环量与涡

环量与涡
首先给出一些在自然界和工程中常见的涡现象
龙卷风海洋表面的旋涡
点燃火柴产生的涡翼尖涡
三角翼的前缘涡
2.5.1环量与涡的概念
研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。

环量的定义
在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。

像力做功的计算方法一样，也形象地速度绕封闭曲线的速度功。

速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。

如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量u,v,w,把线段ds也分解成dx,dy,dz三个方向的三个线段，有
于是环量表达式为：
如果流动是无旋的，存在位函数Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏导数表达：
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。

但是对于有旋流动，上述结论并不成立。

绕任意一条封闭量一般等于零。

涡量概念
是指流场中任何一点微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz，称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。

在有旋流动中的速年Thomson首先引进的。

在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合为一个合角速度是：
旋转轴线都按右手定则确定。

合角速度是个向量，它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。

涡线的微分方刻，t为参量）。

给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。

由封闭的涡面组成的管状涡面称为涡管。

涡线是截面积趋于零的涡管。

涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封
涡量在一个截面上的面积分称为涡通量（涡强），在平面问题中，涡通量就是：。

在三维空间问题中，涡通量就是：，式中的S是任意形状空间曲面，dS的为曲面的微元面积
2.5.2环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量是否存在联系，如果存在关系如何。

为回答这个问题，首先考察二维流场。

在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块微小量并求和，得到总的速度环量。

对于微元ABCD，速度环量为：
绕整个封闭曲线的速度环量为：
上式为二维问题中的格林公式。

沿平面上一封闭围线l做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之和，即等于涡通量。

如果围线内没有涡，那末沿围线的环量必是零。

如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的面积里没有涡，那会改变。

但是速度环量等于零，不能说明围线内无涡。

推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直影值。

沿一块有限大的曲面S的围线L的环量仍等于S面上各点的二倍角速度与面积dS点积。

即：
其实这公式是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间的关系。

即沿空间封闭曲线L的环量，等于穿过张在L上任意曲面S上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，只跟围线所关。

2.5.3涡的诱导速度
一条强度为Γ的涡线的一段ds对线外的一点P会产生一个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。

表达涡段所产生的式是：
这个dv是一个垂直于线段ds与受扰点P所组成的平面的速度（如图），其值正比于涡强Γ和涡段长度ds，但反比于距离外还要乘上r与ds的夹角的θ的正弦。

这个公式在形式上和电磁学中电磁感应的比奥—萨瓦公式一样，仍叫比奥—萨瓦
现在把一条强度为Γ的直涡线对线外一点所产生的诱导速度写一下。

参看下图。

AB是涡线，P为线外一点，P到AB的距离微段ds与P的连线和AB垂线PN之间夹角为γ，则：
再令PA与AB的夹角为α；PB与BA的夹角为β。

上式积分，γ由到得：
这个诱导速度是垂直于纸面的，按图示Γ的方向，它向外指。

如果涡线一头是无限长的，那就有：
如果涡线是半无限长，且P点至涡线之垂直足N与涡线的一端重合，则：
如果涡线两头都伸展到无限远，则：
涡线和环量的概念在空气动力学中十分重要。

凡是升力的问题都和涡及环量有关。

2.5.4理想流中的涡定理
对于理想正压流体，在质量力有势条件下，关于涡量场的Helmholtz三大定理（1858年，在“论有旋流动时运动方程的积分的）。

定理1沿涡线或涡管的涡强不变（或涡通量不变）
见图，在涡管上两条围线PQR和P’Q’R’作两条重合的连线PP’和RR’，
沿P’PQRR’Q’P’这样一条围线计算环量，由于所张曲面就是原来涡管的一部分，没有涡线穿过，故总的环量为零：
但由于：
故由此式得：。

这就是说沿涡管，不论在什么地方计算它的环量（涡强），其值都是相同的。

这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第定理1的推广：一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也可以体的边界或自由边界（如自由液面）
这条定理可以用第一定理的结论推演而得到证明。

第一定理说，涡强沿涡管不变。

如果涡管到某处突然中止了，那末涡强也为零，而这是违反第一定理的，所以是不可能的。

这条定理称为海姆霍兹第二定理，或简称第二涡定理。

上述涡管的三种存在形式，都有实际的例子。

吸香烟的人会吐出烟圈来，烟圈是一种自相连接的涡环。

三维机翼上的涡线（在左右两端折转向后，成为尾涡，向后伸展到无限远的后方去。

在二维风洞中做机翼的实验时，机翼上的涡线（翼展方向的洞壁。

定理2在某时刻构成涡线和涡管的流体质点，在以后运动过程中仍将构成涡线和涡管（涡线保持定理）
说明：涡线和涡管随着构成它的流体质点一起运动。

定理3涡的强度不随时间变化，既不会增强，也不会削弱或消失
上述三大定理说明，对于理想正压流体，在质量力有势条件下，流体的涡旋运动既不能产生，也不能消亡。

也就是，有旋运旋，无旋运动永远保持无旋。

那么旋涡运动的产生和消亡有三个原因：粘性流体，非正压流体（斜压流体），质量力无势。

势，正压流体，流体的粘性是产生涡、消亡涡、改变涡强的重要原因。

不过空气的粘性是很小的，机翼上的涡随着气流流下去，离机翼很远之后它对机翼的作用就趋于零了，而在离机翼不太远的使涡强的衰减并不很显著，所以计算涡对机翼的作用时，可以不必考虑粘性的衰减作用，当作它在理想流中强度不衰减去。