概率论第二章第四节

i, j 1, 2, , 为二维随机向量 X,Y 的联合概率
函数或联合分布律.
（X，Y）的分布律须满足下列条件：
1 pij 0 2 pij 1
ij
• （X，Y）的联合分布律可用表格表示：
Y X
a1 a2
b1 b2
P11 p12 P21 p22
b3
…
p13 … p23 …
bn
…
p1n
…
p2n
j
Y 值域为 Y b1,b2, ，则 Y 的边缘
概率函数或边缘分布（律）为
P Y bj
pij
p
，
j
j 1, 2,
i
可在联合分布律的表上增加一行一列得到X
和Y的边缘分布律。
.
X Y b1
a1
P11
a2
P21
b2 b3
…
p12 p13 … p22 p23 …
bn
… Pi.
p1n … P1. p2n … P2.
Y 本身是一个（一维）随机变量，它的概
率分布称为 X,Y 的关于 X 或Y 的边缘
概率函数(或边缘分布律)。
设随机向量 X,Y 的联合分布为
P X ai ,Y bj pij ， i, j 1, 2, ，
X 的值域为 X a1, a2, ，则 X 的边缘
概率函数为
P X ai pij pi ， i 1, 2, ；
类似对任意 一个固 定的 i ， P X ai 0 ，
i 1, 2,
称
P Y bj X ai
pij ， j 1, 2, pi
为已知X ai 发生的条件下Y 的条件概率函
数或条件分布（律）。记作Y X ai 。

则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)

类似定义，当 f X ( x ) ≠ 0 时
fY | X ( y | x ) = ∂FY | X ( y | x ) ∂y f ( x, y) = f X ( x)
例2.已知(X,Y)的概率密度为
⎧ 21 2 ⎪ x y f ( x, y) = ⎨ 4 ⎪ 0 ⎩ x2 < y < 1 其它
(1)求条件概率密度 fY | X ( y | x ) (2)求条件概率 P {Y > 1 3 | X = − 1 3 } 解: (1)
此法也叫“ 分布函数法”
dF
Y
( y)
dy
例1.设X∼U(-1,1),求Y=X2的概率密度。 解： Q
∴
⎧1 ⎪ f X (x) = ⎨ 2 ⎪0 ⎩ −1< x < 1 其它
y
( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( X 2 ≤ y ) FY
1 ∫ 2 dx = − y y
F 当y<0时，FY ( y ) = 0; 当0≤y<1时， Y ( y ) =
3
0
1 3
1
1
Pk
2
3
1
3
二、一维连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法 若X~f(x),-∞<x<+∞, Y=g(X)为随机变量X的函数， 则可先求Y的分布函数 FY (y) ＝P{Y≤y}＝P {g(X) ≤y}＝ ∫g ( x ) ≤ y f ( x ) dx 再求Y的密度函数
fY ( y ) =
定义. 对于n维随机变量(X1,X2,···,Xn)，如果 存在非负的n元函数f(x1,x2,···,xn)使对任意 的n元立方体
D = ( x1 ,... x n ) : a1 < x1 ≤ b1 , ... , a n < x n ≤ bn

由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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