高中数学-矩阵与行列式初步(十三)---教师

第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。

第9章矩阵和行列式初步一、矩阵9.1 矩阵的概念矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表n m m n nj m i a ij ,,2,1;,,2,1mnm m n n a a a a a a a a a 212222111211称为矩阵.n m 记作mnm m n n a a a a a a a a a A212222111211nmij a )(2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。

1321它是2行2列的矩阵，记为22A ，矩阵可简记为An mA 注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A )(,3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，813521它是2行3列的矩阵，32A 可记作4、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。

2行1列的矩阵，叫做系数矩阵的两个列向量。

31125、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵101在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。

6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。

1321是2阶方矩阵，2是行数（列数）说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。

7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如，叫做单位矩阵。

1011010001nE E全为1称为n 阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

矩阵和行列式初步第三章矩阵和行列式初步矩阵部分一、矩阵的基本概念a11a211、矩阵定义：由m n个数排成的m行n列的表am1a12a22am2a1na2n称为m行n列矩amn阵,简称m n矩阵。

2、特殊形式矩阵：（1）n阶方阵：行数和列数相等的矩阵叫做方矩阵，简称方阵。

在矩阵A(aij)m n中，当m n时，A称为n阶方阵。

（2）行矩阵：只有一行的矩阵A a1列矩阵：只有一列的矩阵b1b2叫做列矩阵。

Bbma2an叫做行矩阵。

（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。

3、相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作相等矩阵，记作：A=B。

4、常用特殊矩阵：10（1）对角矩阵：00（2）数量矩阵：002000n0010（3）单位矩阵：E010001（4）三角矩阵：a110A0a11a21Aam1a12a2200a22am2a1na2n称作上三角矩阵amn 00称作下三角矩阵。

amn（5）系数矩阵：二元一次方程组两个方程的系数构成的矩阵叫方程组的系数矩阵，如132，因为其有两行两列，记为A2 2 1注：矩阵可表示为Am n其中m和n分别表示行数和列数（6）增广矩阵：二元一次方程组中的方程及其常数构成的矩阵叫方程组的增广矩阵，如13215，因为其有2行3列，记为A23。

8注：增广矩阵表示时，字母A上要加一横线。

（7）行向量：1行2列的两个矩阵叫做系数矩阵的行向量。

如：（1，－2）（3，1）12列向量：2行1列的两个矩阵叫做系数矩阵的列向量。

如：3和1二、矩阵的运算法则 1、矩阵的加法、减法运算法则：将两个行数和列数都相等的矩阵的对应位置上的元素相加（相减）Cij aij bij(相减Cij aij bij)，i=1,2,3…,m；j=1,2,…,n,所得的矩阵称为两个矩阵的和（差），记作A+B（A－B）。

例1、已知A=2144，B=3612,求A+B与A－B 23注意：①矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等②必须是对应位置上元素相加减③矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等2、矩阵的数乘运算(1)法则：矩阵与一个实数的乘积为矩阵的数乘运算。

高中数学教案认识矩阵的行列式高中数学教案：认识矩阵的行列式在高中数学中，矩阵及其行列式是一个重要的概念和工具。

矩阵是由数按照矩形排列而成的一种数学结构，而行列式则是矩阵所具有的一种特殊性质。

了解矩阵的行列式对于深入理解线性代数和高等数学具有重要意义。

本教案将带领学生深入认识矩阵的行列式，通过理论和实践相结合的方式，帮助学生掌握相关的概念和计算方法。

一、矩阵的概念及表示方法1.1 矩阵的定义：矩阵是一个由m行n列数排列成的数表，可以用大写字母表示，例如A。

1.2 矩阵的元素：矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加下标表示，例如a_ij表示第i行第j列的元素。

1.3 矩阵的表示方法：可以用方括号或圆括号将矩阵元素括起来，元素之间用逗号或空格隔开。

例如，A=[a_ij]表示一个矩阵A，其中a_ij为矩阵A的元素。

二、行列式的定义及性质2.1 行列式的定义：行列式是一个与方阵相关的数值，它可以从矩阵的元素中按照一定规律计算出来。

一个n阶方阵A的行列式可以用det(A)或|A|表示。

2.2 行列式的计算方法：2.2.1 二阶行列式的计算方法：对于二阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.2.2 三阶及以上行列式的计算方法：对于n阶方阵A=[a_ij]，行列式的计算方法为：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + a_1n * A_1n其中A_ij为元素a_ij的代数余子式。

2.3 行列式的性质：2.3.1 行列式与转置：对于任意方阵A，有det(A) = det(A^T)，即行列式与其转置矩阵的行列式相等。

2.3.2 行列式与初等行变换：对于方阵A，若将其某一行（列）与另一行（列）互换位置，行列式的值变号。

2.3.3 行列式的性质：- 若矩阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。

高中数学备课教案矩阵与行列式高中数学备课教案矩阵与行列式一、引言数学作为一门重要的学科，对于高中生而言尤为重要。

矩阵与行列式作为数学中的重要概念，是高中数学教学中必须掌握的内容之一。

本备课教案旨在帮助教师们系统地准备矩阵与行列式的教学内容，以便让学生更好地掌握相关知识。

二、教学目标1. 了解矩阵与行列式的定义及基本运算规则；2. 掌握矩阵与行列式的应用方法，如线性方程组的解法等；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

三、教学内容1. 矩阵的定义与运算1.1 矩阵的基本概念1.1.1 矩阵的定义1.1.2 矩阵的元素、行、列1.1.3 矩阵的阶数1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法与减法1.2.2 矩阵的数乘1.2.3 矩阵的乘法1.2 矩阵的转置与逆矩阵1.3.1 矩阵的转置1.3.2 矩阵的逆2. 行列式的定义与性质2.1 行列式的基本概念2.1.1 行列式的定义2.1.2 行列式的元素及排列2.1.3 行列式的阶数2.2 行列式的基本性质2.2.1 行列式的性质和运算规则2.2.2 行列式的展开与化简3. 线性方程组与矩阵3.1 线性方程组的基本概念3.1.1 线性方程组的定义3.1.2 线性方程组的解的分类3.2 矩阵的应用3.2.1 用矩阵表示线性方程组3.2.2 利用矩阵求解线性方程组四、教学方法1. 讲解法：通过讲解矩阵与行列式的定义、性质和运算规则，帮助学生理解相关概念；2. 练习法：通过大量的练习题，培养学生的矩阵与行列式的运算能力和解题技巧；3. 实践法：通过实际问题的解决，巩固学生对矩阵与行列式的应用知识的掌握。

五、教学资源1. 教材：根据学生的教材内容编写讲义，提供给学生作为参考；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等；3. 练习题：准备丰富的练习题，供学生巩固知识。

六、教学评价1. 课堂表现评价：根据学生的课堂参与情况、讨论质量、问题解答等方面进行评价；2. 练习评价：布置适量的作业和练习题，对学生的完成情况进行评价；3. 测试评价：定期进行小测或者单元测试，检测学生对矩阵与行列式知识的掌握情况。

高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。

它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。

本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。

一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。

拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。

具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。

行列式的计算过程需要注意一些规则。

首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。

其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。

行列式在线性代数中有着广泛的应用。

例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。

当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。

二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。

矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。

对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。

矩阵的乘法是另一个重要的运算。

对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。

需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。

高中数学矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中重要的内容，它们在代数和几何中有广泛应用。

本文将从基本定义、运算性质、逆矩阵和行列式的应用等方面来探讨矩阵与行列式的知识。

一、矩阵的基本定义矩阵是由$m$行$n$列的数表所组成，用$A=(a_{ij})_{m \timesn}$表示，其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。

根据矩阵的定义，可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵等。

二、矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、数乘和乘法等，下面将对这些运算性质做详细介绍。

1. 矩阵的加法设$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m\times n$的矩阵，它们的和$A+B$定义为$(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘设$A=(a_{ij})_{m \times n}$是一个$m \times n$的矩阵，$k$是一个实数，那么$kA$定义为$(ka_{ij})_{m \times n}$，即将矩阵$A$中的每个元素乘以$k$得到新的矩阵。

3. 矩阵的乘法设$A=(a_{ij})_{m \times s}$和$B=(b_{ij})_{s \times n}$是两个矩阵，它们的乘积$AB$是一个$m \times n$的矩阵，定义为$(c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。

即矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列相乘并求和得到新矩阵$AB$的第$i$行第$j$列的元素。

三、逆矩阵逆矩阵是矩阵的重要概念，对于一个方阵$A$，如果存在一个方阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

逆矩阵具有以下性质：1. 如果矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一。

高中数学教案矩阵与行列式矩阵与行列式教案教学目标：1. 理解和掌握矩阵与行列式的基本概念；2. 掌握矩阵的运算法则，包括加法、减法和乘法；3. 掌握行列式的计算方法和性质；4. 能够应用矩阵和行列式解决实际问题。

教学重点：1. 矩阵和行列式的基本概念；2. 矩阵的运算方法；3. 行列式的计算和性质。

教学难点：1. 行列式的计算方法和性质；2. 矩阵和行列式的应用。

教学准备：1. 教材：高中数学教科书；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案、PPT；3. 学具：练习题集。

教学过程：一、矩阵的基本概念和运算法则1. 引入矩阵的概念，解释矩阵的组成和表示方法；2. 介绍矩阵的加法和减法运算法则，通过示例演示具体计算方法；3. 讲解矩阵的乘法运算法则，介绍矩阵乘法的定义和计算规则；4. 练习矩阵的运算，包括加法、减法和乘法。

二、行列式的计算和性质1. 引入行列式的概念，解释行列式的计算规则和表示方法；2. 讲解二阶和三阶行列式的计算方法，通过示例演示具体计算过程；3. 引入行列式的性质，包括行列互换、行列式的乘法等；4. 练习行列式的计算和验证性质。

三、矩阵和行列式的应用1. 介绍矩阵和行列式在线性方程组中的应用，解释矩阵方程和行列式的关系；2. 解释矩阵和行列式在几何变换中的应用，包括旋转、缩放和平移等；3. 演示如何利用矩阵和行列式求解实际问题，如求解线性方程组和计算几何变换；4. 练习应用题，加深对矩阵和行列式应用的理解。

四、课堂小结1. 对本节课所学内容进行总结概括，重点回顾矩阵和行列式的基本概念和运算法则；2. 强调矩阵和行列式在数学和实际应用中的重要性；3. 激发学生对数学知识的兴趣，并鼓励他们多做练习和实践。

教学反思：本节课通过引入矩阵和行列式的概念，结合实例演示和练习题的练习，使学生初步掌握了矩阵和行列式的基本知识和运算方法。

在教学过程中，我注意语言表达的准确性和条理性，注重解释示例的详细计算步骤，以便学生能够理解和掌握。

高中数学中的矩阵运算与行列式数学是一门抽象而又实用的学科，而在高中阶段，矩阵运算与行列式是数学中的重要内容之一。

矩阵运算和行列式不仅在数学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将介绍高中数学中的矩阵运算与行列式，并探讨其应用。

矩阵是数学中的重要概念之一，它是由一系列数按照矩形排列而成的表格。

矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。

在矩阵的加法和减法中，要求矩阵的行数和列数相等。

加法和减法的运算规则与常规的加法和减法类似，即对应位置上的元素进行相加或相减。

而在数乘运算中，矩阵的每个元素都乘以一个常数。

矩阵的数乘运算可以改变矩阵的整体大小。

矩阵运算在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，矩阵运算被用来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。

在经济学中，矩阵运算被用来解决线性方程组，从而分析经济模型。

在物理学中，矩阵运算被用来描述量子力学中的态矢量和算符。

可以说，矩阵运算是现代科学和技术的重要工具之一。

行列式是矩阵的一个特殊的数值，它可以用来判断矩阵的性质和解决线性方程组。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的方法是按照定义进行计算。

行列式的定义是通过对矩阵的元素进行排列组合来计算的。

行列式的值可以是一个实数或者是一个复数。

行列式的应用也十分广泛。

在线性代数中，行列式被用来判断矩阵是否可逆。

如果一个矩阵的行列式不等于零，那么这个矩阵是可逆的。

在解决线性方程组时，行列式可以用来判断方程组是否有唯一解。

此外，行列式还可以用来计算矩阵的特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质。

除了矩阵运算和行列式，高中数学中还有其他与之相关的概念和方法。

例如，矩阵的转置、矩阵的乘法和矩阵的逆等。

矩阵的转置是将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

矩阵的乘法是将两个矩阵相乘得到一个新矩阵。

矩阵的逆是在矩阵乘法的基础上，找到一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。

综上所述，高中数学中的矩阵运算与行列式是数学中的重要内容之一。