2019-2020学年吉林省长春市铁南片九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.方程x2+x−12=0的两个根为()A. x1=−2，x2=6B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4D. x1=−4，x2=32.方程(m−2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则()A. m≠±2B. m=2C. m=−2D.m≠23.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF//AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为()A. 30mB. 24mC. 18mD. 12m4.下列方程中，没有实数根的是()A. x2−2x−5=0B. x2−2x=−5C. x2−2x=0D. x2−2x−3=05.如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于()A. 365B. 245C. 125D. 927.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为()A. (x+2)2=1B. (x+4)2=1C. (x+2)2=−3D. (x+2)2=−18.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，要求矩形绿地的长比宽多10m.设矩形绿地的宽为xm.根据题意，可列方程为()A. x(x−10)=900B. x(x+10)=900C. 10(x+10)=900D. 2[x+(x+10)]=900二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若关于x的一元二次方程(m+3)x2−(m2−9)x+m+2=0的一次项系数为0，则m=．10.方程x+5=2x−3的解是______．11.若关于x的方程3x2−2x+m=0的一个根为−1，则m的值为______．12.某型号的手机经过两次降价，售价由原来的1320元降为660元，求每次平均降价的百分率x，则可列出方程为______．13.如图，△ABC中，D是边AB上一点，要添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你所添加的条件是．14.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，BD上，EF//AB，DE：EA=2：3，若EF=4，则BC的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.2x2−5x+1=0．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；(3)若S△FCD=5，BC=10，求DE的长．17.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x+m2−4=0有一个解是0，求m的值．18.规定◯是一种新的运算符号，且a◯b=a2+a×b−a+2，例如：2◯3=22+2×3−2+2=10.请你根据上面的规定试求：①−2◯1的值；②1◯3◯5的值．19.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20.如图，AD//BE//CF，AB=6，BC=3，DF=8，求EF的长．21.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm.如要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？22.(1)方法回忆：如图1，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A=∠DCE=∠CBE，求证：ACBE =ADBC；(2)实践应用：如图2，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，AC=3，BC=163，求tan∠CDB的值；(3)拓展探究：如图3，△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC=∠ABD，AC=3，BC=163，点E在BD边上，连接CE，∠BCE+∠BAD=180°，CE=125，请直接写出BECD的值．23.已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+4)x+(k−4)=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．24.已知，A(0,8)，B(4,0)，直线y=−x沿x轴作平移运动，平移时交OA于D，交OB于C．(1)当直线y=−x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t(s)．①是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请直接写出相应的t值；如果不能，请说明理由．②将△CDE沿DE翻折后得到△FDE，设△EDF与△ADE重叠部分的面积为y(单位长度的平方).求y关于t的函数关系式及相应的t的取值范围；(2)若点M是AB的中点，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请直接写出AN+MN的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题是对因式分解法解一元二次方程的考查.按照因式分析的方法解答即可．【解答】解：x2+x−12=0，(x−3)(x+4)=0，x1=−4，x2=3．故选D．2.答案：D解析：【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0.属于基础题．根据一元二次方程的定义可得m−2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m−2≠0，解得：m≠2，故选：D．3.答案：B解析：【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．先由EF//AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．【解答】解：∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =ECAC=14，∴AB=4EF=24m，故选：B．4.答案：B解析：【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)根的判别式．当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．一元二次方程中，没有实数根即根的判别式Δ=b2−4ac<0．【解答】解：A、Δ=(−2)2−4×1×(−5)>0，所以方程有两个不相等的实数解，所以A选项错误；B、Δ=(−2)2−4×1×5<0，所以方程没有实数解，所以B选项正确；C、Δ=(−2)2−4×1×0>0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误；D、Δ=(−2)2−4×1×(−3)>0，所以方程有两个不相等的实数解，所以D选项错误．故选：B．5.答案：D解析：解：AB=2，BC=√2，AC=√10，对于图①，三角形三边为2，2√2，2√5，因为√22=2√2=√102√5，所以图①的三角形与△ABC相似；对于图②，三角形三边为2√5，2√10，10，因为√22√5=2√10=√1010，所以图②的三角形与△ABC相似；对于图③，三角形三边为√5，√10，5，因为√2√5=√10=√105，所以图③的三角形与△ABC相似；对于图④，三角形三边为√10，2√5，5√2，因为√2√10=2√5=√105√2，所以图④的三角形与△ABC相似．故选D．先利用勾股定理计算出所有三角形的边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对四组图形进行判断．本题考查了相似三角形判定定理的“三组对应边的比相等的两个三角形相似”.解决本题的关键是利用勾股定理分别计算出图中所有三角形的边长．6.答案：B解析：【分析】根据平行线分线段成比例得到ADAF =BCBE，即35=BC12，求出BC，然后利用CE=BE−BC进行计算即可得出答案．本题考查了平行线分线段成比例：掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．【解答】解：∵AB//CD//EF，∴ADAF =BCBE，即35=BC12，∴BC=365，∴CE=BE−BC=12−365=245，故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程的常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方变形即可得到结果．【解答】解：x2+4x=−3，x2+4x+4=4−3，∴(x+2)2=1．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×宽是解决本题的关键．首先用x表示出矩形的宽，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．【解答】解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x(x+10)=900．故选B．9.答案：3解析：【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，先根据一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式得{m +3≠0,−(m 2−9)=0,求得m 的值即可．【解答】解：由题意，得{m +3≠0,−(m 2−9)=0,所以m =3．10.答案：x =8解析：解：方程移项得：x −2x =−3−5， 合并得：−x =−8， 解得：x =8， 故答案为：x =8方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.答案：−5解析： 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 利用一元二次方程的解的定义，把x =−1代入方程3x 2−2x +m =0得3+2+m =0，然后解关于m 的方程即可． 【解答】解：把x =−1代入方程3x 2−2x +m =0得3+2+m =0，解得m =−5． 故答案为−5．12.答案：1320(1−x)2=660解析：解：设平均每次降价的百分率为x ，由题意得1320(1−x)2=660． 故答案为：1320(1−x)2=660．设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后售价为1320(1−x)，第二次降价后售价为1320(1−x)2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b ．13.答案：∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD或ADAC =ACAB解析：【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定，已知∠A=∠A，根据有两组对应角相等的两个三角形相似或三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似的判定定理可以判定△ACD与△ABC相似，故添加条件∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD或ADAC =ACAB即可判定△ACD∽△ABC．【解答】解；由图可知∠CAD=∠BAC，再加一个对应角相等或ADAC =ACAB即可，所以，可以为：∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD，ADAC =ACAB，故答案为∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD，ADAC =ACAB．14.答案：10解析：解：由DE：EA=2：3，得DEDA =25，∵EF//AB，∴△EFD∽△ABD，∴EFAB =DEAD，∵EF=4，∴4AB =25，解得AB=10，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=10．故答案为：10．根据已知条件EF//AB可以判定△DEF∽△DAB，则该相似三角形的对应边成比例：DEDA =EFAB，根据菱形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．15.答案：解：2x2−5x+1=0，△=√b2−4ac=17>0，由x=−b±√b2−4ac2a=5±√(−5)2−4×2×12×2=5±√174．所以x 1=5+√174，x 2=5−√174．解析：本题考查一元二次方程的解法，利用求根公式法解方程即可．16.答案：(1)证明：∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ，∴BD =DC ，∠EDB =∠EDC =90°，∴△BDE≌△EDC ，∴∠B =∠DCE ，∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACB ，∴△ABC∽△FCD ；(2)∵AD =AC ，AM ⊥DC ，∴DM =12DC ， ∵BD =DC ，∴BD BM =23， ∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE//AM ，∴DE AM =BD BM =23．(3)：过点A 作AM ⊥BC ，垂足是M ，∵△ABC∽△FCD ，BC =2CD ，∴S△ABC S △FCD =4， ∵S △FCD =5，∴S △ABC =20，又BC =10，∴AM =4；∵DE//AM ，∴DE AM =BD BM ∵DM =12CD =52，BM =BD +DM ，BD =12BC =5，∴DE4=55+52， ∴DE =83．解析：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．(1)利用D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 可以得到∠EBC =∠ECB ，而由AD =AC 可以得到∠ADC =∠ACD ，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；(2)根据相似三角形的性质解答即可；(3)利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC 的面积，然后利用面积公式就求出了DE 的长． 17.答案：解：把x =0代入方程，得m2−4=0解得m=±2，∵m−2≠0，∴m≠2，∴m=−2，解析：本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，属基础题．18.答案：解：①−2◯1=(−2)2+(−2)×1−(−2)+2=4−2+2+2=6；②1◯3◯5=(12+1×3−1+2)◯5=(1+3−1+2)◯5=5◯5=52+5×5−5+2=25+25−5+2=47．解析：本题考查了有理数的混合运算，掌握新运算的定义是解题的关键.根据新运算的定义，把−2◯1，1◯3◯5列出式子，再根据有理数混合运算的法则分别进行计算即可．19.答案：解∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴C=∠G，∠A=∠E=118°，ABEF =BCFG，∵四边ABCD，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C=80°，∴∠α=∠G=80°，∵AB=12，EF=6，FG=7，∴126=x7，∴x=14．解析：根据四边形ABCD∽四边形EFGH相似的性质，得出对应边的比相等，对应角相等即可．本题考查了相似四边形的性质，掌握相似四边形的性质对应边的比相等，对应角相等是解题的关键．20.答案：解：∵AB=6，BC=3，∴AC=9，∵AD//BE//CF，∴ABAC =DEDF，即69=DE8，解得，DE=163，∴EF=DF−DE=83．解析：根据题意求出AC，根据平行线分线段成比例定理求出DE，计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．21.答案：解：设该花圃的一边AB的长为xm，则与AB相邻的边BC的长为30−3x，由题意得：(30−3x)x=63，即：x2−10x+21=0，解得：x1=3，x2=7当x=3m时，平行于墙的边BC长为：30−3x=21m>10m，不合题意舍去；当x=7m时，平行于墙的边BC长为：30−3x=9m<10m，符合题意，所以，AB的长是7m．解析：设AB的长为xm，则平行于墙的边BC长为：(30−3x)m，该花圃的面积为：(30−3x)x，令该面积等于63，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．22.答案：解：(1)∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，∠DCA+∠A+∠D=180°，∠A=∠DCE，∴∠D=∠ECB，∵∠A=∠B，∴△DAC∽△CBE，∴ACBE =ADBC．(2)设BD交CE于点G，如图所示，∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，∴△ADC∽△ABD，∴ACAD =ADAB，即3AD=AD3+163，解得AD=5，∴DC=√34，DB=5√343设∠DBA=∠CDA=α，∴∠CDG=90°−2α，∴∠CGD=2α，∴∠GCB=∠GBC=α，∴CG=GB，设CG=GB=x，∴DG=5√343−x，∴(√34)2+x2=(5√343−x)2，解得x=8√3415，∴tan∠CDB=815．(3)以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，如图所示，则EH=EC，∵∠ADC=∠ABD，∠A=∠A，∴△ADC∽△ABD，∴ADAC =ABAD，∴AD3=3+163AD，解得AD=5，∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，∴∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，∵∠ABD=∠ADC，∴∠BEH=∠ACD，∴△BEH∽△DCA，∴BECD =EHAC=1253=45．解析：此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．(1)根据∠A=∠DCE=∠CBE，可推出∠ADC=∠ECB，从而得到△ADC∽△ECB，则ACBE =ADBC．(2)根据∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ABD，从而求出相应的线段长度，得到tan∠CDB的值．(3)根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ABD，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△DCA，则BECD =EHAC=1253=45．23.答案：解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2+2(k+4)x+(k−4)=0有实数根，∴b2−4ac=[2(k+4)]2−4k(k−4)≥0，即48k+64≥0，且k≠0，解得：k≥−43且k≠0；(2)①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0，∴b2−4ac=[2(k+4)]2−4k(k−4)=0，解得：k=−43．此时原方程化为x2−4x+4=0，∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，∴△ABC的周长为：3+2+2=7；②若a=3为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3，代入方程：kx2+2(k+4)x+(k−4)=0，得：k×32+2(k+4)×3+(k−4)=0，∴解得：k=−54，∵x1x2=bc=k−4k =−54−4−54=215=3c，∴c=75，∵75，3，3能够成三角形∴△ABC 的周长为：3+3+75=375．所以△ABC 的周长为7或375．解析：(1)根据方程的根的判别式，若△=b 2−4ac ≥0，则方程有实数根，同时要注意一元二次方程二次项系数不能为0；(2)已知a =3，则a 可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b ，c 的值后，再求出△ABC 的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系进行检验．此题主要考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三角形的三边关系进行检验．24.答案：解：(1)设过A(0,8)，B(4,0)两点的直线解析式为y =kx +b ，∴y =−2x +8，①直线y =−x 从点0出发以1单位长度/s 的速度匀速沿x 轴正方向平移，此时函数解析式为y =−x +t ，∴D(0,t)，E(4−12t,t)，C(t,0)，当CD =CE 时，∴2t 2=(4−32t)2+t 2， ∴t =8或t =85，当CD =DE 时，DE =|4−12t|，CD =√2t ，∴|4−12t|=√2t ， ∴t =16√2−87，或t =−8−16√27， ∵0≤t ≤3，∴t =85或t =16√2−87； ②∵△CDE 沿DE 翻折后得到△FDE ，∴F(t,2t)，当F 在直线AB 上时，t =2，∴0≤t ≤2时，y =S △EFD =12×(4−12t)t =−14t 2+2t ，当2<t ≤4时，DF 所在直线解析式为y =x +t ，∴DF⊥AB，作GP⊥DE，FQ⊥DE，∴FQ=t，DQ=t，GP=2PE，DE=4−12t，∴GPFQ =DPDQ，∴GP=8−t3，y=12×(4−12t)×8−t3=112t2−43t+163；(2)如图3：过点M作ME⊥x轴，交x轴于E点；过点M作y轴垂线，过N做x轴垂线，相交于点F；过点M做AB直线的垂线，∵∠NMC=∠NMG+∠CMG=90°，∠GMB=∠GMC+∠CMB=90°，∴∠NMG=∠CMB，∵FH//x轴，∴∠CBA=∠HMB，∵∠FMG=∠KMH，∠KMH+∠HMB=90°，∠BME+∠MBE=90°，∴∠BME=∠KMH=∠FMG，∴∠CME=∠NMF，在Rt△NMF和Rt△CME中，MN=MC，∠CME=∠NMF，∴Rt△NMF和Rt△CME(AAS)，∴MF=ME，∵点M是AB的中点，∴M(2,4)，∴ME=MF=4，∴N在NF所在直线上运动，∴N点横坐标是−2，如图：作A点关于直线x=−2的对称点A′，连接A′M与x=−2交点为N，此时AN+NM的值最小；A′(−4,8)，∴A′M=2√13；∴AN+MN的最小值2√13；解析：(1)求出AB直线解析式，设出移动后的直线y=−x+t，当CD=CE时，当CD=DE时分别求出t的值；(2)0≤t≤2时，y=S△EFD=−t2+4t；当2<t≤4时，DF所在直线解析式为y=x+t，得到DF⊥AB，作GP⊥DE，FQ⊥DE，由GPFQ =DPDQ；(3)N的运动轨迹在x=−2的线段上，当t=0时AN+MN最小．N(−2,6)，AN+MN最小值2√2+2√5．本题考查一次函数的图象与性质，一次函数的平移；熟练掌握一次函数解析式的求法，平面内点的表示，两点间距离的求法是解题的关键．。
