新北师大版八年级数学上册《4.1函数》导学案

新北师大版八年级数学上册《4.1函数》导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数．2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值．3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题． 【重点难点】 1、掌握函数概念．2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数．3、能把实际问题抽象概括为函数问题． 知识概览图函数的定义：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．函数的表示方法：(1)列表法；(2)图象法；(3)解析法．函数值的定义：对于自变量x 在取值范围内的某个确定的值a ，函数y 所对应的值为b ．即当x ＝a 时，y =b ，那么b 叫做自变量x 的值为a 时的函数值．新课导引【问题链接】如右图所示的是某人所走路程随时间变化的图象．(1)根据图象指出有哪几个变量； (2)从图象中你能得到哪些信息? 教材精华知识点1 常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值保持不变的量为常量．例如：在行程问题中，当速度v 保持不变时，行走的路程s 是随时间t 的变化而变化的，那么在这一过程中，v 是常量，而s 和t 是变量；当路程s 是一个定值时，行走的时间t 是随速度的变变量→函数化而变化的，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量．变量和常量往往是相对的，比如s，v，t三者之间，在不同的研究过程中，作为变量与常量的“身份”是可以相互转换的．拓展常量和变量往往是相对的，根据定义，抓住“变”与“不变”是解题的关键．知识点2 函数的概念一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．例如：行程问题s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．拓展理解函数概念时应注意：(1)在某一变化过程中有两个变量x与y．(2)这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定．(3)对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x＞0)中，当x＝9时，y对应的取值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数．知识点3 函数的三种表示形式(1)列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法.例如：市场上猪肉的价格为每千克12元，那么质量与金额的函数关系列表如下：(2)图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法．例如：吉林市某一天气温随时间变化的图象如图6－1所示．从图象上能看出气温随时间变化的情况，时间是自变量．(3)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法．例如：正方形的面积用S表示，正方形的边长用a表示，则正方形的面积公式为S＝a2，若周长用p表示，则周长公式为p＝4a，正方形的边长a是自变量．拓展(1)解析法：解析法能揭示出变量之间的内在联系，便于我们研究变化趋势，但较抽象，且并不是所有的函数关系都能列出解析式．如人的体重y和时间t的函数关系就很难用解析法来表示．(2)列表法：这种方法比较具体，但有时很难找出两个变量之间的内在联系．(3)图象法：这种方法直观，通过图象可以直观发现变量间的对应关系及变化发展趋势，但不精确．知识点4 函数图象的画法一般地，对于一个函数，如果把自变量和对应的因变量的值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形就是这个函数的图象．例如：对于函数y＝x，在坐标平面内描出的点是横坐标与纵坐标相等的点，由这些点构成的直线就是函数y＝x的图象．如图6－2所示．画函数图象一般可运用描点法来画，其一般步骤是：(1)列表：列举一些自变量的值及其对应的函数值．(2)描点：在平面直角坐标系中以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中的数值对应的点．(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的点用平滑的曲线连接起来．拓展函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y满足其函数关系式，同样，满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一定在函数的图象上．知识点5 函数值对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b．即当x＝a时，y＝b，那么b叫做自变量x的值为a时的函数值．拓展当函数关系是用一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．当已知函数解析式．又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程．知识点6 确定函数关系的方法判断变量之间是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是因变量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程中处于被动地位，自变量每取一个值，因变量都必须有唯一值与它对应，这样它们才能构成函数关系．拓展确定函数关系式，需要分析题设中的等量关系，列出含有自变量与因变量的函数关系式，其具体方法可以和列方程解应用题类比．不过列出之后有的需要经过适当变形，化成符合函数关系式特点的形式．规律方法小结了解和区分常量与变量是学好本节内容的基础，理解函数的意义既是本节的重点，也是难点，它是学好本节的关键，函数的三种表示方法是研究函数的重要工具，学习函数的图象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中渗透的数形结合思想．课堂检测基本概念题1、指出下列各关系式中的常量与变量．(1)圆的周长公式C=2πr中，变量是，常量是；(2)求余角的公式y＝90°－x中，变量是，常量是；ah，若h为定长，则此式中，(3)△ABC的底边长为a，底边上的高为h，则△ABC的面积S＝12变量是，常量是．2、判断下面各量之间的关系是不是函数关系．(1)已知圆的半径r＝2 cm，则圆的面积S＝πr2与半径r；(2)长方形的宽一定时，其长与周长；(3)王成的年龄与他的身高．基础知识应用题3、如图6－3所示的是汽车行驶的路程s(千米)与时间t(分)的函数关系的图象．根据图中提供的信息回答下列问题．(1)汽车在前9分钟内的平均速度是；(2)汽车在中途停留的时间为；(3)汽车第25分钟时距出发地千米．综合应用题4、某风景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)，每人25元，超过20人，超过的部分每人10元．(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的函数关系式；(2)利用(1)中函数关系式计算，某班54名学生去该风景区游览时，购门票共花了多少元?探索创新题5、一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m，到达坡底时，小球速度达到40 m／s．(1)求小球速度v(m／s)与时间t(s)之间的函数关系式；(2)求t的取值范围；(3)求3．5 s时小球的速度；(4)求多少秒时，小球的速度为16 m／s，体验中考中自变量的取值范围是( )1、函数y＝1x3A．x＞－3 B．x＜－3 C．x≠－3 D．x≥－32、如图6－4(1)所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发沿BC，CD运动至点D停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图6－4(2)所示，则△BCD的面积是( )A．3 B．4 C．5 D．6学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析根据变量、常量的定义，抓住“变”与“不变”来解答．和h答案：(1)C和r2和π(2)y和x90°(3)S和a12【解题策略】常量和变量是相对的．2、分析判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定的值，因变量是否有唯一确定的值与它对应．解：(1)因为圆的半径r、圆周率π均是一个常量，则圆的面积S也是—个常量，没有变量，所以不是函数关系．(2)长方形的宽一定时，其长所取每一个确定的值，周长都有唯一的值与它对应，所以长方形的长与周长是函数关系．(3)人的年龄每确定一个值，都没有唯一确定的身高与之对应，所以王成的年龄与身高不是函数关系．【解题策略】判断两个变量之间的关系是不是函数关系，主要看当其中一个变量取一个值时，另一变量是不是有唯一值与之对应．3、分析由图象可知，前9分钟走了12千米，中途停留了7分钟，后14分钟走了28千米，则后14分钟平均每分钟走了2千米，当行驶了25分钟时，共走了12＋2³9＝30(千米)．答案：(1) 43千米／分(2)7分钟(3)30【解题策略】对于读图象题，关键在于认真观察其走势，了解x轴、y轴分别表示的实际意义．4、分析分两种情况讨论：①0≤x≤20；②x＞20．求出关系式后，把x＝54代入第二个关系式求出y的值，即是购门票花的钱数，注意根据x的范围，选择应代入的关系式．解：(1)y＝25(020),50010(20)(20).x xx x⎧⎨+-⎩≤≤＞(2)当x＝54时，y＝500＋10(54－20)＝840(元)．答：54名学生游览时，购门票共花了840元．【解题策略】在一个问题中，自变量与因变量的对应关系不同时，要用分段函数解决．5、分析因为小球由静止开始运动，所以小球原来的速度为0 m／s．又因为运动时速度每秒增加2 m／s，所以t秒就增加2tm／s．解：(1)v＝2t．(2)∵小球最后速度为40m／s，时间又不可为负值，∴0≤t≤20．(3)∵v＝2t，∴当t＝3．5 s时，v＝7 m／s．(4)∵v=2t，∴当v＝16 m／s时，t＝8 s．【解题策略】在实际问题中，函数关系式中自变量的取值范围要根据实际问题的要求来确定．体验中考1、分析由分母不能为0，可知x≠－3．故选C.2、分析直角梯形ABCD中，点P由点B运动到点C这一过程中△ABP的面积在增加，点PDC²BC 在CD上运动时，△ABP的面积不变．结合图(2)可知BC＝2，CD＝5－2＝3，所以S△BCD=12＝1³3³2＝3．故选A.2【解题策略】观察图象，获取有关信息是解决这一问题的关键．4.2一次函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.2、能根据所给条件写出一次函数简单的表达式.【重点难点】1、一次函数、正比例函数的概念及关系.2、会根据已知信息写出一次函数的表达式.3、一次函数知识的运用.知识概览图一次函数→一次函数和正比例函数的定义：若两个孪量x，y间的关系式可以表示成y=kx＋b (k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．新课导引【生活链接】周末，王伟陪爷爷到医院去体检．爷爷向医生咨询了有关老年人运动与健康的常识，医生提供了以下信息，并告知在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是这个人年龄的一次函数．此时，63岁的爷爷就问王伟：“我有一次跑步后测得10秒内心跳为26次，是否有危险?” 教材精华知识点 一次函数和正比例函数若两个变量x ,y 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数．例如y =2x ＋l ，y ＝12x －1等都是一次函数．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数．例如y ＝2x ，y ＝－3x 等都是正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．正比例函数与一次函数的关系如图6—7所示．拓展 正比例函数也是一次函数，不过是特殊的一次函数，就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样． 课堂检测基本概念题1、下列函数中，哪些是一次函数?哪些是正比例函数? (1)y ＝－3x；(2)y ＝－8x ；(3)y ＝8x 2＋x (1－8x )；(4)y ＝1＋8x ．基础知识应用题2、已知y ＝(m －2)x |m |－1＋3m 是x 的一次函数，求m 的值．综合应用题3、某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分钟，再付电话费0．4元，“神州行”使用者不交月租费，每通话1分钟，付话费0．6元(均指市内通话)．通话不足1分钟，按1分钟计算．若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．(1)写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同?(3)某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算?探索创新题4、为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，于是他测量了一套课桌、凳相对应的四档高度，得到如下数据：(1)小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；(不要求写出x的取值范围)(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子的高度，写字台的高度为77 cm，凳子的高度为43．5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由．体验中考某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款，若一次购书10本以上，超过10本部分打八折，设一次购书量为x 本，付款金额为y 元，请填写下表：学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 根据一次函数、正比例函数的定义判断． 解：(1))y ＝－3x ，即y =－13x ，其中k =－13，b ＝0． ∴y ＝－3x 是一次函数，也是正比例函数．(2)y ＝－8x，∵正比例函数都是常数与自变量积的形式，而－8x是商的形式，∴ ＝－8x不是一次函数，也不是正比例函数．(3)y ＝8x 2＋x (1－8x )经过恒等变形，转化为y ＝x ，其中k ＝1，b ＝0． ∴y ＝8x 2＋x (1－8x )是一次函数，也是正比例函数． (4)y ＝1＋8x ，即y ＝8x ＋1，其中k ＝8，b ＝1． ∴y ＝1＋8x 是一次函数，但不是正比例函数．综上所述，y ＝－3x ，y ＝8x 2＋x (1－8x )，y ＝l ＋8x 是一次函数；y ＝－3x ，y ＝8x 2＋x (1－8x )是正比例函数．【解题策略】 形如y ＝kx (k ≠0)的函数既是正比例函数，也是一次函数，因为正比例函数是特殊的一次函数．2、分析 一次函数都可化为一般形式y ＝kx ＋b ，其中x 的系数k ≠0，x 的指数必须是1，b 可为任意实数．解：由一次函数的概念可得m －2≠0，① |m |－1＝1．② 由①得m ≠2，由②得m ＝±2，所以m ＝一2．【解题策略】 一次函数y ＝kx ＋b 中一次项系数k ≠0，在解这类问题时千万不要忽略这个条件，3、分析 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．解：(1)y 1＝50＋0．4x ，y 2＝0．6x ，其中x ≥0，且x 为整数． (2)∵两种通讯方式的费用相同，∴50＋0．4x ＝0．6x ，∴x ＝250， ∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．(3)当y 1＝200时，有200＝50＋0．4 x ，∴x ＝375(分)，∴“全球通”可通话375分． 当y 2＝200时，有200＝0．6x ，∴x ＝33313(分)，∴“神州行”可通话33313分 故选择“全球通”较合算．【解题策略】 在求解时，要注意实际应用问题中自变量的取值范围．4、分析 由得到的数据发现，从第一档到第二档，凳高增高了3cm ，桌高增高了4．8 cm ，即凳高每增高1 cm ，桌高就增高1．6 cm ，且以后每一档之间都有这个规律，由此得到y ＝1．6(x －37)＋70＝1．6x ＋10．8． 解：(1))y ＝1．6x ＋10．8．(2)当x ＝43．5时，y ＝1．6³43．5＋10．8＝80．4，因为77≠80．4，所以它们不配套．体验中考分析不超过10本时，y与x的函数关系式为y＝8x，超过10本时，y与x的函数关系式为y＝8³810(x－10)＋8³10，即y=325x＋16，把x的值代入对应的解析式，求出对应的y值即可．故应依次填56，80，156．8．【解题策略】根据题目所给条件列出函数表达式，再利用表达式进行有关的计算，注意自变量的取值范围．4.3一次函数的图象学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解k 值对两个一次函数的图象位置关系的影响．2、理解当k＞0 时，k 值对直线倾斜程度的影响．3、结合图象，探究并掌握一次函数的性质．4、能对一次函数的性质进行简单的应用．【重点难点】1、掌握一次函数的图象和性质及其性质的简单应用．2、由一次函数的图象探究一次函数的性质．知识概览图一次函数的图象的画法—次函数的性质一次函数的图象正比例函数的性质新课导引【问题链接】如右图所示的是某市某天气温随时间变化的图象．(1)根据此图，能否将气温看做是时间的一次函数? (2)从图中你能获得哪些信息?(3)请你预测一下次日凌晨1点的气温大致是多少摄氏度． 教材精华知识点1 函数的图象把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象． 画函数图象分三步：列表、描点、连线．拓展 函数的图象可以是直线，也可以是曲线，描点时，所描出的点越多，图象就越精确。