工程力学10
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Pa l
YA
∑Y
= 0,
∴ YA =
P(l − a) l
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第十章 弯曲内力
P B
P B
RB
第16页
②求内力——截面法
∑Y
= 0,
∴
Q
=
YA
=
P(l − l
a)
∑mC = 0 , ∴ M = YA ⋅ x
m XA A
YA
x
m
P B
RB
∴ 弯曲构件内力
剪力（Fs）
A
Q
弯矩（M）
C
YA
Q
1. 剪力： Fs 构件受弯时，横截面上其作用
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
p
m
q 对称轴
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纵向对称面第十章 弯曲内力
轴线
第8页
3、支座简化
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：
桥梁下的固定支座，止推滚珠 轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：
1m
2m
1m 1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
∑MA =0
FBy = 7KN
∑MB =0
FAy = 3KN
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第十章 弯曲内力
第23页
M0 =8KN.m
q=2KN/m
A
E
C
B
1m 1m
F Ay
FBy
2m
1m
P=2KN
F D
1m
2、求指定横截面上的剪力和弯矩
∑ C截面： FSC = Fy (左侧) = FA（y ↑ ）− q ⋅1(↓)
纵向对称面
第十章 弯曲内力
第6页
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
p
m
q 对称轴
对称轴
对称轴
纵向对称面
轴线
纵向对称面——通过梁轴线和截面对称轴的平面。
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第十章 弯曲内力
第7页
§10-2 梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计 算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
桥梁下的辊轴支座，滚珠轴 承等。
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第十章 弯曲内力
第9页
向心推 力轴承
滚珠轴承 车床主轴示意图
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第十章 弯曲内力
第10页
火车轮轴简化
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第十章 弯曲内力
第11页
③固定端
3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， XA
MA
木桩下端的支座等。
YA
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M(+)
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M(+) M(-)
第十章 弯曲内力
M(-)
第18页
例题1 求图示简支梁E 截面的内力 解： 1. 确定支反力
∑ Fy = 0 FAy + FBy = 2F
FAy
FBy
2. 用截面法研究内力(设正法)
∑MA =0
FBy ⋅3a + Fa = 2F ⋅ a
F FBy = 3
5F FAy = 3
以外力矩判断弯矩正负：左顺
FAy
2F
右逆为正，左逆右顺为负。
ME
ME
= 5F ⋅ 3a 32
− 2F ⋅ a 2
= 3 Fa 2
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第十章 弯曲内力
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例2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 B左 截面和 B右 上
的内力。
M0 =8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
F
E
C
B
D
FBy
FAy 1m
中间铰
第14页
2、静不定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。
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第十章 弯曲内力
第15页
§10-3 剪力与弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
解：①求外力
∑X =0, ∴ XA =0
XA A
∑ mA = 0 ,
∴ RB =
垂线上投影的代数和。
FSE
以外力判断剪力正负：左上
FAy
2F
右下为正，左下右上为负。
FSE
5F
F
FSE = 3
− 2F
=− 3
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第十章 弯曲内力
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简便法求截面上的FBy = 3
FAy
FBy 截面上的弯矩等于截面任
一侧外力对截面形心力矩的代
数和。
ME
= 3 − 2 = 1KN
∑ MC =
MC (左侧)
=
FAy
×2−M0
− q ⋅1⋅ 1 2
= −3KN .m
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第十章 弯曲内力
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M0 =8KN.m
q=2KN/m
A
E
C
B
1m 1m
F Ay
FBy
2m
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 = FAy − q ⋅ 3 = −3KN
FSE
∑ Fy = 0
5F
F
2F + FSE = 3 FSE = − 3
∑ ME
a
5F 3a
ME =0
2F ⋅ 2 + ME =
3
⋅ 2
3Fa
FAy
ME = 2
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第十章 弯曲内力
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FSE O
FAy
ME
O
FSE
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5F FAy = 3
ME
F FBy = 3
FBy 分析右段得到(设正法) ：
MC
线平行于截面的内力。
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第十章 弯曲内力
M P
RB
第17页
2. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于横截面的内力偶矩。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负 弯矩。
工程力学
第十章 弯曲内力
§10–1 引言 §10–2 梁的计算简图 §10–3 剪力与弯矩 §10–4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10–5 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
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第十章 弯曲内力
第2页
§10-1 引言
一、实例
工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
F
F
F
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第十章 弯曲内力
第12页
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
②悬臂梁
M —集中力偶 q(x)— 分布力
③外伸梁
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q — 均布力
P — 集中力
第十章 弯曲内力
第13页
1、静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。
（a）简支梁
（b）悬臂梁
（c）外伸梁
（d）静定组合梁
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第十章 弯曲内力
F
第十章 弯曲内力
F F
3
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P
栏杆
a
A
B
阳台梁
q
A
第十章 弯曲内力
M e = Pa
P B
4
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第十章 弯曲内力
5
二、基本概念
弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或在其轴线平面内作用有 外力偶时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
F
q
M
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∑ Fy = 0 FSE + FBy = 0
F
FBy
FSE = −FBy = − 3
∑Mo = 0
3a M E = FBy ⋅ 2 + Fa
3Fa ME = 2
第十章 弯曲内力
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简便法求截面上的剪力和弯矩
5F FAy = 3
F FBy = 3
截面上的剪力等于截
FAy
FBy 面任一侧外力在梁轴线的
