2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测(一)理科数学试题(word版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =( ) A. {}0,1,2,3,4 B . {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,2【答案】A 【解析】试题分析：题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为( ) A. i B. 2i C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 考点：复数的除法运算与复数虚部的概念. 3.抛物线24y x =-的准线方程为( ) A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.4.已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A.C.【答案】D 【解析】 试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则,a b 的夹角余弦值为cos ||||20a b a b θ∙===∙⨯故选D. 考点：向量的基本运算. 5.下列说法中准确的是( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 【答案】 D 【解析】试题分析：选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法准确，故选D.考点：对逻辑问题的综合考查.6.若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.考点：线性规划.7.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =.那么判断框内应填( )A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥ 【答案】A考点：程序框图.8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为( )【答案】C 【解析】试题分析：由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x+-+-==⋅⋅⋅⋅，可得x =且cos C =sin C =，故1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=C. 考点：解三角形.9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6C. 2+2+【答案】B 【解析】底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6+故选B. 考点：三视图.10.已知函数3||x x y e=,则其图像为( )【答案】A【解析】试题分析：函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.考点：函数图象. 11.函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论： ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中准确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 4【答案】B考点：三角变换.12..设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',且22()()f x xf x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是( ) A. ()0f x > B. ()0f x < C. ()f x x > D. ()f x x <【答案】A 【解析】试题分析：当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.考点：利用导数考查抽象函数的特征问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.考点：二项展开式系数问题.14.已知随机变量ξ服从正态分布()2N m σ，，若(3)(4)P P ξξ-=≤≥，则m =________. 【答案】12【解析】试题分析：由正态分布的性质可知，34122m -+==. 考点：正态分布.15.已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==,SB AC ==,SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】14π 【解析】试题分析：由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，所以表面积为14π.考点：球的内接几何体问题.16. 如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC =,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.【解析】试题分析：设双曲线的标准方程为22221x y a b -=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2cA c C y -，由23AE EC =，得022(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =，离.考点：双曲线的标准方程以及离心率.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N . (1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)求：12n S S S +++.【答案】（1）证明详见解析；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 【解析】试题分析：本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用，考查学生的分析问题解决问题的水平、转化水平、计算水平.第一问，利用1n n n a S S -=-，由112()n n n a S n +*+=+∈N 将11n n n a S S ++=-，经整理得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；第二问，先利用第一问的结论，利用等差数列的通项公式，得到n S ，再利用错位相减法求和，在计算过程中需用等比数列的前n 项和公式求和化简.试题解析：(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n n S S ++-=，所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分） (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）考点：数列通项公式、等比数列的前n 项和公式，错位相减法. 18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生实行问卷调查,结果如下： 女生：男生：(1)从这20名男生中随机选出3人,求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率; (2)完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别相关”？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）2895；（2）没有把握. 【解析】试题分析：本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理水平，考查学生的分析问题解决问题的水平、转化水平、计算水平.第一问，在睡眠时间不足7小时的人中选1人，在剩余睡眠时间够7小时的人中选2人，即12128C C ，再计算概率；第二问，利用2k 的公式计算，再查表实行比较大小即可判断.试题解析：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别相关”（12分）考点：概率、统计案例. 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =.(1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在(1)条件下,求平面PBC 与平面11PB C 所成二面角的大小.【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）大小为90︒. 【解析】试题分析：本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过度层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象水平、推理论证水平和运算求解水平.第一问，在直角三角形ABC 中计算出BC ，在等边三角形PBC 中计算出PC 和PB ，最后在三角形PAC 中，计算PA ，从而得到点P 的位置；第二问，先根据图中的垂直关系建立空间直角坐标系，通过计算，得到平面11PB C 和平面PBC 的法向量，因为0m n ⋅=，利用向量垂直的充要条件，得到m n ⊥，即平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.试题解析：（1）由题意PC PB ==，在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处. （4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C -- 设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有110n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，得(1,1,2)n =-，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =， 可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.考点：线线垂直、线面垂直、二面角、向量法. 20.(本小题满分12分)设点A ,B 的坐标分别为(2,0)-,(2,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存有最小值?若存有,求出此时D 点的坐标;若不存有,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=(2)x ≠±；（2）DEF S ∆取最小值，此时D . 【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维水平和运算求解水平.第一问，利用直线AP ,BP 的斜率之积是14-，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到点p 的轨迹方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值.试题解析：(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分） (2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y -- 由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1||2|EF x ==同理可得2x =，||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时D . （12分） 考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系.21.(本小题满分12分)已知函数()1xf x e ax =--.(1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()ln(1)ln x g x e x =--,当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1a ≤.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生的分析问题解决问题的综合水平、转化水平、计算水平.第一问，对()f x 求导，对a 实行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'()0f x >和'()0f x <实行判断；第二问，将当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,转化为()g x x <和()g x x >，下面先证明0()g x x <<(0)x >，分左右两部分，证明再结合第一问的单调区间判断a 的取值范围.试题解析：(1) ()1x f x e ax =--，()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0x f x e a '=-=，得ln x a =， 则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分）(2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<，先证ln(1)ln 0x e x -->，即1x e x >+，显然成立.再证ln(1)ln x e x x --<，只需证1x x e xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x x h x e xe e xe '=+-=>，即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <， 当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分） 考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证： 2A F ∠=∠;(2)若112AE EC ==.求BC 的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）BC =考点：平面几何的证明、三角形相似.23.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y +-=；（2）【解析】试题分析：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解水平有一定要求. 第一问，利用平方关系消参，得到曲线C 的普通方程，利用22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化，得到直线l 的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论.试题解析：(1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. （5分）(2) 设点P坐标为,sin )θθ，点P 到直线l的距离)3d πθ==+ 所以点P 到直线l距离的最大值为 （10分） 考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求不等式2()815f x x x -+≥的解集.【答案】（1）2a ≤或8a ≥；（2）{|25x x ≤≤+.【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 第一问，利用不等式的性质得|||5||5|x a x a -+-≥-，所以不等式()3f x ≥恒成立,能够转化为|5|3a -≥，解绝对值不等式即可得到a 的取值范围；第二问，先把函数()f x 写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.试题解析：(1) 因为()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分） (2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤{|25x x ≤≤.（10分） 考点：绝对值不等式、不等式的性质.。

2019年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线21 2x y=的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12(D).145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12(D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列(A). 若m//n，n⊂α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A）12 （B）12（C）12（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y ＝f(x)是奇是函数 ②.y ＝f(x)是周期函数 ,周期为2π ③..y ＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分12分） 设等差数列的前n 项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式第10题图俯视图侧视图正视图(2).若成等比数列,求正整数n 的值 .18. (本小题满分12分） 已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.21. (本小题满分12分） 已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.E D 1A 1DCBA第19题图请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.(1).求证:E为AB的中点;(2).求线段FB的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为 ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B . 2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B . 3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D .5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-， 1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测（一）理科数学试题（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算展开得到表达式，即可得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：.故答案为：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知集合，则满足条件的集合的个数为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到：有,写出集合M的子集即可.【详解】根据题意得到：有，即找集合M的子集个数，有：共有4个集合是M的子集.故答案为：D.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．3.函数的最大值为，【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的两角和的正弦公式和化一公式得到函数表达式为：从而得到最大值.【详解】函数故最大值为：.故答案为：A.【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，考查了函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.4.下列函数中是偶函数，且在区间上是减函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.【详解】A.,,函数是偶函数，在上是增函数，故不正确；B. ,是偶函数，，在区间上是减函数，故正确；C. ，，是奇函数，故不正确；D. ，，是偶函数，但是在上是增函数，故不正确；故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的点积运算得到，进而得到角的余弦值，求出角.【详解】设向量夹角为，根据向量的点积运算得到：故夹角为：.故答案为：C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.6.已知等差数列中，为其前项的和，，，则A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质得到=，=，，联立两式可得到公差，进而得到结果.【详解】等差数列中，为其前项的和，=，=,,联立两式得到故答案为：C.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

吉林省长春2019届上学期第一次质量检测试题高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,3 【答案】C .考点：集合间的基本运算；2.已知向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，若a b a b →→→→+=-，则实数λ的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【答案】C . 【解析】试题分析：因为向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，所以(22,2)a b λ→→+=+，(2,0)a b →→-=-，于是由a b a b →→→→+=-2=，解之得1λ=-，故应选C .考点：平面向量的坐标运算；【方法点晴】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若469,11a a ==，则9S 等于( )A ．180B ．90C ．72D ．10【答案】B .考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；4.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x = B ．2xy = C.21log y x= D ．sin y x = 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项A ，函数2y x =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项B ，函数2xy =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项C ，函数21log y x=为偶函数且在(),0-∞上单调递增的函数，符合题意；对于选项D ，函数sin y x =为奇函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性. 5.设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为（ ） A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为复数i z --=122(1)1(1)(1)i i i i -+==-+---+，所以1z i -=--，于是(1)1i z i i i -⋅=--=-，所以在复平面内z i ⋅对应的点坐标为()1,1-，故应选D . 考点：1、复数的基本概念；2、复数的四则运算. 6.如图所示，程序框图的功能是（ ） A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 第6题图【答案】B .考点：1、算法与程序框图；7.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B.92 C.32D.3【答案】C .【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、搞分别为1、2、2的直角梯形，一条边长为x 的侧棱垂直于底面.于是其体积为12(12)3322x ⨯+⨯=，解之得32x =，故应选C .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 8.有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；2:P 函数3sin()2y x π=-与函数cos y x =的图像相同； 300:,2cos P x x π∃∈=R ；4:P 函数|cos |y x =()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A. 1P ，4P B ．2P ，4P C ．2P ，3P D ．1P ，2P【答案】D .考点：1命题的真假判断与应用；9.设,,a b c 是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A. 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B. 当b α⊂时，若b β⊥，则βα⊥C. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 【答案】B .考点：1、空间中直线与平面之间的位置关系； 2、空间中直线与直线之间的位置关系；3、空间中平面与平面之间的位置关系.10.下列四个结论正确的个数是（ ）①若n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r ②由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积是2ln 2③已知随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξP ④设回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均增加2.5个单位A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D . 【解析】试题分析：对于①，因为n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关性最强，所以相关系数为1-，即①为正确的；对于②，由定积分的几何意义知，由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积可表示为22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，即②为正确的；对于③，由正态分布的对称性知，(2)(4)1(4)10.790.21P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，即③为正确的；对于④，因为回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均减少2.5个单位，所以④不正确，故应选D . 考点：1、命题的真假判断；2、线性回归方程；3、定积分的几何意义；4、正态分布.11.直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （ ）A .0或1 B. 0或1- C ． 1- D ． 1 【答案】B .考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)1f =，)(x f '为()f x 的导函数，又知)(x f y '= 的图像如图所示，若两个正数b a ,满足，1)2(<+b a f ，则12++a b 的取值范围是（ ） A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,32 C ．]25,41[ D ．⎪⎭⎫⎝⎛25,41【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数的几何意义3、线性规划.【思路点晴】本题属于线性规划中的延伸题，主要考查导函数的几何意义、线性规划等综合知识，属较难题. 对于可行域内求线性目标函数的最值，其解题的思路为：首先利用导数与函数的关系可得关于,a b 的不等关系式，然后画出关于,a b 的可行域，再结合直线斜率的几何意义可知，式子12++a b 表示的几何意义是可行域中的点与(1,2)--的连线的斜率问题，运用数形结合思想即可得出结论.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-. 【解析】试题分析：因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r r C C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.考点：1、二项式定理.14.记集合(){}()221,1,,00x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为,M N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________． 【答案】π21.考点：1、几何概型的概率计算公式； 15.已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为【答案】2π. 【解析】试题分析：因为π=⎰，所以201320150a a π+==⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++22220142012201420142016201320132015201522a a a a a a a a a =++=++220132015()a a =+2π=，故应填2π.考点：1、等比数列的性质；2、定积分；【思路点晴】本题综合考查了等比数列及其性质和定积分的计算，是数列与定积分的综合应用，属中档题.解答该题基本思路：首先运用定积分的几何意义求出已知的定积分，然后利用等比数列的性质即若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，建立起所求的未知问题与已知条件之间的联系，最后运用平方和公式即可求出所求答案.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有()()13-=-x f x f 成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-, 给出下列命题(1) ()f x 在[2,2]-上有5个零点；(2) 点(2016,0)是函数()y f x =的一个对称中心； (3) 直线2016x =是函数()y f x =图像的一条对称轴； (4)()()π<f f 2.9. 则正确的是 ．【答案】(1)、(2)、(4).00.841π<<-<，所以(0.8)(4)f f π>-，所以(9.2)()f f π<，即命题（4）正确. 故应填(1)、(2)、(4).考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性；3、函数的对称性；4、函数的单调性.【易错点晴】本题综合考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的单调性，是函数的图像及其性质的综合应用，属较难题.解答该题应注意以下几个易错点：其一是未能读懂题意，不能将题目表达式转化为所学的函数性质问题如函数的周期性和单调性；其二是对函数的图像未能准确把握，不能正确理解函数的对称中心和对称轴的基本概念.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分10分) 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-= A.10B.10- C.10i D.10i -2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M =的集合N 的个数为A.1B.2C.3D.43.4.A.y =5.A.30︒6.A.3-7.A.18.分到A.69.求得其回归方程为 1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，10.我国古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A.4.5B.6C.7.5D.1011.B 外任意A.y x =±12.(0)a f =A.c b >>13.24log 4log 2+=.14.若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为. 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S =.16.为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2b a Cc =+.(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=,求a 的最小值.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒(1)求证:(2)19.((1)Q 作x (2)C 的方程.20.(气温([20,25)，需求量为（1（2n （单21.(已知函数21()(,)2x f x e bx ax a b =-+∈R .（1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12； （3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)22(2)1.C 2.D N M =有3.A 本题考查三角函数的相关知识由题意可知函数最大值为4.B 本题主要考查函数的性质 5.C 6.C 7.D 8.B 【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B. 9.D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10.D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11.C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C.12.A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0x x g x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52.14.12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.15.1016.17.( cos （2 2≥18.( 由平面⊥PAD 2的菱形，∠A （2(0,0,3)，A ，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=. 19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而220||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===.因此X（2 200 当 因此 当 因此 所以21.(设(g 当x 所以因为（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12.（8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()xf x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0xf x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=- 当0b =时，0ab =；当0b <时，()0x g x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<22.(32=AB 得sin α23.(。

长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C.2. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D.3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 14. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====. 15. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 16. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其2142S =⨯⨯=.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-. 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，12≥+. 长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5.C6. C7. D8. B9. D 10. D 11. C12. A简答与提示：17. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 18. 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =有N M ⊆.故选D. 19. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 20. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.21. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 22. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 23. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 24. 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B.25. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 26. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 27. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为 y =.故选C. 28. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 10 16. 简答与提示：29. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52. 30. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.31. 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =. 32. 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其21422S =⨯⨯⨯=. 三、解答题24. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】解：（1）由c C a b 21cos +=可得1sin sin cos sin 2B A C C =+，所以1cos ,23A A π== .（2）由（1）及3=⋅AC AB 得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c =+-=+-266bc ≥-=，当且仅当=b c 时取等号，所以a.25. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥PAD 平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P ，(1,0,0),(2,3,0)A B C -，有(1,0,3),(0,3,PA PB =-=，(PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =，同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为||105||||m n m n ⋅=.26. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识. 【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x ==||2AB p =，从而2200||2||||QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ， 有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有1212(4)(4)0y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =.27. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 【试题解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X===，()25745000.490P X ++===. 因此X （2200，因此只需考虑 200500n ≤≤. 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=； 若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.4120020.480020.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-.当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-； 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 28. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+，设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减， 所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.（4分） （2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<， 所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-， 所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时，()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+.令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. （8分）（3）()212x f x e bx ax =-+，()x f x e bx a '=-+由()f x 为R 上的单调函数，可知()f x 一定为单调增函数因此()0x f x e bx a '=-+≥，令()()xg x f x e bx a '==-+，()x g x e b '=-当0b =时，0ab =；当0b <时，()0xg x e b '=->，()y g x =在R 上为增函数 x →-∞时,()g x →-∞与()0g x ≥矛盾当0b >时,()0ln ,()0ln g x x b g x x b ''>⇔><⇔<当ln x b =时,min ()ln 0g x b b b a =-+≥，22ln (0)ab b b b b - >≥令22()ln (0)F x x x x x =->，则()(2ln 1)F x x x '=-()0()00F x x F x x ''>⇔><⇔<<当x =,min ()2e F x =-,ab 的最小值为2e-.（12分）29. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin α=，所以3πα=或23πα=. 30. (本小题满分10分)数学（理科）试题+参考答案及评分标准 第11页（共11页） 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=. （2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+=，1≥+.。

2018-2019学年上学期期末考试高三数学试卷（理）考试时间：120分钟 分值：150分 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}32|+==x y y A , {|21}x B x =≥，则=B A （ ） A ．{}1|≥x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥23|x x C ．{}0|≥x x D ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-023|x x 2.若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan()4πθ-的值为（ ）A ． 7-B ．17-C ． 7D ． 7-或17-3.函数20.5log (32)y x x =-+的递增区间为A ．3(,)2+∞B ．3(,)2-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,1)-∞ 4.若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④若n m ==γβγα ,,n m //，则//αβ 则以上说法中正确的有( )个 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5.下列判断中正确的是（ ）A ． “若0m >，则20x x m +-=有实数根”的逆否命题是假命题B ． “3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线6(1)4x y λ+-=平行”的充要条件C ． 命题“,sin cos x R x x ∀∈+D ． 已知命题0:p x R ∃∈，使得0lgcos 0x >；命题:0,30x q x ∀<>，则p q ⌝∧是真命题. 6.设数列}{n a 中，若)N (21*++∈+=n a a a n n n ，则称数列}{n a 为“凸数列”.已知数列}{n b 为“凸数列”，且11=b ，22-=b ，则数列}{n b 的前2019项和为（ ） A ．1B ．1-C ． 4-D ． 5-7.若向量,m n 满足4,5,29m n m n ==-=，则m 与n 夹角的余弦值是（ ）A ．716B ．916C D8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ． 20 B ． 15 C ． 10 D ． 59.设 ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，,B C ∠∠的平分线方程分别为0,x y x ==，则直线BC 的方程为（ ）A ．25y x =+B ．52-=x yC ．35y x =+D ． 1522y x =+ 10.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ． 函数()f x 的周期为πB ． 函数()y f x π=-为偶函数C ． 函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增 D ． 函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称11.函数21()ln (0)2f x x x ax x =+->在区间1[,3]2上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 5(,3]2B ． 510[,)23 C ．510(,]23 D ． 10[2,]312.设函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，)23()21(x f x f +=-，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(3,5) B ．[4,6] C ．[3,5] D ． (4,6)二．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上 13.曲线)20(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围成的封闭图形的面积是______．14.A B C 、、是平面上不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足1[(22)(12)]()3OP OD OC R λλλ=-++∈，则点P 的轨迹一定过ABC ∆______心（内心、外心、垂心或重心）．15.已知圆221:220C x y x y ++-=，圆222:260C x y x y +-+=，则两圆的公共弦长是 ______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA A B ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为__________．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．(本题共10分）已知等差数列{}n a 中，11-=a ，前12项和18612=S (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{}n b 满足12nan b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 167n T <)(*N n ∈。

吉林省长春市普通高中2019届高三数学质量检测试题（三）文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知集合，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求出A与B的交集即可．【详解】找出A与B的交集即可．解：集合，则，故选：D．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.在复平面内，复数对应的点位于（）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行，不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：，此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行：，此时，循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A. 0B. 10C. 15D. 30 【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，则（2）•（﹣2）＝﹣4+5．故选：A．【点睛】本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．7.若，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指对函数的单调性即可比较大小.【详解】解：因为，所以，故选：B．【点睛】本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比 2017﹣2018 年增量大B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加C. 2015﹣2016 年研发投入增值最大D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可．【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．10.函数部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.【详解】定义域为：为奇函数，可排除；当时，，可排除，从而可得正确本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.11.已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（）A. B. 8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由，知的最小值为，由此能求出结果．【详解】解：抛物线的准线方程为，∵，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，∵点A在抛物线上，∴A的坐标∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为，∴，∴的最小值：．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12.已如函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可根据题意及画出的分段函数的图象确定出，然后可将和代入到确定的表达式，得到和的关系式，再用表示，则可只用表达，再构造函数与的表达式一致，通过求导方法判断出的值域即可得到的取值范围．【详解】解：根据题意，画出分段函数图象如下：由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1．否则不满足∴，∴，∵，∴，∴，，．构造函数，．则．∵，∴，∴，∴，∴．∴．∴在上是单调递增函数．∴．∴．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．二、填空题.13.已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．【详解】由周期公式，可得ω=2，由，得，所以，平方得，∴故答案为：2；．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．【答案】①②④【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为2，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．16.已知数列中，，则＝_____【答案】【解析】【分析】根据递推公式，可配凑出，从而得到为等差数列，通过求解前项和求得结果.【详解】可知：数列为等差数列，首项为，公差本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列前项和问题，关键是能够采用倒数法，将递推公式整理为等差数列定义式形式，从而配凑出等差数列，利用等差数列相关知识求解得到结果.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，．（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．【详解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，所以，所以．（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以．【点睛】本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．【答案】(Ⅰ) 第一车间60人，第二车间300 人(Ⅱ) 第二车间工人生产效率更高(Ⅲ) 【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（I）估计第一车间生产时间小于的人数为（人），估计第二车间生产时间小于的人数为（人）；（II）第一车间生产时间平均值约为（），第二车间生产时间平均值约为（）；∵，∴第二车间工人生产效率更高；（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于的工人有6人，其中生产时间小于的有2人，分别用、代表生产时间小于的工人，用、、、代表生产时间大于或等于，且小于的工人；抽取2人基本事件空间为共15个基本事件； 设事件A ＝“2人中至少1人生产时间小于”，则事件共9个基本事件；∴．【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.如图，等腰梯形ABCD 中，，E 为CD 中点，以AE为折痕把折起，使点D 到达点P 的位置（P平面ABCE ）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【答案】证明见解析；.【解析】 【分析】通过等腰梯形中的长度和平行关系可证得，可知翻折后，，从而可得平面，进而证得结论；求解出三棱锥体积后，利用求出结果.【详解】证明：在等腰梯形中，连接，交于点四边形为平行四边形等边三角形在等腰梯形中，,翻折后可得：又平面，平面，平面平面当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,平面又设点到平面的距离为【点睛】本题考查立体几何中线线垂直的证明、点到平面距离的求解.在立体几何问题中，证明线线垂直通常采用先证线面垂直，再利用线面垂直性质得到结论；求解点到平面距离的解题方法是利用体积桥的方式建立方程.20.已知函数．（Ⅰ）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式有解，求a的取值范围．【答案】的极小值点为，无极大值点；且.【解析】【分析】求导后可知当时，取最大值，从而求得，得到，根据函数单调性求得极值点；有解，可知，通过导数可得到，设函数，只需，求得，可知且即可，从而得到的取值范围.【详解】当时，取最大值此时在上，，单调递减；在上，，单调递增的极小值点为，无极大值点且在上，，单调递减在上，，单调递增关于不等式有解令在上，，单调递增；在上，，单调递减可知：且的取值范围是且【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，重点考查了利用导数解决能成立问题，关键在于能将能成立的不等式转变为最值与定值的关系，再利用导数求得函数最值，从而求解得到结果.21.如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的距离为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足．（1）求椭圆C方程；（2）求四边形面积的最大值．【答案】；.【解析】【分析】根据离心率和的长度求得，从而得到椭圆方程；四边形的面积可以表示为：，通过假设直线分别求得和，从而将问题转化为函数最值求解问题，从而得到结果.根据不同的假设直线的方式，会构成不同的函数，得到不同的解法.【详解】又且，解得：，因此椭圆的方程为法一：设，，直线……①；直线……②由①②解得：又四边形的面积当时，的最大值为法二：设直线，则直线……①直线与椭圆的交点的坐标为则直线的斜率为直线……②由①②解得：四边形的面积：当且仅当时，取得最大值【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的四边形面积最值的求解.解决椭圆中最值或取值范围问题时，能够根据条件将所求面积构造成关于某一变量的函数关系是解题的关键，得到函数关系后，采用求解函数值域的方式得到最值或取值范围.22.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．【答案】（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．【详解】（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：；法一：设，利用，可得，从而推得，求得最大值；法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.【详解】（Ⅰ）①当时，②当时，③当时，综上：的解集为（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知即又且则，设同理：，，即当且仅当时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知即又且当且仅当时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知即由柯西不等式可知：即：当且仅当即时，取得最大值【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果.。

精品范文，下载后可编辑长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(3)i i -+-=A. 10B. 10-C. 10iD. 10i -2.已知集合{0,1}M =，则满足条件M N M =U 的集合N 的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.函数()sin()sin 3f x x x π=++的最大值为，A.3 B. 2 C. 23 D. 44.下列函数中是偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数的是 A. ||1y x =+ B. 2y x -= C. 1y x x=- D. ||2x y = 5.已知平面向量a 、b ，满足||||1==a b ，若(2)0-⋅=a b b ，则向量a 、b 的夹角为 A. 30︒ B. 45︒ C. 60︒ D. 120︒ 6.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A. 3- B. 5- C. 3 D. 57.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为A. 1B.32 C. 22 D. 128.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为，A. 6B. 12C. 24D. 36 9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为$1.1630.75y x =-，以下结论中不正确的为190 185 180 175 170 165 160 155 150 1451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高臂展A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为， A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 1011.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A 、B ，点P 为双曲线上除A 、B 外任意一点，且点P 与点A 、B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐进线方程为，A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =±12.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是 A. c b a >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.24log 4log 2+= .14. 若椭圆C 的方程为22134x y +=，则其离心率为 . 15.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =,则3S = .16.则该三棱锥的表面积为 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos 2b a Cc =+. (1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=u u u r u u u r,求a 的最小值.18. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点. (1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>.(1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.20. (本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)216362574最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时？Y 的数学期望达到最大值？21. (本小题满分12分) 已知函数21()(,)2xf x e bx ax a b =-+∈R . （1）当1a >-且1b =时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-且1b =，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12； （3）若()f x 在R 单调函数，求ab 的最小值.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<≤），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求α的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲 已知0a >，0b >，2a b +=. (1)求证：222a b +≥；(2)12+.长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D M N M =U 有N M ⊆.故选D. 3. A 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A . 故选A. 4. B 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 9475S S a -=.故选C 7. D 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为6π.故选D. 8. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A ，有6种；第二类，甲单独在A ，有6种，共12种.故选B. 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a=-=-，从而渐近线方程为y =.故选C.12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()(),()(()())0xxg x e f x g x e f x f x ''==+>，所以()g x 在定义域内单调递增，从而(0)(ln 2)(1)g g g <<，得(0)2(ln 2)(1)f f ef <<，即a b c <<. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52【命题意图】本题考查对数运算. 【试题解析】由题意可知值为52.14. 12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e ====.15. 10【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得263396()()S S S S S -=-，得310S =.。

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案.【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为. （1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。