高中数学必修2第2章《点线面的位置关系》导学案

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，反思与感悟 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.反思与感悟 1.判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.2.反证法也用于相关问题的证明.①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：解后反思本例中由于点Q的位置不确定，导致截面形状不确定，故而采用分类讨论的方法来确定截面.另外，作两个平面的交线要注意直线的无限延伸性和平面的无限延展性，不要受所画图形的限制.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行 答案 D解析 这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若l ，m 是异面直线，l ∥α，m ∥β，则α∥β. 答案 ①②解析 对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面DCC 1D 1，B 1C 1∥平面AA 1D 1D ，又AB 与B 1C 1异面，而平面DCC 1D 1与平面AA 1D 1D 相交，故②错误.1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式 (1)按公共点的个数分类⎩⎨⎧直线与平面平行(直线与平面没有公共点)直线与平面不平行⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交(直线与平面有惟一公共点)直线在平面内(直线与平面有无数个公共点)(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.一、选择题1.若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( ) A.b ∥α B.相交C.b ⊂αD.b ⊂α、相交或平行答案 D解析 如图所示，选D.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.答案①③对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质[学习目标] 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的性质定理思考(1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？答(1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.知识点二平面与平面平行的性质思考(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？答(1)不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面.(2)平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.题型一线面平行性质定理的应用例4如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、反思与感悟线∥面线面平行的性质线面平行的判定线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二面面平行性质定理的应用例2已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.②若AB 、CD 异面，如图，过A 作AE ∥CD 交α于E ，取AE 的中点P ，连接MP 、PN 、BE 、ED . ∵AE ∥CD .∴AE 、CD 确定平面AEDC .则平面AEDC 与α、β的交线分别为ED 、AC ，∵α∥β，∴ED ∥AC . 又P 、N 分别为AE 、CD 的中点， ∴PN ∥ED ，又ED ⊂平面α，PN ⊄平面α， ∴PN ∥平面α.同理可证MP ∥BE ，∴MP ∥平面α， ∵AB 、CD 异面，∴MP 、NP 相交. ∴平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，∴MN ∥平面α.反思与感悟 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.跟踪训练2 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长. 解 如图，连接AF ，交β于点G ， 连接BG ，GE ，AD ，CF . 因为平面α∥平面β∥平面γ， 所以BG ∥CF ，GE ∥AD . 所以AB BC ＝AG GF ＝DE EF ＝13.所以AB AB ＋BC ＝14.所以AB ＝154cm ，EF ＝3DE ＝15 cm ，BC ＝AC －AB ＝454cm.题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1. ∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形. ∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP ，A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3. 故112 A MCNA MN SS＝2×12×22×3＝2 6. 反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.跟踪训练3 如图，三棱锥A －BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .证明 ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH . ∵EF ⊄平面BCD ，GH ⊂平面BCD ， ∴EF ∥平面BCD .又∵EF ⊂平面ACD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，∴EF ∥CD . 又∵EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH .转化与化归思想例4如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.分析欲证明线线平行可考虑线面平行的性质，欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质.(1)证明因为AD∥BC，BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面P AD＝l，所以l∥BC.(2)解平行.证明如下：如图，取CD的中点Q，连接NQ，MQ.因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因为MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面P AD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.解后反思常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，三种平行关系不是孤立的，而是相互联系的.面面平行问题常常转化为线面平行问题，而线面平行问题又可转化为线线平行问题，所以要注意转化思想的应用.忽视定理的条件例6如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.分析已知E，F两点为正方体棱的中点，若证四边形BED1F为平行四边形，则先证B，E，D1，F四点共面，再证四边形BED1F为平行四边形.证明如图，连接AC，BD，交点为O；连接A1C1，B1D1，交点为O1.连接BD1，EF，OO1.设OO1的中点为M.由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形.又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M.所以E，B，F，D1四点共面.又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形.解后反思本例中常见的错误是没有证明E，B，F，D1四点共面，而是想当然地认为这四点共面，然后由平面ADD1A1∥平面BCC1B1，且这两个平面与平面EBFD1的交线分别为ED1和BF，故而得出ED1∥BF.这种证法的错误根源在于忽视了立体几何中定理的要求条件，人为地假设条件存在，缺乏严谨性.1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交答案D解析一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面内的直线都不相交. 2.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥b B.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥β C.a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥β D.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 答案 D解析 A 中α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交；B 中α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内；C 中a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出α∥β；D 为面面平行的性质定理的符号语言，正确.故选D.3.若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A.α∥平面ABCB.△ABC 中至少有一边平行于αC.△ABC 中至多有两边平行于αD.△ABC 中只可能有一边与α相交 答案 B解析 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案223解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 5.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.答案 45＋62解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°答案C解析∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC ＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确. 2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于点A′，B′，C′.若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5答案B解析∵平面α∥平面ABC，平面P AB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝P A ′P A ＝25，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝425.3.设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C ( ) A.不共面B.当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A ，B 如何移动，都共面 答案 D解析 如图所示，A ′，B ′分别是A ，B 两点在α，β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′.连接A ′B ，取A ′B 的中点E ，连接CE ，C ′E ，CC ′，AA ′，BB ′.则CE ∥AA ′，从而易得CE ∥α.同理C ′E ∥β.又∵α∥β，∴C ′E ∥α.∵C ′E ∩CE ＝E .∴平面CC ′E ∥平面α.∴CC ′∥α.故不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过点C 且与α，β平行的平面上.4.如图，四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，则( ) A.MN ∥PD B.MN ∥P A C.MN ∥AD D.以上均有可能 答案 B解析 ∵MN ∥平面P AD ，MN ⊂平面P AC ， 平面P AD ∩平面P AC ＝P A ，∴MN ∥P A .5.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有 答案 B解析设这n条直线的交点为P，则P∉a，∴直线a和点P确定一个平面β.设α∩β＝b，则P∈b.又∵a∥α，∴a∥b.显然直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.6.下列结论中，正确的有()①若a⊄α，则a∥α②a∥平面α，b⊂α，则a∥b③平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b④平面α∥β，点P∈α，a∥β，且P∈a，则a⊂αA.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析①中，a与α也可能相交，故①不正确；②③中，a与b也可能异面，故②③不正确；④中，∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a⊂α，又∵P∈a，P∈α，∴a⊂α，故④正确.7.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点答案D解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.二、填空题①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；⑤若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.答案②⑤解析①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.答案 2 解析 因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 10.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.答案 32解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 三、解答题11.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心.(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC .(1)证明 如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2. 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD . 同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ， ∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB .∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CMMB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DNNB ，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .。

2.1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.知识点一平面的概念1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.思考一个平面能把空间分成几部分？答因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分.知识点二点、线、面之间的关系1.直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与数学符号的对应关系：思考若A∈a，a⊂α，是否可以推出A∈α？答根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a⊂α，则A∈α.知识点三平面的基本性质及作用思考(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？答(1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化例1用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.反思与感悟 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型二共面问题例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.证明(1)如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.(2)如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.因为a∩c＝N，b∩c＝Q，所以点N，Q都在平面α内，所以c⊂α.同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪训练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.反思与感悟点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3 如图所示，在四面体A －BCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点.证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点，∴GE ∥AC . 又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，从而FH ∥GE . 故E ，F ，H ，G 四点共面. ∵FH ∥AC ，DH ∶DA ＝2∶5， ∴FH ∶AC ＝2∶5，即FH ＝25AC .又∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ＝12AC ，∴FH ≠GE ，∴四边形EFHG 是一个梯形， GH 和EF 交于一点，设为O .∵O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， ∴O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，∴O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上. 故EF ，GH ，BD 交于一点.分类讨论思想例4 三个平面将空间分成几部分？请画出图形.分析 平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.解 (1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时，将空间分成4部分，如图①所示. (2)当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交(即α∥β，γ与其相交)时，将空间分成6部分，如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示. (4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.解后反思本题在解答过程中，采用了从简单到复杂的处理方法.1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面答案C解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.2.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α答案D解析点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示.3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()答案A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()答案D解析A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_______个平面.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.一、选择题1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.2.如图，用符号语言可表示为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n答案A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于A.3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面答案D解析对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个答案C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC.A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误.6.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案B解析如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面答案D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确.二、填空题8.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.9.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又∵R∈l，∴R∈β.又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.10.若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.11.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.三、解答题12.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.所以BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.第11页共11页。

2.3.1直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.知识点一直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直思考直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？答定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.知识点二直线与平面垂直的判定定理思考线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.知识点三直线和平面所成的角思考若直线l与平面α所成的角是0°角，则必然有l∥α吗？答不一定.若直线l与平面α所成的角是0°角，则l∥α或l⊂α.题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α平行B.l和平面α垂直C.l在平面α内D.不能确定答案D解析如图所示，直线l和平面α平行，或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故正确答案为D.反思与感悟 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.题型二线面垂直的判定例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.反思与感悟证线面垂直的方法有：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1O ， 又EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BB 1O .题型三 直线与平面所成的角例3 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长a ，E 为AD 的中点，连接CE .(1)求AD 与平面BCD 所成角的余弦值； (2)求CE 与平面BCD 所成角的正弦值.解 (1)如图所示，过点A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为点O ，连接OB ，OC ，OD .则OB ，OC ，OD 分别是AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影. ∴∠ADO 为直线AD 与平面BCD 所成的角. 又∵AB ＝AC ＝AD ，∴OB ＝OC ＝OD . ∴O 为△BCD 的外心.∵△BCD 为正三角形，∴点O 为重心. 又正四面体棱长为a ，∴OD ＝32a ×23＝33a . ∴cos ∠ADO ＝OD AD ＝33，∴AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33. (2)取OD 的中点F ，连接EF ，CF .∵E ，F 分别为△DAO 的边AD ，OD 的中点， ∴EF 为△DAO 的中位线. ∴EF ∥AO .又AO ⊥平面BCD ，∴EF ⊥平面BCD . ∴FC 为EC 在平面BCD 上的射影. ∴∠ECF 为CE 与平面BCD 所成的角. 在Rt △EFC 中，EF ＝12AO .而AO ＝AD 2－OD 2＝ a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴EF ＝66a . ∵E 为AD 的中点，∴CE ＝32AD ＝32a .∴sin∠ECF＝EFCE＝66a32a＝23.∴CE与平面BCD所成角的正弦值为2 3.反思与感悟 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点.(1)求D1B与平面AC所成的角的余弦值；(2)求EF与平面A1C1所成的角的大小.解(1)如图所示，连接DB.因为D1D⊥平面AC，所以DB是D1B在平面AC内的射影.所以∠D1BD即为D1B与平面AC所成的角.在Rt△D1DB中，DB＝2AB，D1B＝3AB，所以cos∠D1BD＝DBD1B＝63.故D1B与平面AC所成的角的余弦值为6 3.(2)因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，所以∠EF A1是EF与平面A1C1所成的角.在Rt△EA1F中，因为F是A1D1的中点，所以∠EF A1＝45°.故EF与平面A1C1所成的角的大小为45°.分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，问：BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？并说明理由. 分析 由于矩形是变动的，在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD 与a 有关，故应对a 进行分类讨论.解 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ， 所以P A ⊥QD .又因为PQ ⊥QD ，P A ∩PQ ＝P ， 所以QD ⊥平面P AQ .所以AQ ⊥QD .①当0＜a ＜2时，由四边形ABCD 是矩形，且AB ＝1，知以AD 为直径的圆与BC 无交点，即对于BC 上任一点Q ，都有∠AQD ＜90°，此时BC 边上不存在点Q ，使PQ ⊥QD ； ②当a ＝2时，以AD 为直径的圆与BC 相切于BC 的中点Q ，此时∠AQD ＝90°，所以BC 边上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ；③当a ＞2时，以AD 为直径的圆与BC 相交于点Q 1，Q 2，此时∠AQ 1D ＝∠AQ 2D ＝90°，故BC 边上存在两点Q (即Q 1与Q 2)，使PQ ⊥QD .解后反思 应注意到矩形是变动的，所以应对a 进行分类讨论.分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况，从而划分a 的取值范围，然后进行讨论. 线面垂直例5 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.分析 根据线面垂直的判定定理，要证明OE ⊥平面ACD 1，只要在平面ACD 1内找两条相交直线与OE 垂直即可.证明 如图，连接AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，D 1B 1.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，易证AE ＝CE . 因为AO ＝OC ，所以OE ⊥AC . 在正方体中易求出：D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a .因为D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，所以D 1O ⊥OE .因为D1O∩AC＝O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1.所以OE⊥平面ACD1.解后反思在立体几何的垂直关系的证明中，通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧.1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A.75°B.60°C.45°D.30°答案C解析如图，连接AC，BD，两线相交于O，连接SO，则∠SBO就是侧棱与底面所成的角.易得OB＝22.因为SB＝1，所以SO＝SB2－OB2＝2 2.所以∠SBO＝45°.2.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案D解析根据线面垂直的定义可知，l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.3.已知P A⊥矩形ABCD，下列结论中，不正确的是()A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.P A⊥BD答案C解析如图，由P A⊥矩形ABCD，得BC⊥平面P AB，DA⊥平面P AB，DC⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，P A⊥BD均正确，而PD⊥BD错，故选C.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.答案30°解析tan∠PCA＝P AAC＝13＝33，∴∠PCA＝30°.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 C解析 如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则 BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角.3.空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交答案 C解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.4.如图所示，P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 ∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿着AE 和AF 及EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在四面体A －EFH 中必有( )A.HG ⊥△AEF 所在平面B.AG ⊥△EFH 所在平面C.HF ⊥△AEF 所在平面D.AH ⊥△EFH 所在平面 答案 D解析 ∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.265 C.155 D.105答案 D解析 如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影. ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角. 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.二、填空题7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________时，有AB 1⊥BC 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可.由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可.而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可.8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________. 答案 90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°. 9.已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____.答案 332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心.又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图.∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10.如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________.答案 ①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确.三、解答题11.如图，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM .又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ，∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高. (1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB .(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH ＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22， ∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212. (3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG .又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ， ∴GE ∥FD ，GE ＝FD ，∴四边形DFEG 为平行四边形，∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。