13.概率及其计算

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、 切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、 大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、 中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为 」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分 大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。

第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A A A吸收律：A A AA (AB) A A (A B)A B AB A (AB)反演律：A B AB AB A Bn n n n A概率公式整理1.随机事件及其概率A i 1Ai 1Ai 1Ai 12•概率的定义及其计算P(a X b) P(XF(b)5.离散型随机变量(1) 0 -1分布k 1p (1 p)P(X k)(2)二项分布B(n, p) P(X k) C：p k(1* Possion 定理lim np nnP(A) 1 P(A)P(B A) P(B) P(A)有Hm Cn p k(1 对任意两个事件A, B,有P(B A) P(B) P(AB)加法公式：对任意两个事件A, B,有P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(B)b) P(X a)F(a)k, kn kp)P n)0,10,1, , nk!0,1,2,⑶ Poisson分布P(kP(X k) e订，k6.连续型随机变量0,1,2 ,nP(i 1A)3.条件概率乘法公式P(A) 1P(AB) P(A) P B A P(AA2 A n)全概率公式P(A)i 1Bayes公式P(B k A)P(A i A j)nP(AB)丽(P(A) 0)nP(AAjA)j k n(1)(均匀分布(AA2(明)1b af(x)0,0,其他P(AJPA2 A(P(AA2P(AB i)P(AB k)P(A)4.随机变量及其分布分布函数计算A n | A1 A A n1) 0)P(B i) P(A B i) 1P(BQP(ABQ nP(B i)P(AB i) i 1F(x)A n 1(2)指数分布f (x)F(x)E(0, 其他0,1 e(3)正态分布1f(x)石(xX彳 (t 厂F(x) 一 X e 亍* N (0,1)— 标准正态分布x 2 Tdt fYx(yx )f (x,y) f x (X )f x|Y (x y) f Y (y)f x (X )(x)2 e10.随机变量的数字特征数学期望E(X)t 2乏dt X k P k 1(x)...一 V2 7•多维随机变量及其分布 二维随机变量(X ,Y )的分布函数 x y f (u, v)dvdu E(X)xf (x)dx随机变量函数的数学期望阶原点矩E(X k ) F(x, y) 边缘分布函数与边缘密度函数 阶绝对原点矩E(|X|k )F x (x) f (u,v )dvduk阶中心矩E((X E(X))) f x (X )f (x, v)dv 方差 E((X E(X))2) D(X)F y (y)f (u,v)dudv X ，丫的k + l 阶混合原点矩E(X k Y l) f y (y) f(u,y)du X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩8.连续型二维随机变量 (1)区域G 上的均匀分布, E(X k lE(X)) (Y E(Y))X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY) 1f (X, y) A , 0, (x, y) G 其他 X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差(2)二维正态分布 f (x,y ) 21 2(12)E (X E(X))(YE(Y))X ，丫的相关系数(x 1)2 2 (x 1)(y 2) 21(y 2)222E (X E(X))(YE(Y))vD(Xh D(Y)X 的方差D (X ) =E ((X - E(X))2)2 2D(X) E(X ) E (X)XYf(x, y)f x (x)f Yx (yx) f x (x) 0 f Y (y)f x|Y (x y) f Y (y) o f x (x) f (x, y)dy f xY (xy) f Y (y)dy f Y (y)f(x,y)dx f Yx (yx) f x (x)dxf xY (xy) f(x,y) f Y (y)f Y|x (yx) f x (x) f Y (y)9.二维随机变量的条件分布 协方差cov(X,Y) 相关系数XYE (X E(X))(Y E(Y))E(XY) E(X)E(Y)-D(X Y) D(X) D(Y)2cov(X,Y) D(X)、D(Y)。

概率及其计算概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。

在现实生活中，我们经常会面临各种概率问题，比如抛硬币的结果、摇骰子的点数、购彩中奖的可能性等等。

因此，了解概率的定义、性质以及计算方法是非常重要的。

一、概率的定义和性质概率可以用来衡量事件发生的可能性大小，通常用一个介于0到1之间的数值表示。

其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

下面是概率的一些基本性质：1. 对于任何事件A，0 ≤ P(A) ≤ 1。

2. 如果事件A发生的概率为P(A)，那么事件A不发生的概率为1 - P(A)。

3. 对于必然事件，其概率为1；对于不可能事件，其概率为0。

4. 如果两个事件A和B互斥（即不可能同时发生），那么它们的概率之和为P(A∪B) = P(A) + P(B)。

二、概率的计算方法在计算概率时，我们可以采用多种方法，根据实际情况选择合适的方法进行计算。

下面是一些常见的概率计算方法：1. 经典概率计算：对于有限个等可能的结果，概率可以通过计算有利结果的数量与总结果数量之比得到。

比如抛一枚硬币，正反两面各有一个，因此正面朝上的概率为1/2。

2. 相对频率概率计算：通过实验或观察，统计事件发生的次数与总次数之比，作为概率的估计值。

比如抛硬币100次，正面朝上的次数为50次，因此正面朝上的概率估计为50/100=1/2。

3. 条件概率计算：当已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

条件概率可以通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 计算得到。

4. 独立事件概率计算：当事件A和事件B相互独立（即事件A的发生不影响事件B的发生）时，可以通过P(A∩B) = P(A) * P(B)计算两个事件同时发生的概率。

三、概率的应用领域概率的应用领域非常广泛，几乎涵盖了生活的方方面面。

举几个例子来说明一下：1. 在金融领域，概率可以用于计算投资的风险和回报，并帮助投资者做出决策。

2. 在医学领域，概率可以用于计算疾病的发病率和治愈率，指导医生进行诊断和治疗。

概率的计算及其应用概率是数学中的一个重要概念，用于衡量事件发生的可能性。

在现实生活中，概率计算常常被用来解决各种问题，包括风险评估、数据分析等等。

本文将介绍概率的计算方法及其在实际应用中的一些常见场景。

一、概率的计算方法在概率计算中，我们通常使用以下几种方法来确定一个事件的发生概率：1. 经典概率法经典概率法适用于所有可能结果等概率出现的情况，即每个结果都具有相同的概率。

这种情况下，事件A的概率可以通过事件A中有利结果的个数除以所有可能结果的个数来计算。

2. 频率概率法频率概率法是通过观察事件在大量重复试验中发生的频率来估计事件的概率。

当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近事件A的概率。

3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验来估计事件的概率。

在主观概率法中，我们根据以往的经验或个人观点来估计事件发生的可能性。

二、概率的应用场景概率计算在各个领域都有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 金融风险评估在金融领域中，概率计算可以用于评估各种风险，例如股票市场的波动性、信用风险等。

通过分析历史数据和市场走势，我们可以计算不同事件发生的概率，帮助投资者做出更明智的投资决策。

2. 医学诊断医学诊断中常常需要考虑到不同疾病的发生概率。

医生可以根据患者的症状和各种检测结果来计算不同疾病的概率，从而帮助确定最可能的疾病并制定相应的治疗方案。

3. 数据分析在数据分析领域中，概率计算被广泛应用于统计推断、模式识别和机器学习等领域。

通过概率模型和统计方法，我们可以从大量数据中提取有用的信息和规律，帮助做出准确的预测和决策。

4. 游戏理论概率计算在游戏理论中有着重要的应用。

例如，在扑克牌游戏中，通过计算自己和对手的牌型概率，玩家可以制定出最佳的决策策略。

5. 工程设计在工程设计中，概率计算可用于评估各种风险，例如结构物的承载能力、材料的耐久性等。

通过对不同事件发生的概率进行分析和计算，可以为工程师提供科学的依据，确保设计的可靠性和安全性。

第十三章概率与统计本章知识结构图统计随机抽样抽签法随机数表法简单随机抽样系统抽样分层抽样共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性（概率）相等用样本估计总体样本频率分布估计总体总体密度曲线频率分布表和频率分布直方图茎叶图样本数字特征估计总体众数、中位数、平均数方差、标准差变量间的相关关系两个变量的线性相关散点图回归直线正态分布列联表（2×2）独立性分析概率概率的基本性质互斥事件对立事件古典概型几何概型条件概率事件的独立性用随机模拟法求概率常用的分布及期望、方差随机变量两点分布X～B(1，p)E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)二项分布X～B(n，p)E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)X～H(N，M，n)E(X)＝nMND(X)＝nMN⎝⎛⎭⎫1－MNN－nN－1n次独立重复试验恰好发生k次的概率为P n(k)＝C knp k(1－p)n－k超几何分布若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋bD(Y)＝a2D(X)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(⎺A)＝1－P(A)P(A B)＝P(A)·P(B)P(B | A)＝P(A B)P(A)第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。

高中数学概率及运算教案
教学内容：概率及运算
目标：学生能够理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，了解概率在生活中的应用。

教学重点：概率的基本概念、事件的运算。

教学难点：复合事件的概率计算。

教学步骤：
1. 引入概率的基本概念，引导学生了解概率的定义及相关术语。

2. 讲解概率的计算方法，包括频率法和几何法。

3. 指导学生进行概率计算的练习，包括基本事件的概率计算和复合事件的概率计算。

4. 讲解事件的运算，包括并、交、差等运算。

5. 指导学生进行事件的运算练习，包括计算并、交、差等运算。

6. 引导学生讨论概率在现实生活中的应用，例如赌博、保险等。

7. 总结本节课的重点内容，巩固学生的学习成果。

8. 布置作业：完成相关练习题。

教学资源：教学课件、教学教案、练习题、学生本。

评估方式：平时作业表现、课堂参与程度、小测验成绩。

教学目标达成检验方法：结合学生的实际学习情况，通过课堂练习和小测验检验学生对基本概率概念和计算方法的掌握程度。

概率的加法定理与乘法定理概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性。

在概率的研究中，加法定理和乘法定理是两个基本的规则，它们可以帮助我们计算复杂事件的概率。

本文将详细介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式及其应用。

一、概率的加法定理概率的加法定理是指当事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

其数学表示为：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 或 B)表示事件A或事件B发生的概率。

应用概率的加法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。

举例来说，假设某班级有30个男生和20个女生，如果从班级中随机选出一个学生，那么选中的学生是男生或女生的概率如何计算呢？解答：由于男生和女生是互斥的，即一个学生不可能既是男生又是女生，因此可以使用概率的加法定理来计算。

设事件A为选中的学生是男生，事件B为选中的学生是女生。

根据题目给出的信息，我们可以得到P(A) = 30/50，P(B) = 20/50。

根据概率的加法定理，我们有P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 30/50 +20/50 = 50/50 = 1。

所以，选中的学生是男生或女生的概率为1，即100%。

二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指当事件A和事件B是独立事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然）时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

其数学表示为：P(A 且 B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 且 B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

应用概率的乘法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然；事件A和事件B同时发生的可能性大于零，即事件A和事件B不能同时为不可能事件。

概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。

本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。

一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。

在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。

1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。

当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。

2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。

它常用于描述连续随机变量的概率。

几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。

3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。

当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。

统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。

二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。

在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。

1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。

常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。

计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。

2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。

推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。

常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。

概率论计算公式概率论是一门研究随机现象及其规律的学科，涉及到了许多计算公式。

概率论中的公式包括概率公式、条件概率公式、贝叶斯公式等等。

本文将对这些公式进行详细的展开和解释，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、概率公式概率公式是计算某个事件发生概率的公式，通常表示为P(A)，其中A为某个事件。

概率公式包括基本概率公式和加法公式。

1. 基本概率公式基本概率公式是计算事件发生概率的最基本公式，其公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)是事件A发生的可能性数量，n(S)是所有可能性数量。

例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件A发生的可能性数量是13（因为有13张红桃牌），所有可能性数量是52（因为有52张牌），因此P(A) = 13/52= 0.25。

2. 加法公式加法公式是计算两个事件任意一个事件发生概率的公式，其公式如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，A和B为两个事件，P(A 或 B)是事件A和事件B中至少一个事件发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率。

例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件B为抽到黑桃牌，P(A) = 13/52 = 0.25，P(B) = 13/52 = 0.25，P(A 且 B) = 0（因为一张牌不可能同时是黑桃牌和红桃牌），因此P(A 或 B) = 0.25 + 0.25 - 0 = 0.5。

二、条件概率公式条件概率公式是用于计算在另一个事件发生的前提下一个事件发生的概率，其公式如下：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，A和B为两个事件，P(A|B)是在事件B发生的前提下事件A发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率，P(B)是事件B发生的概率。

例如，从一副扑克牌中随机抽取两张牌，事件A为两张牌都是红桃牌，事件B为第一张牌是红桃牌，因此P(B) = 13/52 = 0.25。