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《数列》强化训练题及答案课件

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新课标必修五第二章《数列》强化训练题1已知三个正数成等差数列，如果最小的数乘以 2,最大的数加上7,则成等 比数列，且它们的积为1000，求等差数列的公差。

2.设a n 是一个公差为d(d 0)的等差数列，它的前10项和S io 110 ,且a i ,a 2，a 4成等比数列。

(1) 证明 a i d ;(2) 求公差d 的值和数列a n 的通项公式.3•—个首项为正数的等差数列中，前 3项的和等于前11项的和. (1) 若这个数列前n 项和最大，求n 的值. (2) 求该数列前14项的和S4•设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项的和，已知S 7 =7，S 15=75, T 为数列｛|」|｝n的前n 项的和，求T n6 .已知数列a n 中，S n 是其前n 项的和，且对不小于 2的正整数n 满足关系⑴求 a 1 ,a 2,a 3; (II )求数列a n 的通项. 7.数列a n 共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1 < € N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k 1项的平均值是79。

(1) 求数列a n 的通项。

5.已知数列a n 中，a n 0, S n a 1 a 2a n, 且a n6S n a n 3，求 S n 。

1 a nS n a n 1 .(2)求出k的值并指出抽取的是第几项。

8. 数列a n的前n项和为S n,且S n=2a n-1 ,数列b n满足d=2, b n 1 a n b n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列b n的前n项和为T n9. 已知等差数列a n的首项a i =1，公差d >0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列b n的第二、三、四项(1)求数列a n与b n的通项公式；(2)设数列｛6｝对任意自然数n均有C3a n !成立，求b1 b2 b3 b nC i C2 C3 C2007 的值.10. 设数列a n前项和为S n，且(3 m)S n 2ma n m 3 (nN ),其中m为常数,m 3.(1)求证：数列a n是等比数列；(2 ) 若数列a n 的公比q f (m),数列b n 满足3 1b1 a1 b n— f(b n1)(n N ,n 2),求证：一为等差数列，求b n.2 b n11 .已知数列｛a n｝中,a1 1,前n项和为S n,对于任意的n 2(n N ),33S n 4, a n,2 S n 1总成等差数列.2(1)求a2, a3, a4 的值；(2)求通项a n ;12. 已知数列｛a n｝满足2a n 1 a n a n 2( n 1,2,3,)，它的前n项和为S n，且a3 5 , S636 .(I)求a(U)已知等比数列｛b n｝满足b i b2 1 a , b4 b5 a3 a4 (a 1)，设数列｛a n b n｝的前n项和为T n，求T n •13. 已知等差数列a n中，a2=8，前10项和S io=185.(1)求数列a n的通项；(2)若从数列a n中依次取第2项、第4项、第8项……第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列b n ,求数列b n的前n项和T n.14. 已知数列｛a n｝是等差数列，且a1 2,a1 a? a3 12.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)令b n a n X n(x R).求数列b n前n项和的公式.115. 设正数数列｛a n｝的前n项和S n满足S n -(a n 1)2.求：4(I)求数列｛a n｝的通项公式；1(II )设b n ,记数列｛b n｝的前n项和为T n，求T na n a n 116. 设数列｛a n｝的前n项和为S n，若S n是首项为S1各项均为正数且公比为q 的等比数列.(I)求数列｛a n｝的通项公式a n (用S1和q表示)；(U)试比较a n a n 2与2a n 1的大小，并证明你的结论.新课标必修五第二章《数列》强化训练题参考答案1.因成等比数列的三个数的积为1000,故设成等比数列的三个数为W,10,10q. q当成等差的三个正数为5 5,10,10q 7 时，有(10qq q7)520，解得q 或2q 1（舍去）。

此时2,2 10, 18成等差数列，公差为当成等差的三个正数为107,10,5q 时,q10有（一?）q5q 20，类似可求得公差为22.（1）证明:因a1, a2 ,a4成等比数列，故a?a£4，而a n 是等差数列, 有a? a 1 d ,a4 a1 3d ,于是® d)2a1 (a1 3d),即a j 2a i d d2 2a1 3a1d ,化简得a1 d(2)解: 由条件S10110和S1010a1 1^-9d，得到2 10a1 45d 110，由（1），a1 d ,代入上式得55d 110，故d所以a n a1 (n1)d2n,,2,3,3. (1)由已知S3 Sn，得a4 a511，a6 a10 a11又a4 a 11 a5 a® a? a8 .所以a? a8因数列首项为正，故公差d0，且a? 0, a8（2 ）设a n首项为a1，公差为,S3 S11,即3a1339 d 11a111(11 ◎d, 2a1 13d 0.22故 S 14 14a i 14(14 1)d 7(2a i 13d) 0.2 4•设数列｛a n ｝的公差为d ，则7a1 21d 7 ，解之得: 15a 1 105d 752，所以S nn(n 5) 2,则b n 是等差数列，设S'n b 1b 2b nn 2 9nb n解得: 所以d,b 2,b 3, b 4小于 0, n 6时,b n 0n 5 时，T n |b 1 | |b 2| |b n |n 6时， T n |b 1 | Ib 2lIb 5l(b 1 b 2d) b 62S'5)—S'5 (S'n当 当 2n小29n n ；4|b 6 ||b n |b n9n 40所以T n9n 4 n 2 9n 4045. 由已知,a 16a 1 a 1 3，得a 1且S n1当n 2时，a n S n S n16a n (a na n 0a na n 10,所以 a n a n 1111 6. (I ) a 1 、 a 2、 a 3248(II )由 1 a n S na n 1 得 1 a n 1整理得：a n a n 1 a n a n 130 ,1 /3) an 1(a n 163),3,3n(n S n1)o2S n 1 a n 2 ,这两式相减，得3)。

n (a n10. (1)由(3m)s n 2ma n m 3 得(3m )S n2ma n m 3,两式相减得（3 m)a n 1 2ma n , m3,a n 1a n2m m 3a n 是等比数列。

(2) b 1 a 11,q f (m)2m m 3解得38 k 40，又k N *，所以k 39，此时i 20 &(1)当 n=1 时,a i =2a i -1，二 a i =1, 当 n 》2 时，a n =S n -S n-1 =2a n -1-2a n-1+ 1 , - - a n =2a n-1.于是数列｛a n ｝是首项为1，公比为2的等比数列.••• a n =2n-1.(2) - b n+1=a n + b n ,. . b n+1 -b n =2 . 从而 b n -b n-1 =2n 2 ,b n-1-b n-2=2 n-3, b 2-b 1=1,以上等式相加，得 b n -b 1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1，又 b 1=2, • b n =2n-1+1T n =b 1+b 2+…+b n =(2°+21+…+2n-1)+n.=2 n -1+ n.(1)由题意得(a 什d)(a 1+13d)=(a 什4d)2(d >0).解得 d=2, • a n =2n-1,可得 b n =3n-1.c n⑵当n=1时，C 1=3;当n 》2时，由 一=a n+1 -a n ，得b n故 5+C 2+C 3+…+C 2007=3+2 X3+2 X32+…+2 x 3006= 32007a n a n 1 a n a n 1 a n 2,a n 1化简得，1，所以数列｛a n ｝ a n 2227. (1)a n S n S n 1 2n n 2(n 1)2 (n 1)4n 1(1⑵设抽取的是第i （ 1 i k ）项，且a i4i 1 o依题意，79( k 1) a i S k ，即 79(k1) 4i1 2k2kk 239k 的通项a nk)解得 ik 239k 240 ，由1 i40 22k 39k40 21 2n9. 1 3( n 1), C n =2 3n 1，故 C n =n 12?3n 1(n 2).则 b n d q n 1n 1n 1a ， a nb n(2n 1)aT n 1 3a 5a 2 7a 3 (2n 1)a n 1(n)设等比数列｛b n ｝的公比为q ,由 b 1(13 q) 1 :得 q a ，b 1 dq 3(1 q) a 3(1 a)11. (1) 由题意知2a n3S n42 -S n2 1 ,a n3S n 4( n2)由a 11 1可得a 2, a 3 21 ,a 4 41 8(2)当 n2时，a n 3S n 4, a n13S n 14,两式相减得a n 1a n3a n 1成等比数列a n 1b n3b n 3b n 1b n b n 11 是1为首项 11为公比的等差数列 b n31 n 1 n2 —1b n 3 3，3b nn 2丄为常数2a n其中a 212，qa n1)n 12. (I) 由2a na na n 2 得 an 2则数列｛a n ｝是等差数列.(n 1)1 (n 2)a na 1 2d 6a 1 15d 5,36.a 1 d 1, 2.因此, a n 2n 1 .3 2b n i b n b n 1 f(b n 1)22 b n 13所以，T n2(1 a n) 1 (2n 1)a n(1 a)2 1 a当a 1时，T n n2.a1d 813. (1)设｛a n｝公差为d,有10 910a1 丁d解得a1=5,d=3,「. a n=a1+(n —1)d=3n+2⑵依题意b n a2n 3 2n2二T n=b1+b2+…+ b n=(3 0+2)+(3 22+2)+ …+(3 x n22)=3(2 1+22+- +2n)+2n=6 X2n+2n-6.1时，①式减去②式，得(1 x)S 2(x x2 x n) 2nx n 12x(1 x n)2nx n 1所以S2x(1 x n) 2nx n 17(1 x)1 时，S n 2n n(n 1)综上可得当x 1 时,S n n(n 1); 当x 1时, S n2x(1 x n) 2nx n 1(1 x)2 1 x当a 1 时，aT n a 3a2 5a3 7a4(2n 1)a n由①-②得(1 a)T n 1 2a 2a2 2a32a n 1(2n 1)a n2(1 a n) 1 a 1 (2n n1)a18514 . ( I )解:设数列{a n}公差为d ,贝U a1a2a33a 13d 12,又a1 2,所以d 2.所以a n 2n.(n)解：令Snb1 b2b n，则由b n 2nx n,得S n 22x 4x n 1(2n 2)x 2nx n,①xS n 2x2 4x3(2n 2)x n2nx n 1,②4 115. ( I )S n(a n 1)2①一②得 a n 整理得（a n Q a n 0 a n a n 1 S n4(an1a n 1 )( a na n a n2 0即 a n {a n }是等差数列. 又a 1 S 1 1(a 1 1) (II ) b nT n 1 2[(1 16.( I)： a na n 1 3) S n a n 11 (3 1)214(an1)1；(a n11)a n 1 2)2(n 2)a 11,a n2n(2n 1)(2 n 1) 1(怎1 4) 1 (2n 1 (12n1 -1) n 2n 1是各项均为正数的等比数列 •…SS ’q1(q0).当 n=1 时，a 1=S 1, 当 n 2 时,a n S n S n 1 S 1 (q 1)q n S 1annS(q 1)q(n 2(n1) 2)(n)当 n=1 时,a 1 a 32a 2S 1S 1(q 1)q2S 1(q 1) S 1[(q0.a n a n 2 2a n 15(q 1)q n 2S(q1)q n 2$ (q 1)q n 1S 1 (q 1)3q n 2因为S1 0,q n 20. 所以①当q=1 时，(q 1)3 0, a n a n 2 2a n 1 .②当0 q 1时, (q 1)30, a n a n 2 2a n 1.③当q 1时, (q 1)30, a n a n 2 2a n 1 .综上可知：当n=1 时，a1 a3 2a2当n 2时,若q 1,则a n a n 2 2a n 1;若° q 1,则a n a. 2 2a. 1；若q 1,则a. a. 2 2a.!.。

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高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题(含答案解析)

高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。

人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (1)(含答案解析)

人教A版高中数学选修二第四章《数列》提高训练题 (1)(含答案解析)

（1）求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列；
（2）至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)；
（3）求an，bn的表达式．
34．已知数列{an}的通项公式是 ，求其前n项和Sn.
35．设等差数列 的前 项和为 ， ， ， .其中 且 ，则数列 的前 项和的最大值为________.
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当 时， ，∴ ，故C正确；
因为 ， ，所以满足条件的 的最大值为32，故D错误．
故选：AC．
11．ABC
【解析】
分 和 两种情况讨论，即可求解.
∵等差数列 ， 的前n项和为 ， ，
∴ ，
∴ ，又
∴
故选：A.
9．D
【解析】
推导出 ， ，由 ，得 ，从而 ，进而 或 ．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的 的值的个数．
解：由题意知 ， ，
由 ，得 ， ， 或 ．
①当 时， ， ， 或 ， 或 ．
②若 ，则 ， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
50．设数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案与解析】
1．A
【解析】
根据等比数列的通项公式、求和公式求解即可.
设等比数列{an}的公比为q，则q>0．
∵a1＋3a3＝ ，S3＝ ，
∴a1＋3a1q2＝ ，a1(1＋q＋q2)＝ ，联立解得a1＝2，q＝ ．
则a4＝2× ＝
20．已知数列{an}中，a1＝1， ，则数列{an}的通项公式an＝________.
21．如图，将数列 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，则 ________.
高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件

高考数学二轮复习考点十二《数列综合练习》课件


数列，当 n 为偶数时，bn＋2＝bn＋1，数列为以 1 为公差的等差数列，∴S23
1－212
11×（11－1）
＝(b1＋b3＋…＋b23)＋(b2＋b4＋…＋b22)＝ 1－2 ＋11×4＋
2
×1＝212－1＋44＋55＝4194.
2．等差数列{an}中，a1＋a2＝152，a2＋a5＝4，设 bn＝[an]，[x]表示不超 过 x 的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前 8 项和 S8＝( )
A．12<a2<1
B．{an}是递增数列
C．12<a3<34
D．34<a2022<1
答案 ABD
解析 由 an＋1＝an＋ln (2－an)，0<a1<12，设 f(x)＝x＋ln (2－x)，则 f′(x) ＝1－2－1 x＝12－ －xx，所以当 0<x<1 时，f′(x)>0，即 f(x)在(0，1)上单调递增， 所以 f(0)<f(x)<f(1)，即12＝ln e<ln 2<f(x)<1＋ln 1＝1，所以12<f(x)<1，即12 <an<1(n≥2)，故 A 正确；因为 f(x)在(0，1)上单调递增，0<an<1(n∈N*)，所 以 an＋1－an＝ln (2－an)>ln (2－1)＝0，所以{an}是递增数列，故 B项中，只有一项符合题目要求) 1．已知数列{bn}满足 b1＝1，b2＝4，bn＋2＝1＋sin2n2πbn＋cos2n2π，则该 数列的前 23 项和为( ) A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
答案 A
解析 由题意，得当 n 为奇数时，bn＋2＝2bn，数列为以 2 为公比的等比
高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析

高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析

1 × (1 - 2) n
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,

( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+