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）Hnn AG a ββ??=是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）Hnn AG a ββ=正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：246A A I -+是正定Hermite 矩阵6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵范数1.设?为n nC ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：mm A λ≤（m 为正整数）2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：11A λ-≥3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()11A Aρ-≥4.A 是n 阶复矩阵，证明221AA A∞≤5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。

证明：FFAUAV=，22A UAV =。

6.设()ijn nA a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij aA ρ≤.7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且()11111I A A A-≤-≤+-.矩阵分解1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??∑=>== ?I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得H A T T =3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rankA B ran kA rankB +≤+.4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩阵的乘积7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m rr m rr F C G C ??∈∈，使得A FG =.8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.。

矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。

期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。

本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。

1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。

答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。

行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。

矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。

(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。

答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。

对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。

(4) 请简述特征值和特征向量的定义。

答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。

特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。

(5) 请解释矩阵的秩和行列式。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。

(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。

答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。

幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。

(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。

答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。

奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

(8) 请解释矩阵的迹和范数。

答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。

范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。

(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。

答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。

块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。

(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。

解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。

3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。

4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。

5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。

7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。

9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。

10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。

二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。

（R ）2、两个子空间的并集是一个子空间。

（F ）3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。

（F ）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。

（R ）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。

（F ）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。

（F ）7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。

（F ）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。

（F ）9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。

（R ）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。

（R ）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A 为 A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数初等变换 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 R(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42 N(A)的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12 N(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

硕士研究生考试试卷 2014— 2015学年第一学期 考试科目: 矩阵论 考试时间：120分钟 出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：姓名、学号必须写在指定位置 1 填空题 （18分） （1）123654789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A = m A ∞= 1AX = AX ∞= （2）1821A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，幂级数06k k k k z ∞=∑的收敛半径是 ， 矩阵幂级数06k k k k A ∞=∑是 （收敛、发散），理由 （3）1210A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A B ⊗的全部特征值是（4）123b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是给定的向量，123X ξξξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是向量变量，且112233()f X b b b ξξξ=++，则dfdX =专业：姓名：学号：2 设110430102A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（16分）（1）求A的Jordan标准形J （2）求变换矩阵P，使1P AP J-=3 设221022212A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A的QR分解（12分）4 设101102221453A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（16分）（1）求A的满秩分解（2）求A的More-Penrose逆A+5设20312102810A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（14分）（1）写出A的行盖尔圆，并在复平面上画图表示（2）隔离A的特征值（3）利用实矩阵特征值性质，改进得到的结果6 设()m nij m n A a C ⨯⨯=∈，规定,ijG i j A a = （12分）（1） 证明G ⋅是m n C ⨯上的一种范数（2） 证明矩阵范数与向量2-范数相容7 求解微分方程初值问题 （12分）11221221431dx x x dt dx x x dt ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，12(0)1,(0)2x x ==。

一、填空
1、矩阵的LDU 分解，很简单
2、已知2A A =，求A I e
+α
3、求非零奇异值
二、 三、证明2
22||||||||||||F A A A +=为矩阵范数，且与|| 2||相容。

四、线性子空间的证明题，和08年基本相同，有小的变化，但只要把线性空间的基本概念和计算掌握就行了
五、计算题：
（1）求Hermite 标准型，FG ，A +
（2）Ax = b,求x
以下内容不在期末考试范围内：
第一章：矩阵相似于Jordan标准型的计算；
第二章：近似逆矩阵的误差-----逆矩阵的摄动；
第三章： 3.5节矩阵函数的一些应用；
第四章：§4.2中的“三、矩阵与Hessenberg 矩阵的正交相似问题”
第五章：§5.1中从定理5.11（Ostrongski theorem 1）起至本节末的内容；§5.3中“二、广义特征值的极大极小原理”的所有内容；
第六章：§6.2中“三、Moore-Penrose逆的等价定义”，§6.3中“三、四、五、六和七”
的内容；从§6.5到本章末。

可编辑修改精选全文完整版北京邮电大学2015——2016学年第一学期《矩阵论》期末考试试题评分参考标准一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10] 。

y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12] 。

（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。

解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12]=[1101]。

（5分） （2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12]−1A =[101100−100−99]。

（5分）二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[e1e 1e 1e ] 。

解：ln A =[11/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1]。

（10分）三、（15分） 设 x =[512] 。

（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ； （2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11] 。

解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。

（7分） （2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。

（8分）四、（10分）设 A =[−1−600−630000 00344−3] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。

解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。

（10分）五、（10分）设矩阵A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s0t ]。