浙江省严州中学2014-2015学年高二4月阶段性测试数学(理)试题 Word版含答案

一．听力（共20小题，每小题1分，共20分）第一节：听下面5段对话，每段对话后有一道小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What does the woman promise to do?A.Rest for two weeksB. Go on vacation with the manC. Take care of the man’s plants.2.What does the woman mean?A.Blue looks goodB. Any color is OK with herC. The walls needn’t to be painted.3.What will the weather be like tomorrow?A.CloudyB. SunnyC. Rainy4.What does the man tell the woman?A.He will open a restaurantB. Running a restaurant is difficultC. Most restaurants are very successful5.What did the man ask the woman to do?A.Edit some filesB. Mail some lettersC. Check her e-mail第二节：听下面一段对话，回答第6和第7题6.Where will the man sit?A. Near the backB. In the middleC. Near the front7.Where are the speakers?A.At an airportB. At a train stationC. At a bus stop听下面一段对话，回答第8和第9题8.What will the man probably do next?A.Buy a souvenirB. Clean a roomC. Have a haircut9.Where does the conversation take place?A.In a gift shopB. In a barbershopC. In a hotel听下面一段对话，回答第10 至第12题10.What do we know about Winchester Island?A.It has a beautiful atmosphereB. It is a fun place to play thereC. It is crowded with people11.What does the man like most about the holiday center?A.It will provide sports activitiesB. It will bring more moneyC. It will attract more people12.Why doesn’t the woman like the new plan?A.It will need a large amount of moneyB. It will damage the environmentC. It will make many people lose their homes听下面一段对话，回答第13至16题13.Why does the man look for a flat?A.He wants to live with someone learning biologyB.He’s fed up with living with his parentsC.His parents’ house is far from the university14.How many people live in the flat right now?A.OneB. TwoC. Three15.What does the man play in a band?A.The violinB. The guitarC. The piano16.What is the woman likely to do?A.Refuse the man’s requestB. Invite Peter to live with herC. Find a flat near the university听下面一段独白，回答第17至第20题17.Why does the speaker recommend working in the computer games industry?A.It’s popularB. It’s well-paidC. It’s creative18.What course did the speaker major in at university?puterB. PhysicsC. History19.Who helped the speaker find a job in the computer games industry?A.His motherB. His fatherC. His uncle20.What did the speaker do at first at a major games company?A. He tested gamesB. He programmed gamesC. He did research on new games二．单选题(共20题，每个0.5分，共10分)：21.--- It’s said John will be in a job paying over $60,000 _____ year.--- Right, he will also get paid by _____ week.A.the; theB. a; theC. the; aD. a; a22. He said he would start off very early in the morning _______ miss the flight to New York.A. not so as toB. so not as toC. so as to notD. so as not to23. He _____ a knowledge of the computer by hard work.A. spreadB. inquiredC. acquiredD. took24. Not until he went through real hardship _____ the love we have for our families is important.A.had he realizedB. did he realizeC. he realizedD. he had realized25. The driver wanted to park his car near the roadside but was asked by the police ______.A.not to doB. not toC. not doD. do not26. What a great difference it has _____ since the new teaching method was brought in.A.madeB. takenC. turnedD. put27. We were on the point of turning off the computer ______ a virus turned up.A.whenB. whileC. untilD. before28. --- Once a neighbor accused me _______ playing my piano loudly.---Oh, you have the right to defend yourself _______ the charge.A.of; againstB. for; againstC. of ; forD. for; of29. If you want to see the leader, you’d better make an _______ with his officer.A.admissionB. agreementC. assumptionD. appointment30. Never before ____ seen anybody who can play tennis as well as Robert.A.had sheB. she hadC. has sheD. she has31. Tommy is tired of his present job, so he wants to______ a new job in an IT company.A.care forB. apply forC. wait forD. leave for32. There is no doubt _____ a cure for cancer will be found one day in future.A. whichB. thatC. whatD. whether33. John opened the door. There _____ he had never seen before.A.a girl did standB. a girl stoodC. did a girl standD. stood a girl34. There are some health problems that, when _____ in time, can become bigger ones later on.A.not treatedB. not being treatedC. not to be treatedD. not having been treated35. The officer ______ suddenly while he was working. Since then he _______for a year.A.was ill; was illB. fell ill; has been illC. felt ill; was illD. has fallen ill; has been ill36. There is a wide ______ of wall pictures for you to choose from to decorate your house.A.extensionB. mixtureC. varietyD. combination37. I’m afraid he is more of a talker than a doer, which is ______ he never finishes anything.A.whenB. whereC. whyD. that38. Mr. Smith is _____ me, because he joined the club before me.A.senior thanB. senior toC. junior thanD. junior to39. I’m afraid your parents won’t approve_____ him, for he has a bad temper.A.to you marryB. of your marryingC. of you marryD. to you to marry40.---Can I come and have a look at your new house?---Yes, ______!A.with pleasureB. I like itC.I quite agreeD. by all means三．阅读下面短文，掌握其大意，然后从21～40各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项选项的标号涂黑。

2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高三（下）4月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b为正实数，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A． y=x3+x B． y=log a x C． y=3x D． y=﹣3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC． l⊥n，m⊥n⇒l∥m D． l⊥α，l∥β⇒α⊥β4．将函数y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移后，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为（）A．﹣ B． C． D．5．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A． 10 B． C． D．6．在△ABC中，若，，，则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．7．已知a∈R，若函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点，则函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数为（）A． 1或2 B． 2 C． 1或0 D． 0或1或28．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2] B． [1，2] C． [1，+∞） D． [2，+∞）二、填空题：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分．9．设全集U=R，集合A={x|x+1≤0}，B={x|x2﹣2＜0}，则A∩B= ，A∪B= ，∁R B= ．10．设函数，则该函数的最小正周期为，值域为，单调递增区间为．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3，外接球的表面积为cm2．12．设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax﹣1与区域D有公共点，则a的取值范围是．13．F1，F2分别是双曲线=1的左右焦点，P为双曲线右支上的一点，⊙A是△PF1F2的内切圆，⊙A与x轴相切于点M（m，0），则m的值为．14．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x；②f（x）=x3；③f（x）=；④f（x）=log2|x|．则其中是“等比函数”的f（x）的序号为．15．在△ABC中，，点M在BC边上，且满足，则cos∠MAB的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）当cosA+cosB取得最大值时，试判断△ABC的形状．17．已知数列{a n}是首项为2的等差数列，其前n项和S n满足4S n=a n•a n+1．数列{b n}是以为首项的等比数列，且b1b2b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*不等式恒成立，求λ的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．19．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B 两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．20．已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在[﹣1，3]上的最大值为g（b），求g（b）；（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高三（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b为正实数，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a＞1且b＞1，则ab＞1成立，若a=4，b=，满足ab＞1，但a＞1且b＞1不成立，故“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据不等式的关系是解决本题的关键．2．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A． y=x3+x B． y=log a x C． y=3x D． y=﹣考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数．解答：解：对于A．定义域为R，f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），即有f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，则f（x）在R上递增，故A满足条件；对于B．则为对数函数，定义域为（0，+∞），则函数没有奇偶性，故B不满足条件；对于C．则为指数函数，f（﹣x）≠﹣f（x），则不为奇函数，故C不满足条件；对于D．则为反比例函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）和（0，+∞）均为增函数，故D不满足条件．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题．3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（） A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B．α∥β，l⊂α⇒l⊥βC． l⊥n，m⊥n⇒l∥m D． l⊥α，l∥β⇒α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析： A根据面面平行的性质进行判断．B根据面面平行的性质以及线面垂直的判定定理进行判断．C根据直线垂直的性质进行判断．D根据线面垂直和平行的性质进行判断．解答：解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β，l，n平行或异面，所以错误；对于B，α∥β，l⊂α，l 与β可能相交可能平行，所以错误；对于C，l⊥n，m⊥n，在空间，l与m还可能异面或相交，所以错误．故选D．点评：本题考查了空间直线和平面，平面和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的定义和判断条件，比较基础．4．将函数y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移后，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为（）A．﹣ B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得结论．解答：解：将函数y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移后，得到的图象对应的解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x﹣+φ）．再根据得到的图象关于原点对称，则﹣+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z．结合所给的选项，故选：D．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A． 10 B． C． D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；不等式．分析：由已知中圆的方程x2+y2+4x﹣4y﹣1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．解答：解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=（x+2）2+（y﹣2）2=9是以（﹣2，2）为圆心，以3为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，∴直线过圆心，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=5++≥5+2=5+2，当且仅当a=﹣2，b=3﹣时取等号，∴的最小值为4+2，故选：C．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．6．在△ABC中，若，，，则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量垂直的条件，以及向量的数量积的定义，结合直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，计算即可得到．解答：解：由于，=﹣，即有|+|=|﹣|，两边平方可得•=0，即有⊥，由勾股定理得||==2，则==﹣||cos∠ABC=﹣1×=﹣．故选B．点评：本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件，同时考查向量的数量积的定义，属于基础题和易错题．7．已知a∈R，若函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点，则函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数为（）A． 1或2 B． 2 C． 1或0 D． 0或1或2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点可化为函数m（x）=x2与函数h（x）=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点，作图象确定a的取值范围，从而确定函数g（x）=ax2+4x+1的零点个数．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点，∴函数m（x）=x2与函数h（x）=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点，作函数m（x）=x2与函数h（x）=|x﹣2a|的图象如下，，结合图象可知，﹣0.5≤2a≤0.5，故﹣≤a≤，当a=0时，函数g（x）=ax2+4x+1有一个零点，当a≠0时，△=16﹣4a＞0，故函数g（x）=ax2+4x+1有两个零点，故选A．点评：本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．8．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2] B． [1，2] C． [1，+∞） D． [2，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．解答：解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．点评：本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分．9．设全集U=R，集合A={x|x+1≤0}，B={x|x2﹣2＜0}，则A∩B= （﹣，1] ，A∪B= （﹣∞，），∁R B= （﹣∞，﹣]∪[，+∞）．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，B的补集即可．解答：解：由A中不等式解得：x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]，由B中不等式解得：﹣＜x＜，即B=（﹣，），则A∩B=（﹣，1]，A∪B=（﹣∞，），∁R B=（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故答案为：（﹣，1]；（﹣∞，）；（﹣∞，﹣]∪[，+∞）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．设函数，则该函数的最小正周期为4π，值域为[﹣2，2] ，单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ﹣]，k∈z ．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、值域和单调性，可得结论．解答：解：函数的该函数的最小正周期为=4π，值域为[﹣2，2]．令2kπ﹣π≤x+≤2kπ，求得4kπ﹣≤x≤4kπ﹣，故函数的减区间为[4kπ﹣，4kπ﹣]，k∈z．故答案为：Z．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、值域和单调性，属于基础题．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为cm3，外接球的表面积为12πcm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体截去一角．解答：解：该几何体为正方体截去一角，如图原正方体的体积为2×2×2=8；而截去部分是原正方体的，故该几何体的体积V=（1﹣）×8=，故其外接球是原正方体的外接球，其直径长为=2，故其半径r=；故外接球的表面积为4π×r2=12π；故答案为：；12π．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．12．设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为；若直线y=ax﹣1与区域D有公共点，则a的取值范围是[，+∞）．考点：简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的性质即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为三角形ABC，其中A（0，2），B（0，4），由，解得，即C（，），则△ABC的面积S==，直线y=ax﹣1过定点E（0，﹣1），要使线y=ax﹣1与区域D有公共点，则满足C在直线的下方或通过点C，此时=a﹣1，解得a=．则满足a≥．，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13．F1，F2分别是双曲线=1的左右焦点，P为双曲线右支上的一点，⊙A是△PF1F2的内切圆，⊙A与x轴相切于点M（m，0），则m的值为 4 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=8，转化为|AF1|﹣|HF2|=8，从而求得点A的横坐标．解答：解：如图所示：F1（﹣5，0）、F2（5，0），内切圆与x轴的切点是点M，PF1、PF2与内切圆的切点分别为N、H，∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=8由圆的切线长定理知，|PN|=|PH|，故|NF1|﹣|HF2 |=8，即|MF1|﹣|HF2|=8，设内切圆的圆心横坐标为x，则点M的横坐标为x，故（x+5）﹣（5﹣x）=8，∴x=4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．14．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x；②f（x）=x3；③f（x）=；④f（x）=log2|x|．则其中是“等比函数”的f（x）的序号为②③．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据新定义，结合等比数列中项的定义a n•a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论．解答：解：由等比数列性质知a n•a n+2=a n+12，①当f（x）=3x时，f（a n）f（a n+2）=3an•3an+2=3an+an+2≠32an+1=f2（a n+1），故①不正确；②当f（x）=x3时，f（a n）f（a n+2）=a n3a n+23=（a n+13）2=f2（a n+1），故②正确；③当f（x）=时，f（a n）f（a n+2）===f2（a n+1），故③正确；④f（a n）f（a n+2）=log2|a n|log2|a n+2|≠log2|a n+1|2=f2（a n+1），故④不正确故答案为：②③．点评：本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用，正确运算，理解新定义是解题的关键，属中档题．15．在△ABC中，，点M在BC边上，且满足，则cos∠MAB的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件知AC⊥BC，并且，，∠MAB是向量的夹角，所以根据向量夹角的余弦公式即可得到cos∠MAB=，而根据，设||=，带入上式即可得到cos∠MAB=，所以由基本不等式即可求得cos∠MAB的最小值．解答：解：如图，；∴AC⊥BC；∵；，；∠MAB是向量的夹角；∴cos∠MAB===；∵；∴设，（）；∴cos∠MAB====，当时取“=”∴cos∠MAB的最小值为．故答案为：．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，直角三角形边的关系，向量加法的几何意义，数乘的几何意义，数量积的运算，求向量的长度：，两向量夹角的余弦公式，以及基本不等式求最值．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）当cosA+cosB取得最大值时，试判断△ABC的形状．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得，结合角C的范围即可得解．（Ⅱ）由（1）知，则化简可得，结合A的范围可求取得最大值1时A，B，C的值，从而得解．解答：解：（Ⅰ）由结合正弦定理变形得：（3分）从而，，…（6分）∵0＜C＜π，∴；…（7分）（Ⅱ）由（1）知…（8分）则====（11分）∵，∴…（12分）当时，取得最大值1，…（13分）此时，，…（14分）故此时△ABC为等腰三角形．…（15分）点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数中的恒等变换应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．17．已知数列{a n}是首项为2的等差数列，其前n项和S n满足4S n=a n•a n+1．数列{b n}是以为首项的等比数列，且b1b2b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*不等式恒成立，求λ的取值范围．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”可得，利用等比数列的前n项和公式可得T n，利用数列的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d4a1=a1（a1+d），解得d=2，∴a n=2n，由，从而公比，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，又，∴对任意n∈N*，等价于，∵对n∈N*递增，∴，∴．即λ的取值范围为（﹣∞，3]．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD．（其它证法酌情给分）（Ⅱ）方法一：可证平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；方法二：PA⊥AB，PA⊥AC，又可证AB⊥AC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设平面PAD的一个法向量为，则设MN与平面PAD 所成的角为θ，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE，又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC．∴NE MC，即MNEC为平行四边形，…（4分）∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．…（7分）（其它证法酌情给分）（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）由AB=1，，AD=2，得AC⊥CD，由AC•CD=AD•MF，得，在Rt△AMN中，AM=AN=1，得．在Rt△MNF中，，∴，直线MN与平面PAD所成角的正切值为．…（15分）方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，又∵AB=1，，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．…（9分）如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，N（0，0，1），P（0，0，2），，∴，，，…（11分）设平面PAD的一个法向量为，则由，令y=1得，…（13分）设MN与平面PAD所成的角为θ，则，∴MN与平面PAD所成角的正切值为．…（15分）点评：本题主要考查了线与平面平行的判定，求直线MN与平面PAD所成角的正切值，关键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．19．如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B 两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l2与圆x2+y2=切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；（Ⅱ）设l2：y=kx+m，由l2与⊙O相切可得2m2=1+k2，直线与抛物线方程联立可得k2x2+（2km ﹣4）x+m2=0，利用直线l2与抛物线相切，可得△=0可得km=1，联立解出k，m．得出Q坐标，|PQ|，直线l2方程，利用点到直线l2的距离公式可得F（1，0）到的距离．解答：解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB中点坐标为，由题意知，∴x1+x2=6，又|AB|=x1+x2+p=8，∴p=2，故抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）设l2：y=kx+m，由l2与⊙O相切得①，由⇒k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，（*）∵直线l2与抛物线相切，∴△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0⇒km=1②由①，②得k==±1，∴方程（*）为x2﹣2x+1=0，解得x=1，∴Q（1，±2），∴|PQ|===；此时直线l2方程为y=x+1或y=﹣x﹣1，∴令F（1，0）到l2的距离为，∴S△PQF===．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转化为方程联立可得△=0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=ax2+2bx+c（x∈R，a≠0）（Ⅰ）若a=﹣1，c=0，且y=f（x）在[﹣1，3]上的最大值为g（b），求g（b）；（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出a=﹣1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间[﹣1，3]与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；（Ⅱ）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，可得对称轴介于﹣8和﹣2之间，再对所求式子整理变形，令t=∈[2，8]，结合基本不等式，即可得到最小值12．解答：解：（Ⅰ）a=﹣1，c=0时，f（x）=﹣x2+2bx=﹣（x﹣b）2+b2，∴对称轴是直线x=b，①b＜﹣1时，[﹣1，3]为减区间，即有f（x）max=f（﹣1）=﹣1﹣2b；②当﹣1≤b≤3时，即有；③当b＞3时，[﹣1，3]为增区间，即有f（x）max=f（3）=﹣9+6b．综上所述，；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象和x轴相切，△=0即为4b2﹣4ac=0即为=（）2，∵f（x）在[﹣8，﹣2]上不单调，∴对称轴，∴，即有==，设，即有==（t﹣2）++6≥2+6=12．∴的最小值为12，此时当且仅当t﹣2=3∈（0，6）⇒t=5．点评：本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．。

严州中学2015届高三仿真考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，则()=ABC A B （ ▲ ）A ．(,0)-∞B ．1(,1]2-C ．(,0)-∞1[,1]2 D ．1(,0]2-2．已知,l m 为两条不同的直线，α 为一个平面。

若//,l m 则//l α是//m α的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最小正周期为π，则（ ▲ ） A.()f x 的图象过点1(0)2,B. ()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C.()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D. ()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭4．在正三棱柱111ABC -A BC 中，若1=AB BB ，D 是CC 1中点，则CA 1与BD 所成角的大小是（ ▲ ） A ．3π B ．512π C ．2π D ．712π5．已知数列{}n a 满足1n+112()n n a a a n *=⋅=∈N ，，则2015S = （ ▲ ） A ．201521-B ．100923-C ．1007323⨯-D ．100823-6．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ▲ ）A ．()1xy f x e =+ B ．()1xy f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+7．设,a b ∈R ,关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]16,16-B ．[]8,8-C ．[]4,4-D ．[]2,2-8．抛物线22y x =的内接∆ABC 的三条边所在直线与抛物线22x y =均相切，设A ，B 两点的纵坐标分别是,a b ，则C 点的纵坐标为（ ▲ ）A ．a b +B ．a b --C ．22a b +D ．22a b --第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，9—12每题6分， 13—15题每题4分，共36分。

2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高一（下）4月段考数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（）A．与共线B．与共线C．与是相反向量D．与模相等2．已知，且，则x等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D． 43．等于（）A．.B．.C．.1 D．﹣14．cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ化简的结果是（）A．sin（2α+β）B．cos（α﹣2β）C．cosα D．cosβ5．已知平面中三点A（﹣1，﹣1），B（1，2），C（8，﹣2），判断三角形ABC的形状（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断6．f（x）=sin2x+cos2x的周期为（）A．2π B．π C．D．4π7．△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定8．已知在△ABC中A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．：1：29．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若+=+，则点P与△ABC的位置关系是（）A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上D．点P在直线AC上10．锐角△ABC中，已知，则b2+c2+bc的取值范围是（）A．（3，9 C．（7，9二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11．已知点M（3，﹣4）和向量，若，则点N的坐标为．12．已sinα+cosα=，则sin2α=．13．在已知α∈（，π），，则tanα等于．14．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc+c2，则∠A=．16．向量在上的投影是．17．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．求B，D的距离．三、解答题（本大题有4小题，共42分．要写出必要的文字说明、推演步骤等）18．（10分）（2015春•杭州校级月考）已知，，求和cos2θ19．（10分）（2015春•杭州校级月考）已知，是同一平面内的两个向量，其中．（1）求与的夹角θ；（2）求|﹣|的值．20．（10分）（2012春•宿迁期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b=2asinB．（1）求A；（2）若a=7，：△ABC的面积为10，求b+c的值．21．（12分）（2014秋•吉安期末）已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0，且x∈时，f（x）的值域是，求a，b的值．2014-2015学年浙江省杭州市严州中学高一（下）4月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（）A．与共线B．与共线C．与是相反向量D．与模相等考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据四边形ABCD是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可解答：解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD且AB=CD，AD∥CB，∴与共线，且摸相等，与是相反向量，∵AC与BD相交，∴与不共线，故选：B．点评：本题主要考查了平面向量的有关基本概念．解题的关键是要明白共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念以及矩形的有关性质．2．已知，且，则x等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D． 4考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵，且，∴x=4，故选：D．点评：本题考查平面向量的共线，属基础题3．等于（）A．.B．.C．.1 D．﹣1考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角的正切公式求得所给式子的值．解答：解：=•=tan30°=，故选：B．点评：本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．4．cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ化简的结果是（）A．sin（2α+β）B．cos（α﹣2β）C．cosα D．cosβ考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用两角和余弦公式可得结论．解答：解：利用两角和余弦公式可得cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ=cosα．故选：C．点评：本题考查两角和余弦公式的应用，逆用两角和的余弦公式是解题的关键．5．已知平面中三点A（﹣1，﹣1），B（1，2），C（8，﹣2），判断三角形ABC的形状（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断考点：余弦定理；两点间距离公式的应用．专题：解三角形．分析：根据题意和两点间的距离公式求出各边的平方，判断出最大边和最大角，利用余弦定理求出最大角的余弦值，根据符号即可判断出△ABC的形状．解答：解：∵三点A（﹣1，﹣1），B（1，2），C（8，﹣2），∴|AB|2=4+9=13，|AC|2=81+1=82，|BC|2=49+16=65，则AC是最大边，∠ABC是最大角，由余弦定理得，cos∠ABC===，∴∠ABC是钝角，则△ABC是钝角三角形，故选：C．点评：本题考查余弦定理，两点间的距离公式的应用，属于中档题．6．f（x）=sin2x+cos2x的周期为（）A．2π B．π C．D．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的周期为=π，故选：B．点评：本题主要考查辅助角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．7．△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得，解得sinB=＞1，可得B不存在，从而得出结论．解答：解：已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么由正弦定理可得，解得sinB=＞1，故B不存在，故选：C．点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．8．已知在△ABC中A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．：1：2考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由A：B：C=1：2：3，且A+B+C=π，可求得：A=30°，B=60°，C=90°，从而可求sinA，sinB，sinC，由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC，从而得解．解答：解：∵在△ABC中A：B：C=1：2：3，且A+B+C=π，∴可求得：A=30°，B=60°，C=90°，∴sinA=，sinB=，sinC=1，∴由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC==1：：2．故选：C．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．9．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若+=+，则点P与△ABC的位置关系是（）A．点P在△ABC内部B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上D．点P在直线AC上考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由+=+，可得．如图所示，以CA，CB为邻边作平行四边形CADB，可得，延长CA到点P，使得AP=CA，即可得出．解答：解：∵+=+，∴．如图所示，以CA，CB为邻边作平行四边形CADB，则，延长CA到点P，使得AP=CA，则，∴点P在AC边所在的直线上．故选：D．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，考查了作图能力，属于中档题．10．锐角△ABC中，已知，则b2+c2+bc的取值范围是（）A．（3，9 C．（7，9考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入得到b2+c2=bc+3，求出b2+c2的范围即可求出所求式子的范围．解答：解：∵锐角△ABC中，a=，A=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc，即b2+c2=bc+3＞3，∴b2+c2+bc=2bc+3≤b2+c2+3，即bc≤3，∴3＜b2+c2≤6，即3＜2（b2+c2）﹣3≤9，则b2+c2+bc的取值范围是为（3，90，π0，π3，40，π，b，（）a+b3，42kπ﹣，2kπ+0，π，﹣，1﹣a，ab，（）a+b3，4hslx3y3h，所以b=3，a==．点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查转化思想．。