720 数学分析考试大纲

2015年数学与计算机科学学院硕士研究生入学考试大纲（科目：代码 720 数学分析）一、考查目标数学分析课程考核的主要目的是测试考生对数学分析各项内容的掌握程度。

要求考生熟悉数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法, 具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。

二、考试形式与试卷结构1、试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

2、答题方式答题方式为闭卷、笔试。

3、试卷内容结构各部分内容所占分值为：极限和函数的连续性约40分微分学约40分积分学约40分级数约30分4、试卷题型结构主要题型：计算题，判断题，证明题等。

三、考查范围1、数列和（一元，多元）函数极限：极限的概念；极限存在的条件和存在的各种判定方法；求极限的各种方法.2、（一元，多元）函数连续：连续的概念，性质（局部性质和整体性质）及应用.3、一元函数微分学：求导的各种方法（包括高阶导数）；一元函数的微分中值定理（Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，Taylor公式）及应用.4、一元函数积分学：不定积分的各种计算方法；定积分的各种计算方法；函数可积的条件；定积分的各种性质及应用；反常积分值的计算和反常积分收敛性判别的各种方法.5、多元函数微分学：函数可微的讨论；微分、偏导数和高阶偏导数的各种计算方法；多元函数的微分中值公式和泰勒公式；隐函数的存在性和可微性的讨论，隐函数导数或偏导数的计算；方向导数和梯度；几何应用和极值问题（包括条件极值问题）.6、多元函数积分学：重积分计算的各种方法和重积分的性质（包括二、三重积分和简单的n重积分）；第一型曲线（曲面）积分的各种计算方法；第二型曲线（曲面）积分的各种计算方法；第一型曲线（曲面）积分与第二型曲线（曲面）积分的关系；Green公式及应用；Gauss 定理和Stokes定理及应用.7、数项级数的各种收敛的判别法；数项级数的求和方法.8、函数列和函数项级数收敛和一致收敛的各种判别法；极限函数与和函数的解析性（连续、可微和可积性）的讨论；含参量积分（包括含参量正常积分和含参量反常积分）及其应用.9、幂级数和Fourier级数及其应用.10、实数的完备性定理及其应用.主要参考书：1、《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社。

数学分析考试纲要课程目的与教学基本要求数学分析是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。

本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。

本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用〃连续量的演算体系及其数学理论"的观点统率整个体系。

在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。

在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。

牢固掌握一基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。

一般掌握一对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。

一般了解一对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。

课程考试内容一、《数学分析I*》课程内容（一）函数1.熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。

《数学分析》考试大纲1．实数集与函数（1）掌握集合的概念与运算，区间与邻域。

理解映射与一一对应概念。

了解几个重要不等式。

理解确界原理。

（2）掌握函数概念。

掌握复合函数方法。

了解反函数存在定理。

理解初等函数。

（3）掌握函数的几种特性（单调性、有界性、奇偶性、周期性等）2. 数列极限（1）理解数列极限概念。

（2）掌握收敛数列的性质。

理解数列极限存在的条件。

3. 函数极限（1）理解函数极限概念，掌握ε-δ论证方法。

（2）掌握函数极限的性质。

理解函数极限存在的条件。

（3）掌握两个重要极限的应用。

（4）掌握无穷小与无穷大概念。

4. 函数的连续性（1）理解函数的连续与间断概念。

（2）了解连续函数的性质。

了解复合函数与反函数的连续性。

理解闭区间上连续函数的性质。

（3）理解函数的一致连续性。

理解初等函数的连续性。

5. 导数和微分（1）掌握导数概念。

（2）掌握求导法则与导数计算。

（3）理解微分概念。

（4）理解高阶导数与高阶微分6. 微分中值定理及其应用（1）理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

（2）掌握Taylor公式和L’Hospital法则。

（3）理解函数的凸性及其性质。

（4）掌握利用导数研究函数的性态及函数作图。

7. 实数的完备性（1）理解子列概念。

理解致密性定理，区间套定理，有限覆盖定理。

理解实数连续性定理的等价性。

（2）了解上、下极限概念。

8．不定积分（1）理解原函数与不定积分概念。

掌握基本积分公式和不定积分的运算法则。

（2）掌握换元积分法与分部积分法。

（3）掌握有理函数的不定积分，三角函数的不定积分和某些无理函数的不定积分。

9. 定积分（1）理解定积分概念。

掌握Newton-Leibniz公式。

（2）了解Darboux上、下和与Darboux上、下积分。

理解可积充要条件和可积函数类。

（3）理解定积分性质。

掌握变限积分及其性质。

理解积分中值定理。

10. 定积分的应用（1）理解微元法的基本思想。

《数学分析》考试大纲Ⅰ考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为3小时。

二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷题型结构1、填空题40 分2、计算题40 分3、证明题70分II 考试范围第一章实数集与函数1.运用实数的有序性、稠密性及封闭性论证有关问题，邻域概念的理解及应用；2.实数绝对值的有关性质及几个常见不等式的应用；3.实数集确界的概念及确界原理在有关问题中的正确运用；4.函数的概念及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数等概念理解和运用；5.基本初等函数定义、性质及图象的识记，会求初等函数定义域，分析初等函数的复合关系。

第二章数列极限1.会用ε—N定义证明数列极限有关问题，并会用ε—N语言正确表述数列不以某数为极限；2.理解收敛数列的性质，极限的唯一性、保号性及不等式性质；3.会用极限的四则运算法则，迫敛性定理以及单调有界定理求收敛数列的极限；4.理解柯西准则在极限理论中的重要意义，能用该准则判定某些简单数列的敛散性。

第三章函数极限1.能运用函数极限定义证明与函数极限有关的某些命题，会给出函数不以某定数为极限的相应表述；2.掌握函数极限基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质及有理运算性质；3.理解Heine定理及Cauchy准则，初步掌握运用它们证明函数极限存在的基本思路；4.识记两个重要极限，能灵活运用其求一些相关函数极限；5.理解无穷小(大)量及其阶的概念，会用无穷小量求某些函数的极限,无穷小(大)量阶的比较。

第四章函数的连续性1.明确函数在一点连续定义的几种等价叙述；2.会熟练准确地求出一般初等函数或分段函数的间断点并判别其类型；3.理解连续函数的性质，并能在相关问题的讨论中正确运用这些重要性质；4.深刻理解初等函数的连续性，应用连续性求极限；5.掌握闭区间上连续函数的性质，理解其几何意义，并能在各种有关具体问题中加以运用；6.理解一致连续的概念，能认识到函数在区间上连续与一致连续两者之间的联系与区别。

数学与应用数学专业《数学分析》课程考试大纲一、大纲依据(1)参照高等专科学校的数学系数学与应用数学专业专科本数学分析教学大纲。

(2)华东师范大学数学系编《数学分析》，2001年6月第3版，高等教育出版社。

(3)刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》，1992年6月第3版，高等教育出版社。

二、考试耍求1、本考试为专升本数学分析考试。

2、考试要求分为四个由低到高的层次：(A)认识、记忆、了解(B)理解、判断、思考(C)掌握、丿应用、推理(D)分析、综合、系统三、考试内容与要求下表所列为考试内容与耍求。

考试内容分别按：(-)基本概念、基本理论(二)基本定理与应用1.函数掌握函数概念及一些特殊类型的函数(有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数)。

函数的有理运算、复合函数、反函数。

基本初等函数。

初等函数。

2.极限了解数列与函数极限定义、极限存在的条件及其收敛性质。

掌握极限的四则运算及复合运算法则。

灵活运用两个重要极限。

3.函数的连续性理解函数的连续性概念。

掌握间断点及其分类、连续函数的有理运算。

了解闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值性、介值性、一致连续性。

反函数的连续性。

初等函数连续性。

4.导数与微分理解导数及微分定义、导数的儿何意义、物理意义、经济意义、无穷大导数。

掌握求导法则，会求反函数、复合函数、初等函数的导数及高阶导数。

掌握微分的运算法则。

5.中值定理与导数应用hospital)法则。

V 理解费马(Fermat)定理、罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理、泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗H型余项)。

掌握函数单调性的判别法、极值、最大值和最小值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线及其应用。

掌握罗比塔(L6.实数的一些基本定理了解确界与确界存在定理、区间套定理、数列的柯西(Cauchy)收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理。

7.不定积分了解原函数与不定积分概念。

《数学分析》考试大纲一、考试的性质数学分析是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。

为帮助考生明确考试范围和有关要求，特制订出本考试大纲。

本考试大纲主要根据北京林业大学数学与应用数学本科《数学分析》教学大纲编制而成，适用于报考北京林业大学数学学科各专业（基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学）硕士学位研究生的考生。

二、考试内容和基本要求1．实数集与函数（1）确界概念，确界原理（2）函数概念与运算，初等函数要求：理解确界概念与确界原理，并能运用于有关命题的运算与证明。

深刻理解函数的意义，掌握函数的四则运算。

2．数列极限（1）数列极限的ε一N定义（2）收敛数列的性质（3）数列的单调有界法则，柯西收敛准则，重要极限要求：深刻理解数列极限的ε一N定义，并会运用它验证给定数列的极限；掌握数列极限的性质，并会运用它证明或计算给定数列的极限；掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限的存在性；掌握重要极限并能运用它计算某些数列极限。

3．函数极限(1) 函数极限的ε一M定义和ε一δ定义，单侧极限(2) 函数极限的性质(3) 海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限(4) 无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较要求:理解各类函数极限的定义，并能按定义验证给定的函数极限；掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。

掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限。

掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理；熟练掌握两个重要极限，并运用它们进行有关函数极限的计算；掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小（大）量的阶的概念。

4．函数的连续性(1) 函数在一点连续，单侧连续和在区间上连续的定义，间断点的类型(2) 连续函数的局部性质。

复合函数的连续性，反函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质。

《数学分析》考试大纲Ⅰ 考试性质与目的本科插班生考试是针对专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体育、全面衡量，择优录取。

考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ 考试内容一、考试基本要求要求考生理解和掌握《数学分析》的基本概念，基本原理和基本方法，能运用本科目知识进行，具体分析问题和解决问题的基本能力。

二、考核知识点与考核要求第一章 函数一、考核知识点1、函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数2、函数的简单性质单调性 奇偶性有界性 周期性3、复合函数、反函数的概念 反函数的图像4、函数的四则运算与复合运算5、基本初等函数类幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数6、初等函数的概念二、考核要求1．识记：①基本初等函数的简单性质及图像。

②初等函数的概念。

2．理解：①函数的概念②函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性。

3．应用：复合函数的复合过程。

第二章 极限一、考核知识点1．数列N -ε定义2．数列极限的性质唯一性，有界性，保号性，保不等式，四则运算定理子数列的概念和性质3．数列极限存在的条件，单调有界定理，数列极限存在的柯西准则，夹逼定理4．函数当x 趋向∞时的极限的概念和函数当x 趋向0x 时的极限的概念和δε-定义 单侧极限的概念5．极限与单侧极限的关系6．函数极限的性质唯一性 有界性保号性 保不等式性 四则运算定理7．函数极限存在的条件单调有界定理 函数极限存在的柯西准则 夹逼定理 函数极限存在的归结原则8．两个重要的极限9．无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的概念，无穷小量阶的比较二、考核要求1、识记：①数列、函数极限的性质②无穷小量阶的比较③归结原则2、理解：①数列ε-N定义,函数极限ε-δ定义②无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量与无穷大量的关系③单调有界定理，柯西准则3、应用：①极限的四则运算法则②夹逼定理③用两个重要的极限求极限④无穷小量的性质求极限第三章函数的连续性一、考核知识点1．函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类2．函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数连续性反函数的连续性3．闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值性定理4．初等函数的连续性二、考核要求1识记：①函数在一点连续与间断的概念②函数在一点连续与极限存在的关系2．理解：①函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性②闭区间上连续函数的性质③初等函数在其定义区间上的连续性3．应用：①求函数的间断点及确定其类型②运用介值定理推证简单命题③用连续性求极限第四章导数和微分一、考核知识点1．导数的定义，导数的几何意义，可导与连续的关系2．求导法则与导数的基本公式，导数的四则运算，反函数的导数3．求导方法复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数4．高阶导数的概念高阶导数的定义，高阶导数的计算5．微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式的不变性二、考核要求1识记：导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，2理解：①导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法②隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法3．应用：①使用各种求导法则和微分法则求导数和微分。

《数学分析考试大纲》I.考试性质《数学分析》课程考试是由经系办公室审查后具有考试资格的学生参加的结业考试，以此成绩确定该学生本课程结业、通过还是重修。

因此，考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。

《数学分析》考试，要发挥《数学分析》作为基础课程的作用，既要重视考查学生知识掌握程度，又要注重考查学生继续学习的能力。

II.考试要求作为数学分析试题的命题范围是数学分析《教学大纲》的教学内容。

《数学分析》是数学类各专业最重要的基础课，《数学分析》课程的考试，要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念、基本理论，掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力。

III.考试内容第一章实数集与函数一、考试内容1、实数（1）实数及性质。

（2）绝对值与不等式。

2、数集、确界原理（1）区间与邻域。

（2）有界集与无界集。

（3）上确界与下确界，确界定理。

3、函数概念（1）函数的定义。

（2）函数的几种常用表示。

（3）函数四则运算。

（4）复合函数。

（5）反函数。

（6 ）初等函数，基本初等函数，非初等函数。

4、具有某些特征的函数（1）有界函数，无界函数。

（2）单调函数与反函数：单调函数，严格单调函数。

（3）奇函数与偶函数。

（4）周期函数。

二、考试具体要求（1）了解实数域及性质。

（2）掌握几种不等式及应用。

（3）熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念和确界原理。

（4）牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及其某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章数列极限一、考试内容1、极限概念（1）数列极限定义，数列的收敛与发散性。

（2）无穷小数列。

2、收剑数列的性质收剑数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性（或称两边夹法则）和四则运算法则。

子列、平凡子列和非平凡子列及其有关性质。

3、数列极限存在的条件（1）单调有界定理。

（2）柯西收敛准则。

二、考试具体要求（1）熟练掌握数列极限的定义。

（2）掌握收敛数列的若干性质。

《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求：第一章实数集与函数（一）考核知识点1．实数集的性质2．确界定义和确界原理3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数4. 具有某些特性的函数（二）考核要求1. 实数集的性质（1）熟练掌握：（i）实数及其性质；（ii）绝对值与不等式.（2）深刻理解：（i）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（ii）绝对值的定义及性质.（3）简单应用：（i）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（ii）会利用绝对值的性质证明简单的不等式.（4）综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理（1）熟练掌握：（i）区间与邻域；（ii）有界集、无界集与确界原理.（2）深刻理解：（i）区间与邻域的定义及表示法；（ii）确界的定义及确界原理.（3）简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的有界性，求数集的上、下确界.（4）综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界.3. 函数的概念（1）熟练掌握：（i）函数的定义；（ii）函数的表示法；（iii）函数的四则运算；（iv）复合函数；（v）反函数；（vi）初等函数.（2）深刻理解：（i）函数概念的两大要素；（ii）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（iii）函数能够进行四则运算的条件；（iv）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（v）反函数存在的条件.（3）简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.（4）综合应用：作简单的复合函数的图像，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数（1）熟练掌握：（i）有界函数；（ii）单调函数；（iii）奇函数和偶函数；（iv）周期函数.（2）深刻理解：（i）有界函数和无界函数的定义；（ii）单调函数的定义及其图像的性质；（iii）奇函数和偶函数的定义及其图像的性质；（iv）周期函数的定义及其图像的性质..（3）简单应用：（i）会求函数的上下界，判断无界函数；（ii）判断函数的单调性；（iii）判断周期函数；（iv）判断函数的奇偶性.（4）综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1．数列极限的定义2．收敛数列的性质3．数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义，数（1）熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构，深刻理（2）深刻理解：数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性，N的相应性；用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法；“N-否定说法.（3）简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.（4）综合应用：会用“N-2. 收敛数列的性质（1）熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念.（2）深刻理解：收敛数列诸性质的证明.（3）简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.（4）综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列.3.数列极限存在的条件（1）熟练掌握：（i）单调有界原理；（ii）柯西收敛准则.（2）深刻理解：单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.（3）简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性.（4）综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1．函数极限的定义2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要的极限5．无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义（1）熟练掌握：（i ）∞→x 时函数极限的定义；（ii ）0x x →时函数极限的定义.（2）深刻理解：（i ）A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，X 的相应性；用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法；“X -ε定义”的否定说法.（ii ）A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，δ的相应性；用“δε-定义”证明函数极限的表述方法；单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件；“δε-定义”的否定说法.（3）简单应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.（4）综合应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质（1）熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性，函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则.（2）深刻理解：函数极限诸性质的证明.（3）简单应用：运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.（4）综合应用：运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件（1）熟练掌握：（i ）归结原则；（ii ）柯西收敛准则.（2）深刻理解：归结原则和柯西收敛准则的实质.（3）简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明函数极限存在.（4）综合应用：用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限（1）熟练掌握：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . （2）深刻理解：两个重要极限的证明.（3）简单应用：利用两个重要极限求极限的方法.（4）综合应用：综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量（1）熟练掌握：无穷小量，无穷大量.（2）深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较.（3）简单应用：无穷小量的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限.（4）综合应用：用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性（一）考核知识点1．连续性概念2．连续函数的性质3．初等函数的连续性（二）考核要求1. 连续性概念（1）熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类.（2）深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件.（3）简单应用：用定义证明函数在一点连续.（4）综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质（1）熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性.（2）深刻理解：一致连续性.（3）简单应用：用连续函数求极限.（4）综合应用：证明函数的一致连续性，利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性（1）熟练掌握：基本初等函数的连续性.（2）深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续.（3）简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型.（4）综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分（一）考核知识点1．导数的概念2．求导法则3．参变量函数的导数4．高阶导数5．微分（二）考核要求1.导数的概念（1）熟练掌握：导数的定义，导函数.（2）深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系.（3）简单应用：会求函数的平均变化率，确定曲线切线的斜率，求函数的稳定点.（4）综合应用：求分段函数的导数，运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则（1）熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式.（2）深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.（3）简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数.（4）综合应用：综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数（1）熟练掌握：参变量函数的导数的定义.（2）深刻理解：参变量函数的导数的几何意义.（3）简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数.（4）综合应用：利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数（1）熟练掌握：高阶导数的定义.（2）深刻理解：高阶导函数的概念.（3）简单应用：高阶导数的计算.（4）综合应用：利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数.5.微分（1）熟练掌握：微分概念.（2）深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性.（3）简单应用：微分的计算.（4）综合应用：高阶微分的计算，微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用（一）考核知识点1．拉格朗日定理和函数单调性2．柯西中值定理和不定式极限3．泰勒公式4．函数的极值与最值5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（二）考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性（1）熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性.（2）深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义.（3）简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点.（4）综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限（1）熟练掌握：柯西中值定理，不定式的极限.（2）深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法.（3）简单应用：求不定式的极限.（4）综合应用：用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式（1）熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式.（2）深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.（3）简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计.（4）综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值（1）熟练掌握：函数的极值与最值，取极值的必要条件，驻点.（2）深刻理解：判断极值的两个充分条件.（3）简单应用：会求函数极值与最值.（4）综合应用：证明某些不等式，解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（1）熟练掌握：函数图像的凸性与拐点，函数图像的性态.（2）深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线.（3）简单应用：判断函数图像的凸性与拐点，渐近线的求法，函数图像的性态的讨论，简单函数图像的描绘.（4）综合应用：利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性（一）考核知识点1．关于实数集完备性的基本定理2．闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.关于实数集完备性的基本定理（1）熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理.（2）深刻理解：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因（3）简单应用：会求数集的聚点、确界.（4）综合应用：实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明（1）熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性.（2）深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分（一）考核知识点1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法3．有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考核要求1.不定积分概念与基本积分公式（1）熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表.（2）深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义.（3）简单应用：会求简单初等函数的不定积分.（4）综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法（1）熟练掌握：换元积分法，分部积分法.（2）深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系.（3）简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.（4）综合应用：综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.（2）深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤.（3）应用：会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分（一）考核知识点1．定积分概念和性质2．可积条件3．微积分学基本定理·定积分的计算（二）考核要求1.定积分概念和性质（1）熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼和，定积分的性质.（2）深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义.（3）简单应用：用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质比较积分的大小，估计积分值.（4）综合应用：用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性质证明不等式，论证函数的某些性质.2.可积条件（1）熟练掌握：可积的必要条件和充分条件，可积函数类.（2）深刻理解：达布和，可积准则及其证明方法.（3）简单应用：判断函数的可积性.（4）综合应用：论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算（1）熟练掌握：变限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理.（2）深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性.（3）简单应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分法计算定积分.（4）综合应用：综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用（一）考核知识点：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（二）考核要求1．熟练掌握：用定积分表达和计算一些几何量.2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法.3．应用：计算平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积.第十一章反常积分（一）考核知识点1．反常积分概念2．无穷积分的性质与收敛判别3．瑕积分的性质与收敛判别（二）考核要求1.反常积分概念（1）熟练掌握：两类反常积分的定义.（2）深刻理解：反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）简单应用：计算无穷积分，判别无穷积分的收敛性.（4）综合应用：运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法.（3）简单应用：计算，瑕积分，判别瑕积分的收敛性.（4）综合应用：运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数（一）考核知识点1．级数的收敛性2．正项级数和一般项级数（二）考核要求1. 级数的收敛性（1）熟练掌握：数项级数的定义.（2）深刻理解：级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，级数收敛的柯西准则.（3）简单应用：判断级数的收敛和发散.（4）综合应用：应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数（1）熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则.（2）深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法.（3）简单应用：判别正项级数的收敛性.（4）综合应用：运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数（1）熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法.（2）深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）应用：判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数（一）考核知识点1．一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.一致收敛性（1）熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要条件.（2）深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法（3）应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.（2）深刻理解：连续性，可积性，可微性定理.（3）简单应用：由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性.（4）综合应用：由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分.第十四章幂级数（一）考核知识点1．幂级数2．函数的幂级数展开式（二）考核要求1.幂级数（1）熟练掌握：幂级数的定义.（2）深刻理解：幂级数的性质.（3）应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式（1）熟练掌握：泰勒级数定义.（2）深刻理解：泰勒级数和麦克劳林级数.（3）简单应用：六个常用的初等函数的麦克劳林级数.（4）综合应用：把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续（一）考核知识点1．平面点集与多元函数2．二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.平面点集与多元函数（1）熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.（2）深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.（3）简单应用：求函数的定义域，画定义域的图形，说明何种点集.（4）综合应用：判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性（1）熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念.（2）深刻理解：累次极限和二元连续函数的性质.（3）简单应用：求累次极限，运用连续性定理.（4）综合应用：会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学（一）考核知识点1．可微性2．复合函数微分法3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.可微性（1）熟练掌握：可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.（2）深刻理解：可微性条件.（3）简单应用：可微性充分条件.（4）综合应用：求函数的导数.2.复合函数微分法（1）熟练掌握：复合函数的有关定义.（2）深刻理解：复合函数的全微分（3）简单应用：复合函数的求导法则.（4）综合应用：求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（1）熟练掌握：方向导数与梯度的定义.（2）深刻理解：中值定理和极值充分条件.（3）简单应用：熟练计算偏导数和高阶偏导数.（4）综合应用：运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用（一）考核知识点1．隐函数及隐函数组2．几何应用和条件极值（二）考核要求1.隐函数及隐函数组（1）熟练掌握：隐函数及隐函数组的概念，反函数组与坐标变换.（2）深刻理解：隐函数定理和隐函数组的定理.（3）简单应用：隐函数存在性的条件分析.（4）综合应用：对隐函数求导.2.几何应用和条件极值（1）熟练掌握：平面曲线、空间曲线的切线于法平面，曲面的切平面与法线.（2）深刻理解：条件极值.（3）简单应用：拉格朗日函数.（4）综合应用：应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分（一）考核知识点1．含参量正常积分2．含参量反常积分（二）考核要求1. 含参量正常积分（1）熟练掌握：含参量积分的定义.（2）深刻理解：含参量积分的连续性、可微性、可积性.（3）简单应用：累次积分.（4）综合应用：求函数的积分.2. 含参量反常积分（1）熟练掌握：含参量反常积分的定义.（2）深刻理解：含参量反常积分的性质.（3）简单应用：一致收敛及其判别法.（4）综合应用：证明一致收敛性.第二十章曲线积分（一）考核知识点1．第一型曲线积分2．第二型曲线积分（二）考核要求1. 第一型曲线积分（1）熟练掌握：第一型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第一型曲线积分的性质.（3）应用：第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分（1）熟练掌握：第二型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第二型曲线积分的性质，第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.（3）应用：第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分（一）考核知识点1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2．格林公式•曲线积分与路线的无关性3．二重积分的变量变换与三重积分4．重积分的应用（二）考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算（1）熟练掌握：二重积分的概念极其存在性，平面图形的存在性.（2）深刻理解：二重积分的性质.二元函数的可积性定理.（3）简单应用：直角坐标系下二重积分的计算.（4）综合应用：计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性（1）熟练掌握：连通区域的概念，（2）深刻理解：格林公式，积分与路线的无关性定理.（3）简单应用：验证积分与路线无关并会求积分.（4）综合应用：应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分（1）熟练掌握：三重积分的概念.（2）深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.（3）简单应用：用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法.（4）综合应用：对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分（一）考核知识点1．第一型曲面积分和第二型曲面积分2．高斯公式与托克斯公式（二）考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分（1）熟练掌握：第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.（2）深刻理解：第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.（3）应用：第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式（1）熟练掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.（2）深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.（3）应用：用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。

黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：数学分析考试科目代码：[720]
一、考试要求
数学分析课程的考试目的旨在了解考生对本门课程中的基本概念、方法与理论的掌握程度，为学习相关的专业知识提供必要的理论基础。

二、考试内容
第一章函数、极限与连续
函数及几何特性、数列与函数的极限、连续函数及其性质、无穷小与无穷大的阶。

第二章实数理论
确界原理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、聚点原理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。

第三章一元微分学
导数与微分、高阶导数与微分、中值定理、泰勒公式、单调性与极值、凹凸性与拐点、洛必达法则。

第四章一元积分学
原函数与不定积分、定积分的概念、性质、可积性与计算方法、定积分在几何学中的应用。

第五章数项级数
级数收敛性及其性质、正项级数、绝对收敛与条件收敛。

第六章函数项级数
函数项级数的一致收敛性及性质、幂级数及其收敛域、函数展开成幂级数。

第七章广义积分
无穷限的广义积分、无界函数的广义积分。

第八章多元微分学
偏导数与全微分、方向导数与梯度、极值与条件极值。

第九章含参变量的积分
含参变量的黎曼积分、含参变量的广义积分。

1。

数学分析(二)考试大纲一、说明：1．数学分析的阶段性考试(期中考试与期末考试)旨在考查基础知识、基本技能、基本方法, 考核学生的运算能力、逻辑思维能力、论证推理能力及运用所学知识、方法分析问题和解决问题的能力。

2．考试要求分五个层次, 这五个层次由低到高依次为: 识记; 理解; 应用; 分析; 综合。

3．教材: 华东师范大学数学系编, 数学分析(第三版), 高等教育出版社, 2001.二、考试内容：参阅《数学分析教学大纲》三、考试要求：7．实数的连续性理解: 确界的概念; 聚点的概念; 实数连续性定理的等价性;应用: 区间套定理; 确界的概念; 确界存在定理; 聚点的概念; 聚点定理; 致密性定理; 柯西准则; 有限覆盖定理;理解: 一致连续性的概念;应用: 闭区间连续函数的性质;8．不定积分理解: 原函数与不定积分的概念; 基本积分表; 不定积分的性质;应用: 分部积分法; 换元积分法;应用: 有理函数的积分;应用: 简单无理函数的积分; 三角函数有理式的积分;9．定积分理解: 定积分的概念; 可积的必要条件;应用: 可积的充要条件; 可积函数类;1应用: 定积分的性质( 线性性, 区间可加性, 单调性, 不等式，绝对可积性, 积分中值定理 );理解: 积分上限函数;应用: 微积分学基本定理; 牛顿─莱布尼兹公式; 分部积分与换元积分法; 定积分的近似计算( 矩形法, 梯形法, 抛物线法 );10．定积分的应用应用：平面图形的面积；平面曲线的弧长与弧微分, 曲率, 已知截面面积函数的立体体积, 旋转体的体积, 旋转体的侧面积, 函数的平均值, 变力作功, 重心, 液体压力, 转动惯量11．非正常积分理解: 无穷积分收敛与发散的概念; 无穷积分收敛的性质; 无穷积分与数项级数的关系; 绝对收敛与条件收敛的概念;应用: 无穷积分敛散性的判别( 无穷积分收敛与发散的概念, 柯西准则, 比较原则, 比式判别法, 阿贝尔判别法, 狄利克莱判别法 );12．数项级数识记: 绝对收敛级数的重排定理;理解: 级数收敛与发散的概念; 收敛级数的基本性质; 柯西准则; 绝对收敛与条件收敛的概念;应用: 正项级数敛散性的判别( 比较原则, 比式判别法与根式判别法 ); 交错级数的莱布尼兹判别法; 一般项级数的阿贝尔判别法与狄利克莱判别法;13．函数项级数理解: 函数列的收敛与一致收敛的概念; 函数项级数的收敛与一致收敛的概念;应用: 函数列一致收敛的判别( 一致收敛的概念, 柯西准则, 一致收敛原理 ); 函数列极限函数的分析性质( 连续性, 可微性, 可积性 ); 函数项级数一致收敛的判别( 一致收敛的概念, 柯西准则, 维尔斯特拉斯判别法, 一致收敛原理, 阿贝尔判别法, 狄利克莱判别法 ); 函数项级数的和函数的分析性质( 连续2性, 逐项可微性, 逐项可积性 );14．幂级数理解: 幂级数的收敛域; 泰勒级数的概念; 阿贝尔第一定理; 阿贝尔第二定理; 函数的泰勒展开条件;应用: 求幂级数的收敛半径与收敛区间; 幂级数的和函数的分析性质( 连续性, 逐项微分, 逐项积分 ); 幂级数的四则运算; 初等函数的泰勒展开; 幂级数在近似计算中的应用;15．富立叶级数识记: 三角级数的概念; 三角函数系的正交性; 傅里叶级数的概念; 贝塞尔不等式;理解: 黎曼─勒贝格定理; 傅里叶级数的部分和公式; 收敛定理; 奇函数与偶函数的富里叶级数; 一致收敛定理; 傅里叶级数的逐项微分与逐项积分;应用: 函数的傅里叶级数展开;四、命题结构和要求1、严格按照教学大纲出题，不出超纲题、偏题、怪题；2、试题以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上，加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、综合运用所学知识解决实际问题能力的考查；3、力求试卷难度控制在0.5 ～ 0.55 之间，并确保试题具有较高的区分度，能将优秀的学生区分出来。

数学分析考试大纲《数学分析》（712）考试大纲本考试大纲由数学科学与计算技术学院教授委员会于2013年7月7日通过。

I.考试性质数学分析考试是为中南大学招收数学学科硕士研究生而设置的具有选拔性质的业务水平考试，其目的是科学、公平、有效地测试考生对数学分析基本内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。

II.考查目标要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法，具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

Ⅲ.考试形式和试卷结构1、试卷满分及考试时间本试卷满分为150 分，考试时间为180 分钟2、答题方式答题方式为闭卷，笔试。

3、试卷内容结构分析基础约20 %一元微积分约30 %多元微积分约30 %级数约20 %Ⅳ.考查内容一、分析基础1. 实数概念、确界2. 函数概念3. 序列极限与函数极限4. 无穷大与无穷小5. 连续概念与基本性质，一致连续性6. 实数完备性定理二、一元微分学1．导数概念与几何意义2．求导公式求导法则3．高阶导数4．微分5．微分中值定理6．L’Hospital法则7．Taylor公式8．应用导数研究函数三、一元积分学1．不定积分法与可积函数类2．定积分的概念、性质与计算3．定积分的应用4．反常积分四、级数1．数项级数的敛散判别与性质2．函数项级数与一致收敛性3．幂级数4．Fourier级数五、多元微分学1、多元函数的极限2、多元连续函数3、偏导数与微分4、隐函数定理5、方向导数与梯度6、Taylor公式7、多元微分学的几何应用8、多元函数的极值六、多元积分学1、重积分的概念与性质2、重积分的计算3、二重、三重积分4、含参变量的正常积分和反常积分5、曲线积分与Green公式6、曲面积分7、Gauss公式、Stokes公式、线积分与路径无关。