2015届中考数学考点复习测试题1

2015中考数学总复习基础题强化训练测试题(五)时间：45分钟 满分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．在－3,0，－2 2，2四个数中，最小的数是( ) A ．－3 B ．0 C ．－2 2 D. 2 2．下列运算正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 5 B ．x 3－x ＝x 2C.a 2＋b 2＝a ＋b D ．(a －1)2＝a 2－13．已知，如图J1­1，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B ＝20°，∠D ＝40°，那么∠BOD 为( )图J1­1A ．40° B．50° C．60° D．70°4．不等式组⎩⎨⎧3x ＋2>－4，－x －的解集在数轴上表示正确的是( )A BC D5．多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图J1­2所示的折线统计图，下列说法正确的是( )图J1­2A ．平均数是58B ．众数是42C ．中位数是58D ．每月阅读数量超过40的有4个月6．如图J1­3，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，AC 是弦，AC ＝2 3，∠AOC 为( )A ．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．计算：4m ＋3＋m －1m ＋3＝__________. 8．如图J1­4，E ，F 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，BE ＝CF ，连接AE ，BF ，将△ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF ，旋转角为∠α(0°＜∠α＜180°)，则∠α＝________.9．某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一次抽样调查(每人只参加其中的一项活动)，调查结果如图.根据图形所提供的样本数据，可得学生参加科技活动的频率是____________．10．如图J1­6，点P 在双曲线y ＝kx (k ≠0)上，点P ′(1,2)与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为________________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11．先化简，再求值：(2a ＋b )(2a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ，其中a ＝－2，b ＝1.12．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，延长DE ，与AB 的延长线交于点F .求证：CD ＝BF .13．如图，有一长方形的仓库，一边长为5米．现要将它改建为简易住房，改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形，且卧室的面积大于卫生间的面积．若改建后卫生间的面积为6平方米，试求长方形仓库另一边的长．14．初三(1)班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动图中的①、②两个转盘(每个转盘分别被二等分和三等分)，两个转盘停止后，若指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目．试求出这个同学表演唱歌节目的概率(要求用树状图或列表方法求解)．15．已知抛物线y＝ax2－2ax－3a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A，B的坐标；(2)过点D作DH⊥y轴于点H，若DH＝HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)是否存在实数a，使四边形ABDC的面积为18，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．答案1．A 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A7．1 8.90° 9.0.2 10.y ＝－2x11．解：原式＝4a 2－b 2＋b 2－2ab ＝2a (2a －b )． 当a ＝－2，b ＝1时，原式＝2×(－2)×[2×(－2)－1]＝20.12．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，即DC ∥AF .∴∠CDF ＝∠F ，∠C ＝∠EBF . ∵E 为BC 的中点，∴CE ＝BE . ∴△DCE ≌△FBE .∴CD ＝BF .13．解：设长方形的另一边的长为x 米 由题意，得(x －5)[5－(x －5)]＝6， 解得x 1＝7，x 2＝8.当x ＝7时，卧室面积小于卫生间面积，故舍去． 答：长方形的另一边的长为8米． 14．解：画树状图如图97.图97由图可知，所有等可能的结果有6种，其中数字之和为奇数的有3种．∴P (表演唱歌)＝36＝12.15．解：(1)令y ＝0，得 ax 2－2ax －3a ＝0. ∵a ≠0，∴x 2－2x －3＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝3. ∵ 点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标(－1 , 0)，点B 的坐标(3 , 0)． (2)由y ＝ax 2－2ax －3a ，令x ＝0，得y ＝－3a ， ∴C (0 ，－3a )．又∵y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x －1)2－4a ， ∴D (1 ，－4a )．∴H (0，－4a )∴DH ＝HC ＝－4a －(－3a )＝－a ＝1. ∴a ＝－1.∴C (0 , 3)，D (1 , 4)．设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，把点C ，D 的坐标分别代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，k ＋b ＝4，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，k ＝1. ∴直线CD 的解析式为y ＝x ＋3.(3)存在实数a ，四边形ABDC 的面积为18.理由：S 四边形ABDC ＝12×(－3a )×1＋1×(－4a －3a )×12＋12×(－4a )×2＝18，解得a ＝－2.。

重庆市育才成功学校2015届中考数学一诊试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．1．在，﹣2，0，﹣3.4这四个数中，属于负分数的是（）A．B．﹣2 C．0 D．﹣3.42．（﹣4）2的算术平方根是（）A．4 B．±4C．2 D．±23．已知2a﹣b=﹣1，则4a﹣2b+1的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．34．一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为（）A．1440°B．1296°C．1152°D．1584°5．分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．46．下列说法正确的是（）A．一个游戏的中奖概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO的度数是（）A．28° B．30° C．31° D．62°9．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜310．2015年3月8日，学校组织女老师到重庆南山看樱花．早上，大客车从学校出发到南山重庆植物园，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后大客车加快速度行驶，按时到达南山重庆植物园．参观结束后，大客车匀速返回．其中，x表示客车从学校出发后所用时间，y表示客车离学校的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．11．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有9个，第（2）个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律．则第（10）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．72 B．64 C．54 D．5012．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡对应的横线上．13．中国政府宣布2015年的国防预算将在2014年的1300亿美元基础上增加约10%，达到1430亿美元，1430亿元用科学记数法表示为元．14．若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD= ．16．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC=，则图中阴影部分的面积是．17．一个口袋中装有分别标有﹣2，﹣，1，2，3五个数的完全相同的小球，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数记为a，则使得关于x的不等式组有解且关于x 的函数y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点的概率是．18．如图所示，在矩形ABC中，AB=4，AD=4，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，△BEF 沿直线EF翻折到△B′EF，连结DB′，B′C．当DB′最短时，则sin∠B′CF= ．三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．20．随着我市减负提质“1+5”行动计划的全面实施，某校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．先化简，再求值： +÷（2﹣x﹣），其中x是一元一次方程=x+的解．22．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）23．2014年9月重庆双福育才中学正式开学，在开学前几个月，学校为了装修教室和机房，计划购置一批新的投影仪和一批电脑．经市场调查，购买1台投影仪比买3台电脑多3000元，购买4台投影仪和5台电脑共需8万元．（1）求购买一台投影仪和一台电脑各需多少元？（2）根据学校实际情况，需购买投影仪和电脑共500台，且电脑的台数不多于投影仪台数的4倍，则当购买电脑多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用．24．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y=（x＞0）和y=﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y=kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y=﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且对称轴为x=1，点D为顶点，连接BD、CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）若抛物线对称轴右侧上一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标；（3）连接BC交DE于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤）秒，求使得△D'PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值．2015年重庆市育才成功学校中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．1．在，﹣2，0，﹣3.4这四个数中，属于负分数的是（）A．B．﹣2 C．0 D．﹣3.4【考点】有理数．【分析】根据小于0的分数是负分数，可得答案．【解答】解：﹣3.4是负分数，故选：D．【点评】本题考查的是有理数的认识，掌握有理数的分类是解题的关键，负分数是小于0的分数．2．（﹣4）2的算术平方根是（）A．4 B．±4C．2 D．±2【考点】算术平方根．【分析】首先计算（﹣4）2=16，再根据算术平方根的定义进一步计算即可求出16的算术平方根．【解答】解：∵（﹣4）2=16，所以16的算术平方根是4．故选A．【点评】此题考查了乘方运算和算术平方根的定义，比较简单．3．已知2a﹣b=﹣1，则4a﹣2b+1的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】4a﹣2b+1可以变形为：2（2a﹣b）+1，把已知的式子代入即可求解．【解答】解：4a﹣2b+1=2（2a﹣b）+1=﹣2+1=﹣1．故选A．【点评】本题考查了代数式的求值，正确把4a﹣2b+1可以变形为：2（2a﹣b）+1是解题的关键．4．一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为（）A．1440°B．1296°C．1152°D．1584°【考点】多边形内角与外角．【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的内角和计算公式得出结果即可．【解答】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：（n﹣2）×180°÷n=144°，解得：n=10．则内角和是：（10﹣2）×180=1440°．故选：A．【点评】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．5．分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣4=x，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．故选D【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．下列说法正确的是（）A．一个游戏的中奖概率是，则做100次这样的游戏一定会中奖B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8D．若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差．【分析】根据概率的意义，可判断A；根据调查方式，可判断B；根据众数、中位数的定义，可判断C；根据方差越小越稳定，可判断D．【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，可能会中奖、可能不中奖，故A错误；B、为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用抽样调查，故B错误；C、一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8，故C正确；D、若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了概率的意义，概率表示事件发生可能性的大小，而不是一定发生，注意方差越小越稳定．7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠3=60°，所以∠2=60°．【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选：D．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO的度数是（）A．28° B．30° C．31° D．62°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OC．根据圆周角定理求得∠AOC=2∠B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OC．∴∠AOC=2∠B=124°．∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO==28°．故选A．【点评】此题主要是考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．9．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3【考点】解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．【专题】判别式法．【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．10．2015年3月8日，学校组织女老师到重庆南山看樱花．早上，大客车从学校出发到南山重庆植物园，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后大客车加快速度行驶，按时到达南山重庆植物园．参观结束后，大客车匀速返回．其中，x表示客车从学校出发后所用时间，y表示客车离学校的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，可得答案．【解答】解：A、匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意；B、加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；C、参观时路程不变，故C不符合题意；D、返回时路程逐渐减少，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．11．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有9个，第（2）个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律．则第（10）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．72 B．64 C．54 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．【解答】解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，…第n个图形边长为1的小正方形有9+5×（n﹣1）=5n+4个，所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．12．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据B点的坐标是（2，3），求出k1的值是6；然后分别求出OC、BC的值是多少，再根据OC=BC，求出k2的值是多少；最后根据D点是反比例函数y=（k2≠0）和线段OB所在的直线的交点，求出D点的坐标是多少即可．【解答】解：因为反比例函数y=（k1≠0）过B点，所以k1=2×3=6；0C=，BC=3﹣，因为OC=BC，所以=3﹣，所以4=9﹣3k2，解得；线段OB所在的直线的方程是：y=x，由，可得，即D点的坐标是：（，）．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是求出k1、k2的值是多少，以及线段OB所在的直线的方程．二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡对应的横线上．13．中国政府宣布2015年的国防预算将在2014年的1300亿美元基础上增加约10%，达到1430亿美元，1430亿元用科学记数法表示为 1.43×1011元．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1430亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．【解答】解：1430亿=143 000 000 000=1.43×1011．故答案为：1.43×1011．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．14．若a＞3，则|6﹣2a|= 2a﹣6 （用含a的代数式表示）．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义解答即可．【解答】解：∵a＞3，∴6﹣2a＜0，∴|6﹣2a|=2a﹣6，故答案为：2a﹣6．【点评】此题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD= 1：20 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据等高三角形面积的比等于底的比和相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解出结果．【解答】解；∵S△BDE：S△DEC=1：4，∴BE：EC=1：4，∴BE：BC=1：5，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴==，设S△BED=k，则S△DEC=4k，S△ABC=25k，∴S△ADC=20k，∴S△BDE：S△DCA=1：20．故答案为：1：20．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，注意各三角形面积之间的关系是解题的关键．16．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC=，则图中阴影部分的面积是．【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】连接OT、OD、过O作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，求出∠OAM，求出∠AOT，求出OT∥AC，得出PC是圆的切线，得出等边三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面积和扇形OTD的面积．相减即可求出答案．【解答】解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，∵OA=OT，AT平分∠BAC，∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，∴∠OTA=∠CAT，∴OT∥AC，∵PC⊥AC，∴OT⊥PC，∵OT为半径，∴PC是⊙O的切线，∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，∴四边形OMCT是矩形，∴OM=TC=，∵OA=2，∴sin∠OAM=，∴∠OAM=60°，∴∠AOM=30°∵AC∥OT，∴∠AOT=180°﹣∠OAM=120°，∵∠OAM=60°，OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠TOD=120°﹣60°=60°，∵PC切⊙O于T，∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°，∴tan30°==，∴DC=1，∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD=×（2+1）×﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，梯形的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．17．一个口袋中装有分别标有﹣2，﹣，1，2，3五个数的完全相同的小球，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数记为a，则使得关于x的不等式组有解且关于x的函数y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点的概率是．【考点】概率公式；解一元一次不等式组；抛物线与x轴的交点．【分析】由关于x的不等式组有解，可得a≤1，由关于x的函数y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点，可得a=±2，继而利用概率公式即可求得答案．【解答】解：，由①得：x≥3a+2，由②得：x≤2a+3，∴当3a+2≤2a+3，即a≤1时，关于x的不等式组有解；∵y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点，∴△=（2）2﹣4（a﹣1）（a+1）=16﹣4a2=0，解得：a=±2，∴使得关于x的不等式组有解且关于x的函数y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点的是：﹣2；∴使得关于x的不等式组有解且关于x的函数y=（a﹣1）x2+2x+a+1与x轴有且只有一个交点的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集与二次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图所示，在矩形ABC中，AB=4，AD=4，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，△BEF沿直线EF翻折到△B′EF，连结DB′，B′C．当DB′最短时，则sin∠B′CF=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】当DB′最短时，E、B′、D共线，此时DE=6，DB′=4，作B′M⊥BC垂足为M，易知：B′M=，CM=，所以CB′=，sinB′CF=．【解答】解：由折叠可知：BE=B′E∴B′在以E为圆心，BE为半径的圆上，如图所示，此时DB′最短，由勾股定理得：ED=6，∵B′M⊥AB，B′N⊥BC，∴∠B′ME=∠B′NF=90°，∵∠MB′E+∠EB′N=∠NB′F+∠EB′N=90°∴∠MB′E=∠NB′F，∴△B′ME∽△DAE∴∴B′M=，EM=∴BN=B′M=，B′N=BM=BE+EM=，CN=BC﹣BN=，由勾股定理得：B′C=，∴sinB′CF=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线段最短、勾股定理、锐角三角函数和三角形的相似的判定和性质，此题的难点是发现何时线段DB′最短，比较抽象，有一定难度．三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．19．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．20．随着我市减负提质“1+5”行动计划的全面实施，某校决定围绕在“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．先化简，再求值： +÷（2﹣x﹣），其中x是一元一次方程=x+的解．【考点】分式的化简求值；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】原式第二项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：原式=+÷=﹣•=﹣=，方程去分母得：3x﹣2=2x+1，解得：x=3，∴当x﹦3时，原式﹦．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】（1）先过点E作ED⊥BC于D，由已知底部B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC．（2）由已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°可求出AD，则AB=AD﹣BD．【解答】解：（1）过点E作ED⊥BC于D，根据题意得：EF⊥FC，ED∥FC，∴四边形CDEF是矩形，已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，∴∠EBD=45°，∴BD=ED=FC=12，∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，答：建筑物BC的高度为13.6m．（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°，即∠AED=52°，∴AD=ED•tan52°≈12×1.28≈15.4，∴AB=AD﹣BD=15.4﹣12=3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．23．2014年9月重庆双福育才中学正式开学，在开学前几个月，学校为了装修教室和机房，计划购置一批新的投影仪和一批电脑．经市场调查，购买1台投影仪比买3台电脑多3000元，购买4台投影仪和5台电脑共需8万元．（1）求购买一台投影仪和一台电脑各需多少元？（2）根据学校实际情况，需购买投影仪和电脑共500台，且电脑的台数不多于投影仪台数的4倍，则当购买电脑多少台时，学校需要的总费用最少？并求出最少的费用．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设投影仪每台x元，电脑每台y元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设电脑为a台，则投影仪为（500﹣a）台，根据电脑的台数不多于投影仪台数的4倍，列出一次函数分析解答即可．【解答】解：（1）设购买一台笔记本电脑需x元，购买1台投影仪需y元，所以得到方程组：，解得：x=4000，y=15000，所以购买买一台笔记本电脑需4000元，购买1台投影仪需15000元；（2）设电脑为a台，则投影仪为（500﹣a）台，总费用为W元；∴a≤4（500﹣a），则：a≤400，W=4000a+15000（500﹣a）=﹣11000a+7500000∵﹣11000＜0∴W随a的增大而减小；∴当a=400时，W的最小值=3100000=310万元；答：当购买电脑400台时，总费用最少为310万元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，总价=单价×数量的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】证明题．【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE与△ACF全等，利用全等三角形的性质得出∠AGB=90°证明即可；（2）作IC的中点M，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△CDE沿直线BC翻折到△C DF，∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE=∠FAC，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE；（2）作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，在△AEH与△FDH中，∴△AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI．【点评】此题考查翻折问题，关键是利用SAS和AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质进行分析解答．五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y=（x＞0）和y=﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y=kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y=﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在x的取值范围内，y=（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y=﹣2x+1（﹣4＜x≤2）的边界值为9，是有界函数；（2）当k＞0时，根据有界函数的定义确定函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点；当k＜0时，根据有界函数的定义确定函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点；利用待定系数法解答即可；（3）先设m＞1，函数向上平移m个单位后，x=0时，y=m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y=﹣x2所过的点，结合平移，求出0≤m≤或≤m≤1．【解答】解：（1）y=（x＞0）不是有界函数；y=﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y=kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y=x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y=kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y=﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x=0时，y=m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y=﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．【点评】本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质．26．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且对称轴为x=1，点D为顶点，连接BD、CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）若抛物线对称轴右侧上一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标；（3）连接BC交DE于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤）秒，求使得△D'PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据A、B关于对称轴为x=1对称，且A（﹣1，0），得到B（3，0），所以﹣1，3是方程ax2+bx﹣3=0的根，得到﹣1+3=，求出a=1，b=﹣2，所以抛物线y=x2﹣2x﹣3，当x=1时，y=﹣4，即可确定D（1，﹣4）．（2）根据点B，C的坐标判断△BCO为等腰直角三角形，得到∠OCB=45°，再求出BC，CD，BD的长度，利用勾股定理逆定理判定BD⊥CD，利用OC∥DE，所以∠OCB+∠BCD+∠CDE=180°，得到∠CDE=45°，再证明∠OCM=∠CDB，延长CM交x轴于点F，则R t△OCF∽△CDB，得到，得到OF=9，确定F（9，0），得到直线CF：y=，和抛物线联立，解方程组即可确定M点的坐标．（3）分两种情况作答，画出图形，利用解三角形，即可解答．【解答】解：∵A、B关于对称轴为x=1对称，且A（﹣1，0），∴B（3，0），∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣3=0的根，∴﹣1+3=，解得：a=1，b=﹣2，∴抛物线y=x2﹣2x﹣3，当x=1时，y=﹣4，∴D（1，﹣4）．（2）如图①，。

2
计
c θ
2011 2012 2013 2014 2015 年
（第 24 题图）
C D E A （第 7 题图） （第 8 题图）
· O （第 9 题图）
B
10. 在面积为 60 的□ABCD 中，过点 A 作 AE⊥直线 BC 于点 E，作 AF⊥直线 CD 于点 F，若 AB＝10，BC ＝12，则 CE＋CF 的值为…………………………………………（ ▲ ） A. 22＋11 3 C. 22＋11 3或 22－11 3 B. 22－11 3 D. 22＋11 3或 2＋ 3
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共计 16 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置 上．） ．．．．．．．
1
11．已知|x|＝3，则 x 的值是
▲
. ▲ .
12．函数 y＝ 3－x中自变量 x 的取值范围是 ▲ .
13．据报载，2014 年我国发展固定宽带接入新用户 25000000 户，将 25000000 用科学记数法可表示为 14．已知扇形的圆心角为 120º，半径为 6cm，则扇形的弧长为 为矩形，只需再加上的一个条件是 ▲ ． ▲
22．（本题满分 8 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个完全相同的标有数字 1、2、3、4 的小球. 小明从 布袋里随机取出一个小球， 记下数字为 x， 小红从布袋里剩下的小球中随机取出一个， 记下数字为 y. 算由 x、y 确定的点（x，y）在函数 y＝－x＋5 的图象上的概率. 23．（本题满分 8 分）如图所示，A、B 两个旅游点从 2011 年至 2015 年“清明小长假”期间的旅游人数 变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题： （1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求 A、B 两个旅游点从 2011 年到 2015 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一 句话对这两个旅游点的情况进行评价； （3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数 为 4 万人. A 旅游点决定提高门票价格来控制游客数量. 已知游客数量 y（万人）与门票价格 x（元） x 之间满足函数关系 y＝5－ . 若要使 A 旅游点的游客人数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多 100 少元？

\（一）选择题（每小题3分，共30分）1．内角和与外角和相等的多边形是……………………………………………………（ ）（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形【答案】B ． 2．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………………（ ）（A ）菱形 （B ）矩形（C ）梯形 （D ）两条对角线相等的四边形【答案】A ．3．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有…………………………………（ ）（A ）2个 （B ）1个 （C ）4个 （D ）3个【提示】第一个图形不是中心对称图形．【答案】D ．4．已知下列四个命题：（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （4）四边都相等的四边形是正方形．其中真命题的个数是………………（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0【提示】（3）正确．【答案】A ． 5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于………………………………（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°【答案】C ．6．下列命题中的真命题是………………………………………………………………（ ）（A ）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （B ）有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形 （C ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（D ）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C ．7．如图，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是………………………………………………（ ）（A ）7.5 （B ）30 （C ）15 （D ）24【答案】C ．8．矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为………………………………………………………………………………………（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm【提示】长边被分成的两部分之中，有一部分与矩形短边相等．【答案】B ． 9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有……………………………………………………………………………………（ ） （A ）1对 （B ）3对 （C ）2对 （D ）4对【提示】以AB 和CD 为对应边的两个三角形．【答案】B ．10．菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为…………………（ ）（A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 【提示】若菱形两对角线为a 和b ，则S 菱形＝2ab ．【答案】D ．（二）填空题（每小题3分，共24分）11．如图，在□ABCD 中，则对角线AC 、BD 相交于O ，图中全等的三角形共有____对．【提示】考察以AB 、CD 为对应边的三角形，有3对全等三角形；抹去AB 、CD 两边，又有1对全等三角形．【答案】4．12．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形． 【提示】360°÷每个外角的度数．【答案】5．13．梯形的上底边长为5，下底边长为9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的面积的比为_______．【提示】先算出中位线的长，然后用梯形面积公式计算．【答案】43．14．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝AD ＝2 cm ，则这个梯形的中位线长为_____cm ．【提示】BC ＝6 cm ．【答案】4．15．请画出把下列矩形的面积二等分的直线，并填空（一个矩形只画一条直线，不写画法）．在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有_____条，这些直线都必须经过此矩形的_____点．【答案】无数；对称中心（或两条对角线的交点）．16．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ．若AD ＝6，BC ＝10，则GH 的长是______．【答案】2．17．如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ，AE ＝3，则DE 的长为______．【提示】OA ＝OD ＝2 OE ，用勾股定理求出OE 和OA 的长． 【答案】3．18．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD的周长为40，则S □ABCD 为______．【提示】在□ABCD 中，AE ·BC ＝AF ·CD ＝S □ABCD ，BC ＋CD ＝20，求BC 或CD ． 【答案】48．（三）证明题（每小题5分，共20分）19．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，P 是AD 中点．求证：BP ＝PC ．【提示】证明△ABP ≌△DCP ．【答案】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∵ AB ＝DC ， ∴ ∠A ＝∠D ． ∵ P 是AD 中点， ∴ AP ＝DP ．在△ABP 和△DCP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=．，，DP AP D A DC AB ∴ △ABP ≌△DCP ． ∴ PB ＝PC ．20．已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF ＝CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【提示】证明△ADE ≌△CBF ，得到AD ＝BC 即可． 【答案】在△ADE 和△CBF 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAE ＝∠BCF ． ∵ ED ∥BF ，∴ ∠DEF ＝∠BFE ． ∴ ∠DEA ＝∠BFC ． ∵ AF ＝CE ， ∴ AE ＝CF ．∴ △ADE ≌△CBF ． ∴ AD ＝BC ． 又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形．21．已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 是AB 上的两点，且AF ＝BE ．求证：∠ADE ＝∠BCF ．【提示】证明Rt△ADE≌Rt△BCF．【答案】在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．又AF＝BE，∴AF－EF＝BE－EF，即AE＝BF．∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠ADE＝∠BCF．22．证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）【提示】作辅助线，构造等腰三角形．【答案】已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C（图（1））．求证：AB＝DC．【证法一】如图（1），过点D作DE∥AB，交BC于E．图（1）∴∠B＝∠1．又∠B＝∠C，∴∠C＝1．∴DE＝DC．又AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AB＝DE．∴AB＝DC．【证法二】如图（2），分别延长BA、CD，交于点E．图（2）∵∠B＝∠C，∴BE＝CE．∵AD∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴BE－AE＝CE－DE，即AB＝DC．（四）计算题（每小题6分，共12分）23．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．【提示】证明BE⊥EC和E为AD中点．【答案】在□ABCD 中，∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＋∠BCD ＝180°．∵ ∠ABE ＝∠EBC ，∠BCE ＝∠ECD ，∴ ∠EBC ＋∠BCE ＝21（∠ABC ＋∠BCD ）＝90°．∴ ∠BEC ＝90°．∴ BC 2＝BE 2＋CE 2＝122＋52＝132． ∴ BC ＝13． ∵ AD ∥BC ，∴ ∠AEB ＝∠EBC ． ∴ ∠AEB ＝∠ABE ． ∴ AB ＝AE ． 同理 CD ＝ED ． ∵ AB ＝CD ， ∴ AB ＝AE ＝CD ＝ED ＝21BC ＝6.5． ∴ □ABCD 的周长＝2（AB ＋BC ）＝2（6．5＋13）＝39． S □ABCD ＝2 S △BCE ＝2·21BE ·EC ＝12×5＝60．24．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，BD ⊥DC 于D ，且∠C ＝60°，若AD ＝5 cm ，求梯形的腰长．【提示】求出∠CBD ，∠ABD 和∠ADC 的度数，证明AB ＝AD ，或者过D 点作DE ⊥BC 于E ，CE 为下底与上底的差的一半，又是CD 的一半，CD 又是BC 的一半．从中找出CD 与AD 的关系． 【解法一】∵ BD ⊥CD ，∠C ＝60°，∴ ∠CBD ＝30°．在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠C ＝60°， ∴ ∠ABD ＝∠CBD ＝30°． ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADB ＝∠CBD ． ∴ ∠ABD ＝∠ADB ． ∴ AB ＝AD ＝5（cm ）．【解法二】过D 点作DE ⊥BC ，垂足为E 点．∵ 在Rt △CDE 中，∠CDE ＝30°，∴ CE ＝21CD ． 又 CE ＝21（BC －AD ），∴ CD ＝BC －AD ． 即 BC ＝CD ＋AD ．又 在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°， ∴ CD ＝21BC ． ∴ CD ＝2 CD －AD ． 即 CD ＝AD ＝5（cm ）．（五）解答题（每小题7分，共14分）25．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中： （1）∠EAF 的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF 的周长是否有变化？请说明理由．【提示】证明△EAH ≌△EAB ，△FAH ≌△FAD ． 【答案】（1）∠EAF 始终等于45°．证明如下：在△EAH 和△EAB 中，∵ AH ⊥EF ，∴ ∠AHE ＝90°＝∠B ．又 AH ＝AB ，AE ＝AE ，∴ Rt △EAH ≌Rt △EAB ． ∴ ∠EAH ＝∠EAB ．同理 ∠HAF ＝∠DAF ．∴ ∠EAF ＝∠EAH ＋∠FAH＝∠EAB ＋∠FAD＝21∠BAD ＝45°．因此，当EF 在移动过程中，∠EAF 始终为45°角． （2）△ECF 的周长不变．证明如下： ∵ △EAH ≌△EAB ， ∴ EH ＝EB ． 同理 FH ＝FD ．∴△ECF 周长＝EC ＋CF ＋EH ＋HF＝EC ＋CF ＋BE ＋DF ＝BC ＋CD ＝定长．26．已知：如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．【提示】连结AC 和CD ，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN 为平行四边形，然后证明△AEC ≌△DEB ，得到AC ＝BD ，再证明□PQMN 为菱形． 【答案】四边形PQMN 为菱形．证明如下：如图，连结AC 、BD ．∵ PQ为△ABC 的中位线，∴ PQ21AC ． 同理 MN 21AC ．∴ MN PQ ，∴ 四边形PQMN 为平行四边形． 在△AEC 和△DEB 中，AE ＝DE ，EC ＝EB ，∠AED ＝60°＝∠CEB ， 即 ∠AEC ＝∠DEB ． ∴ △AEC ≌△DEB ． ∴ AC ＝BD ． ∴ PQ ＝21AC ＝21BD ＝PN ． ∴ □PQMN 为菱形．。