四元数正规矩阵的几个定理1邹黎敏，陈香萍，伍俊良，李声杰重庆大学数理学院，重庆（400044）E-mail ：zlmlohr@摘 要：利用四元数正规矩阵可对角划的性质，得到了四元数正规矩阵的一些性质及判定准则。
同时获得了四元数正规矩阵弱直积，矩阵方程，特征值的几个定理。
关键词: 四元数体，正规矩阵，弱直积，特征值中图分类号: O241.6 文献标识码: A1．引言与符号约定近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣(参考[1-3])，同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究（参见[4-8]）。
四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究[文9-14]。
但很少有文献对四元数正规矩阵进行研究。
本文借助于四元数体上正规矩阵的概念以及相似分解，给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则，得到了四元数正规矩阵弱直积，合同化简以及特征值不等式的几个定理。
文中用R 表示实数域，C 表示复数域，H 表示R 上的四元数体，R 和H 上n 阶矩阵的全体分别记为n n R ×和n n H ×，*'A A =表示A 的共轭转置，k a j a i a a a 3210+++=表示实四元数（3210,,,a a a a 为实数），用α和n I 分别表示H 上任意n 维四元数列向量和n 阶单位矩阵，)Re(a 表示a 和实部，*a 表示a 的共轭四元数，*α表示α的共轭转置向量,a a a N *)(=和N (α)=αα*分别表示a 和α的范数。
2．一些定义和引理定义 1. 设n n H A ×∈，如果**AA A A =，则称A 是正规矩阵，则易知自共轭四元数矩阵，斜自共轭矩阵和下面定义的酉矩阵均为正规矩阵。
第二章四元数和四元数体基于本文主要对四元数矩阵性质的初探，本章我们先来认识四元数和四元数体，系统地对四元数和四元数体性质的认识和了解，可以帮助我们在后面的研究中打下夯实的基础。
2.1四元数的定义与相关概念以及运算在本文中，我们用R表示为实数域，R+表示为正实数域，C表示为复数域。
2.1.1四元数的定义由于四元数是最简单的超复数。
复数是由实数加上元素i组成，其中i2=-1。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：i2 =j2 = k = ijk = -1，每个四元数都是1、i、j 和k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk。
定义2.1.1【3】设q=a+bi+cj+dk，a，b，c，d R （2.1.1）其中i，j，k满足i2=j2=k2=-1 （2.1.2）ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j （2.1.3）2.2四元数体在本节中，我们将会对四元数的群、环、域、体的定义，重点介绍置换群和四元数体。
2.2.1群的定义相对比与近世代数中群的定义，四元数群的定义与之相同，同样满足四个条件：封闭性、结合律、单位元以及逆元。
定义2.2.1 设G为一非空集合，对G的元素规定一个代数运算，称之为乘法（或加法），乘积记作ab（或a+b），若其满足下列条件，则称G为一个群：（1）满足封闭性：对∀a，b∈G，∃唯一的c∈G，使得ab=c；（2）结合律成立，对∀a，b，c∈G有(ab)c=a(bc)（3）G存在单位元e满足：对∀a ∈G，有ae=ea=a（4）对∀a ∈G，∃a的逆元a-1 ∈G，使得a a-1= a-1a=e为了后面（第三章）定义四元数矩阵的行列式的需要，这里重点介绍下置换群。
假设n个整数1,2，···，n之间的一种置换，如数1用1到n中的某个数i1取代，2被1到n中的某个数i2取代，···，n被1到n中的某个数i n取代，表示如下加矩阵2.2.2环、域、体的定义定义2.2.2 设G为一个非空集合，对G的元素规定为两种代数运算加法和乘法，若满足下列三个条件，则称G为一个环：（1）G是一个加法群；（2）对乘法满足结合律，即∀a，b，c∈G有(ab)c=a(bc)（3）对加法和乘法满足左右分配律，即对∀a，b，c∈G有a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca定义2.2.3一个具有单位元的交换环G，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆元a-1，则称G为一个域。
线性代数性质公式整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。
当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用表示排列的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i 行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若，则，且特征值相同。
四元数的一种新的代数结构作者：姜同松作者单位：华东师范大学数学系,上海,200062,临沂师范学院数学系,山东临沂,276005刊名：力学学报英文刊名：ACTA MECHANICA SINICA年，卷(期)：2002,34(1)被引用次数：16次1.肖尚彬四元矩阵的乘法及其可易性 1984(02)2.王庆贵四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用 1983(01)3.Adler SL Quaternionic Mechanics and Quantum Fields 19944.屠伯埙高等代数 19875.Nathan Jacobson Basic Algebra I 19746.姜同松;陈丽四元数体上矩阵的广义对角化[期刊论文]-应用数学和力学 1999(11)7.陈龙玄Cayley-Hamilton定理在四元数体上的推广 1991(06)8.Chen Longxuan Definition of determinant and Cramer solutions over the quaternion field[外文期刊] 1991(02)9.陈龙玄四元数矩阵的Jordan标准形 1996(06)10.张庆成四元数体上重行列式的性质及其应用 1995(02)11.陈龙玄四元数矩阵的特征值和特征向量 1993(03)12.陈龙玄四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质 1991(01)1.王不了.冯良贵.WANG Bu-liao.FENG Liang-gui四元数的实矩阵表示[期刊论文]-国防科技大学学报2010,32(4)1.连德忠四元数矩阵的弱可交换乘积[期刊论文]-龙岩学院学报 2009(2)2.李莹.赵建立四元数自共轭矩阵特征值的变分特征及其应用[期刊论文]-河北大学学报（自然科学版） 2009(2)3.郑福四元数矩阵实表示的基本性质及应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2009(4)4.李莹.张丽梅.贾志刚.赵琳琳四元数矩阵的行列式的一种新定义及其应用[期刊论文]-聊城大学学报（自然科学版） 2008(2)5.赵建立.李莹.张丽梅四元数矩阵的OR分解及等式约束最小二乘问题[期刊论文]-山东大学学报（理学版）2007(6)6.赵琳琳.赵建立.张丽梅四元数矩阵上的偏序关系[期刊论文]-河北大学学报（自然科学版） 2007(3)7.冯良贵四元数矩阵的列左秩[期刊论文]-自然科学进展 2006(5)8.赵琳琳.李莹.杨庆芝四元数矩阵上的几种偏序的研究[期刊论文]-聊城大学学报（自然科学版） 2006(3)9.李莹.赵建立四元数矩阵的Rayleigh-Ritz 定理的证明[期刊论文]-内蒙古大学学报（自然科学版） 2006(1)10.胡琳玲若干矩阵方程问题的讨论[学位论文]硕士 200611.胡淑娥关于四元数矩阵若干问题的结果及应用[学位论文]硕士 200513.连德忠四元数向量和矩阵的秩[期刊论文]-数学研究 2003(3)14.刘永辉四元数矩阵方程AXAH=B的最小二乘解[期刊论文]-数学研究 2003(2)15.连德忠四元数体上的范数理论和应用[期刊论文]-闽西职业大学学报 2003(2)16.刘永辉.姜同松.魏木生四元数矩阵的奇异值分解及其应用[期刊论文]-高等学校计算数学学报 2003(4)本文链接：/Periodical_lxxb200201014.aspx。
