高考数学填空题的解题技巧.ppt

图象如图所示,关于x的方程f(x)=k有两
引言 题型示例 总结 填空题解题 方法训练
个不同的实数根,则函数y=f(x)与y=k的 图象有两个交点,所以k∈(0,1). 【答案】(0,1)
方法四
等价转化法
等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围 内可解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂 的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转 化过程中,一定要注意转化前后的等价性,如出现不等价转
号、数学语句等.
数学填空题的特点
引言 题型示例 总结 填空题解题 方法训练
填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移
植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过程,因而
解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.
填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们 熟知的题目或基本题型.填空题不需过程,不设中间分值,更易 失分,因而在解答过程中应力求准确无误. 填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、
引言 题型示例 总结 填空题解题 方法训练
2
2
2
当且仅当m与n同向时,即a=b=c,而ab=2,故当且仅当a=b=
c= 时取等号,所以bc+ca的最大值为4. 2
【答案】4
◆例12
B 2 已知△ABC中,a=10,c-b=8,则 = C tan 2 tan
.
【分析】由△ABC中,a=10,c-b=8,联想到构造双曲线,结合平面
ME 在Rt△MEO中,由面积相等可得,MN=2 MO=3. OE
【答案】3
方法二
特例求解法
当填空题的题目提供的信息暗示答案唯一或其值为定值
时,只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特

[典例 3] (1)(2016·全国卷Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝_1_－__l_n_2__.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝ 12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若
方法二 特殊值法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一 或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的 不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列， 特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求 的结论，为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特 例．
据函数特点取 f(x)＝sinπ4x， 再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.
方法三 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出 符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正 确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截 距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何 含义，准确规范地作出相应的图形．
(2)(2016·浙江高考)若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10， 则 M 到 y 轴的距离是____9____．
[思路点拨] (1)利用函数的奇偶性、周期性可以直接求解． (2)利用抛物线的概率直接转化即可．
[自主解答] (1)综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵ f(x)为奇函数，周期为 2，∴ f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴ f(1)＝0.∵ f(x)＝4x，x∈(0,1)，

a1 a2
an1
n
25/36
【检验】 当n=2时a2 =a1=1知解法有误，
实际上(1)式仅对于n 3成立.
从而 a3 a4 a 3 n,
a2 a3 a
得an

1 2
n!(n

2).
所以正确答案是：an

1 2
n!(n

2).
26/36
例3
对正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵
例 1 设a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,其中i，j为互相垂直
的单位向量，又(a+b)⊥(a-b)，则实数m =
.
解析
a + b =(m+2)i+(m-4)j, a-b=mi-(m+2)j.
因为 (a+b)⊥(a-b)，所以(a+b)·(a-b)=0,
２
2
2
所以 m(m+2)i +［-(m+2) +m(m-4)］i·j-(m+2)(m-4)j =0，
22/36
七、分析法
例15 如下图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四
边形满足条件
时，有A1C⊥B1D1(填上你认为正确
的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形).
解析
A1
B1
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，
故A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，
A
从而要使A1C⊥B1D1，
2
5,
sin(arctan1／2)=
1
5.
所以可得结果为 5 2 15.

已知方程(x 例 4 已知方程 2－ 2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个 ＋ ＋ ＝ 的四个根组成一个 1 1 的等差数列， 的值等于________． 首项为 的等差数列，则|m－n|的值等于 － 的值等于 ． 2 4 思维启迪
考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2
－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可 以利用图象进行求解． 解析 如图所示，易知抛物线y＝x2－2x
＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝ 1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、 C、D. 1 7 因为xA＝ 4，则xD＝4. 3 5 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝ 4，xC＝4. 1 7 3 5 1 故|m－n|＝|4×4－4×4|＝ 2.
方法二
π 1 取特殊角A＝B＝C＝ ，cos A＝cos C＝ ， 3 2
cos A＋cos C 4 ＝ . 1＋cos Acos C 5
例 3 如图所示，在△ ABC中,AO是BC边上 如图所示， 中 是 边上
→ 的中线，K为AO上一点，且OA＝2AK, 的中线， 为 上一点， → 上一点
过点K的直线分别交直线 、 于不同 过点 的直线分别交直线AB、AC于不同 的直线分别交直线 的两点M、 ， 的两点 、 N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则 m＋n ＋ ＝________. 思维启迪
→ →
→
题型三
图象分析法(数形结合法 图象分析法 数形结合法) 数形结合法
依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征， 依据特殊数量关系所对应的图形位置、 特征，利用图形直 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题， 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的 几何意义一般较为明显． 几何意义一般较为明显 ．由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形 因而有些问题可以借助于图形， 状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加 位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析， 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案． 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合， 问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能节省时间． 浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容． 的能力 ，此类问题为近年来高考考查的热点内容．

类型六 等价转化法 等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要 的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规 范甚至模式化、简单的问题．
设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的 夹角为π6，则||bx||的最大值等于 ________.
解决这类问题的关键是找准归纳对象．如m的位置在最高次幂的系数位置， 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2 α的系数，所以从 cos2 α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4 α的系数入手进行归纳，因为第①个式 子中没有cos4 α，缺少归纳的特征项．
[变式训练5] 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝ f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
64 [∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22＝a1a5， ∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0. ∵d≠0，∴d＝2. ∴S8＝8×1＋8×2 7×2＝64.]
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目 的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.

3．(2020·湖北四校联考)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为
l0，过焦点 F 且倾斜角为 θθ≠π2的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则|F1A| 1
＋|F1B|＝__2___. 【解析】 令 θ＝60°，A 在第一象限，则易知|AF|＝8，|BF|＝83，∴|F1A|
＋|F1B|＝81＋83＝21.
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特 殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行 方法诠释 判断，特殊值法是“小题小做”的重要策略，要注意在 怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特 殊点、特殊位置、特殊数列等 适用范围 适用于题目中含有字母或具有一般性结论的小题
选择题、填空题的解题方法和技巧-20 21届高 三高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件
算，从而得出正确结论的做题方法 适用范围 对于计算型试题，多通过计算求结果
选择题、填空题的解题方法和技巧-20 21届高 三高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件
典例1 (1)(2020·山西运城月考)已知角 α 的终边经过点 P(sin
18°，cos 18°)，则 sin(α－12°)＝
( B)
种关系恒成立”．这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，
则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
● 2．当填空题已知条件中含有某些不确定的量．但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、 特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的 结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．

16
总结：本题利用已知条件和结论的特殊性构造出新的 数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数 学问题得到简捷的解决——构造法。它来源于对基础 知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进 行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的 类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几 何等具体的数学模型，使问题快速解决.
h
15
例5 (2009﹒靖江模拟）函数f(x)=
2sinx()2x2 x
4
2x2 cosx
的最大值为M，最小值为m，则M+m= 2 .
解析: 分子和分母同次的特点，分子展开，得到
部分分式,
f(x)=1+
x sin x 2x2 cosx
,f(x)-1为奇函数，
则m-1=-（M-1），∴M+m=2.
h
填空题解题方法与技巧
h
1
（一）考点概述：
1.填空题的类型：从填写内容看，主要有两类：
①定量型；
②定性型
2.解答填空题基本要求：
正确、迅速、合理、简捷
h
2
3.解答填空题基本策略：巧做
①快——运算要快，力戒小题大做
②稳——变形要稳，不可操之过急 ③全——答案要全，力避残缺不齐
④活——解题要活，不要生搬硬套 ⑤细——审题要细，不要粗心大意
13，∴d=5 .
9
∴数列{an}为递增数列.
令an≤0，∴-3+（n-1）· 5 ≤0，∴n≤32 ，
∵n∈N*，
9
5
∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6=-
29 3
.
答案 29
3
h
5
巩固练习1（2009·全国Ⅰ理，14）设等差数 列{an}的前n项和为Sn,若S9=72，则： a2+a4+a9= 24 . 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d,

②跳步答题
❖ 解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先 承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明 这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回 过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
❖ 由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可 以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……” 一直做到底，这就是跳步解答。
❖ 也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去， 可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持 卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问 作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。
③退步解答
❖ “以退求进”是一个重要的解题策略。如果你 不能解决所提出的问题，那么，你可以从一 般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到 简单，从整体退到部分，从较强的结论退到 较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的 问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应 开门见山写上“本题分几种情况”。这样， 还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意 义的启发。
❖ 5.注意上厕所。
三、浏览试卷，确定考试策略
❖ 一般提前5分钟发卷，涂卡、填密封线内 部分和座号后浏览试卷：试卷发下后，先利 用2—3分钟时间迅速把试卷浏览一遍，检查 试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、 分值等概况以及试题的数目、类型、结构、 占份比例、哪些是难题，同时根据考试时间 分配做题时间，做到心中有数，把握全局， 做题时心绪平定，得心应手。
掌握，随时巧变，不要墨守常规。
建议时间
基础较好的同学注意处理好速度和准确度的关系：
选择题30分钟，填空题15分钟，前两个解答题每题8分钟， 中间两个解答题每题10分钟，后两个解答题每题12分钟， 15分钟检查时间。

第二讲
且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0
(1，＋∞) 有且只有一个实根，则实数 a 的范围是_________.
本 讲 栏 目 开 关
解析 方程 f(x)＋x－a＝0 的实根也就是函数 y＝f(x)与 y＝a－x 的图 象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当 a≤1 时， 两个函数图象有
本 讲 栏 目 开 关
填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及分析推理 能力，考查学生基本的数学方法.填空题要求直接填写结果，不必写出计 算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达最简. 填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活， 突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作 为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题型，如阅读理解型、 发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，要求学生 对每一个命题都进行认真分析推理，只有全部命题判定准确才能得分， 这种题目要求更高，难度更大.
本 讲 栏 目 开 关
解析 本题所求的七个函数值最明显的特征是有 3 组自变量互为 倒数，
由此不难得出本题应该研究
1 ＋f x＝1， 1 f(x)＋f x的特征，代入解析式得
f(x)
7 故原式＝3＋f(1)＝2.
方法技巧
第二讲
方法提炼
对于求函数值的和的问题， 经常用到函数的值的特殊规律， 1 如本题中 f(x)＋fx为常数；另外，还有函数的周期性、对称性等.
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，
本 讲 栏 目 开 关
作出符合题意的图形，进行数形结合，通过对图形的直观分析、判 断，则往往可以简捷地得出正确的结果.常见的形式有直线的斜率和 截距、两个向量的和差及夹角、两点间的距离、一些函数的图象等.

第十三页，共24页。
【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方 法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途 径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于 缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案．
第十四页，共24页。
(四)数形结合法 所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形
结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思
xf′(x)－f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是
() A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
第二十页，共24页。
【解析】选 A. 构造函数 g(x)＝f（xx）， 则 g′(x)＝xf′（x）x－2 f（x）， 当 x>0 时，总有 xf′(x)－f(x)<0， 即当 x>0 时，g′(x)恒小于 0， ∴当 x>0 时，函数 g(x)为减函数， 又∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)为定义域上的偶函数， 又∵g(－1)＝f（－－11）＝0，
第二十一页，共24页。
∴g(x)的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式 f(x)>0⇔xg(x)>0 ⇔xg>（0x）>0 或xg<（0x）<0，⇔0<x<1 或 x<－1.故选 A.
第二十二页，共24页。
例 10(2015·模考)如图，已知球 O 的球面上有四个 点 A，B，C，D，DA⊥平面 ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝ 2，则球 O 的体积等于________．
第三页，共24页。
例 1(2015 课标全国Ⅰ)已知点 M(x0，y0)是双曲线 C： x22－y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点．若M→F1·M→F2

解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略
是 “巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、 数
一、 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公 式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等， 得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本 质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法. 例1 （2009·海口模拟）在等差数列{an}中，a1=-3， 11a5=5a8-13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值 为 . 计算出基本量d，找到转折项即可. 思维启迪
方法二 ∵an+1=3Sn(n≥1)，
∴Sn+1-Sn=3Sn（n≥1），即Sn+1=4Sn（n≥1），
Sn1 又S1=a1=1，∴ =4（n≥1）， Sn 即{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列.
∴Sn=4n-1（n≥1）. 答案 4n-1
探究提高 以上两种解法体现了对关系式an+1=3Sn
解析 ∴d=
5 . 9 ∴数列{an}为递增数列.
设公差为d，则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13，
5ห้องสมุดไป่ตู้32 令an≤0，∴-3+（n-1）· ≤0，∴n≤ ， 9 5 ∵ n∈ N * ， 29 . ∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6=3 29 答案 3
探究提高
本题运用直接法，直接利用等差数列的
第2讲 填空题的做法
1.填空题的类型 填空题是高考中客观性题型之一，一般有四至五道 题，填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以 及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结 构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要