常用21个统计分布总结

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.现习题91.2 随机事件的概率1.3 古典概型现习题3现习题4现习题5 现习题6现习题7现习题8现习题9现习题101.4 条件概率习题3空现习题41.5 事件的独立性现习题6现习题7现习题8总习题1习题3. 证明下列等式：习题4.现习题5习题6.习题7 习题8习题9 习题10习题11 现习题12习题14 习题15习题17习题19 习题20习题21 习题22现习题23现习题24第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.习题3一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大，写出随机变量X的分布律.习题4(空)习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：X 10 20 30 40pi 0.15 0.25 0.45 0.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.习题10纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ断头的概率为0.005,在τ这段时间断头次数不大于2的概率.习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.2.3 随机变量的分布函数习题1.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.习题4习题5习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1习题2习题3习题4习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.习题6习题7 (空) 习题8习题9习题10习题112.5 随机变量函数的分布习题1习题2习题3习题4习题5习题6总习题二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶5、6、8、9、。

五个数据分布类型及实例-回复数据分布是指数据在整体上呈现出的规律或特征。

不同的数据集可能呈现出不同的分布类型，而了解和理解这些分布类型可以帮助我们更好地分析和解释数据。

本文将介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例来帮助读者更好地理解这些概念。

第一种数据分布类型是正态分布，也被称为高斯分布。

正态分布是统计学中最常见的分布类型之一，它的形状呈现出钟形曲线。

在正态分布中，平均值、中位数和众数都是相等的，且曲线关于平均值对称。

一个典型的正态分布的例子是身高分布。

在一个大样本中，大多数人的身高都聚集在平均值附近，然后逐渐减少，直到达到极端的身高。

这个分布通常受到遗传、环境和营养等多种因素的影响。

第二种数据分布类型是偏态分布，也被称为斜态分布。

在偏态分布中，数据的分布形成一个长尾，其中一个尾部更长或更重，使曲线形状不对称。

一个例子是收入分布。

在许多国家和地区，大多数人的收入聚集在较低的水平上，而只有少数人的收入非常高。

这导致了偏态分布，其中大部分数据集中在左侧，右侧的数据则呈现出较长的尾巴。

第三种数据分布类型是均匀分布，也被称为矩形分布。

在均匀分布中，数据在整个范围内的出现频率是相等的，没有明显的高点或低点。

一个例子是掷骰子的结果。

假设我们投掷一个公正的六面骰子，每个面的结果出现的概率相等。

在大量的掷骰子试验后，每个面的出现频率将趋近于相等，这意味着结果呈现出均匀分布。

第四种数据分布类型是二项分布，用于描述在一系列独立的是/非实验中的成功次数。

二项分布是离散性的，其形状由两个参数决定：成功的概率和试验次数。

一个实例是硬币的正面朝上概率。

假设我们有一个公正的硬币，进行了10次独立投掷的实验，我们想知道正面朝上的次数。

这种情况下，我们可以使用二项分布来描述正面朝上次数的分布。

第五种数据分布类型是泊松分布，用于描述一段时间或空间内某事件发生的次数。

泊松分布是离散分布，它的形状由一个参数决定，即事件的平均发生率。

一个例子是某地区每小时发生的交通事故次数。

平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。

平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。

反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。

平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。

平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。

中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。

中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。

简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。

中位数的缺点。

中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。

当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

众数一组数据中出现次数最多的那个数据。

集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。

众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。

人力奏源方法论HR 数据分析中常用的21个数据源我们通常听到的一个问题是“什么可以用于分析的数据源？ ”在本文中，我们将列出HR 和更广泛业务中的许多常见数据源，这些数据源将有助于您 进行人员分析。

HR 数据源可以分为3类：一、HRIS 数据。

公司人力资源信息系统（HRIS ）的数据包括公司有关员 工的大多数数据。

HRIS 系统的常见示例包括Workday, Oracle 和SAP 。

二、其他人力资源数据。

一些人力资源数据对于以数据为依据的决策至关 重要，但并未包含在HRIS 中。

通常通过调查或其他测量技术来获取此数 据。

三、业务数据。

尽管不可能全面涵盖业务数据，但它在人员分析中发挥着 越来越重要的作用。

我们将介绍用于人员分析的最重要的业务数据。

HR DATA SOURCES、HRIS 数据源公司的HRIS包含有关最常见的HR功能的数据，包括招聘，绩效管理和人才管理。

尽管HRIS中的模块因公司而异，但是通常会有一组通用的模块，其中包含对人员分析有用的数据。

1、招聘数据。

从申请人跟踪系统（ATS）收集的数据是HRIS中的第一个通用数据源。

这包括申请的候选人数量，简历和其他特征，以及有关招聘渠道，招聘来源，选择等方面的数据。

该系统是招聘指标的最常见输入。

2、人口统计数据。

另一个关键数据源是HRIS员工记录。

这包括员工ID,姓名，性别，出生日期，住所，职位，部门，职级，入职日期等。

这些人口统计数据通常作为控制变量包含在分析中。

同样，当手动组合数据时，通常是通过匹配员工的ID作为唯一标识符来丰富来自其他系统的数据的数据库。

3、绩效管理。

绩效管理系统（PMS）是HRIS的一部分，包含有关绩效管理的信息，也包括员工评价和绩效等级。

4、学习管理。

学习管理系统（LMS）是人力资源信息的另一个来源。

LMS包含课程设置，并通过不同的程序记录员工的进度。

并非所有学习数据都存储在LMS中。

财务通常会掌握外部课程的支出信息，而学习效果和效果通常是通过调查来衡量的。

统计学知识点第一章绪论1、统计包含三种涵义（1）统计工作：一种调查研究活动。

资料搜集、整理和分析。

统计资料：即统计信息，工作成果。

包括统计数据和分析报告。

统计学：研究如何搜集、整理、分析数据资料的一门方法论科学。

（2）统计资料：对现象的数量进行搜集、整理和分析的活动过程。

统计资料：通过统计实践活动取得的说明对象某种数量特征的数据原始资料：直接从各调查单位搜集的用来反映个体特征的数据资料次级资料：由原始资料加工得到的在一定程度上能反映总体特征的数据资料（3）统计学：是研究总体一定条件下的数量特征及其规律性的方法论学科统计学的性质：统计学是通用的方法论科学；统计学使用大量观察和归纳推理的方法，得出对事物总体的综合认识；统计学结合现象的“质”研究现象的“量”特点：数量性（统计研究过程是从质和量的辩证统一中研究现象的数量特征，从数量上认识事物的性质和规律）、总体性（统计所研究的是由同类事物构成的群体现象的数量特征）、具体性、社会性2、统计学的分类理论统计学：研究的内容是统计的一般理论和方法，包括描述统计学、推断统计学应用统计学：研究的内容是运用于某一特定领域的统计问题，国民经济统计学、社会统计学、人口统计学3、统计研究方法（1）方法论——大数定律（2）统计研究的基本方法大量观察法：是指对所研究的事物的全部或足够数量进行观察的方法。

它可以使影响个体的偶然因素相互抵消，显示出现象的一般特征。

其数理依据是反映随机现象基本规律的大数定律。

诸如，各种基本的、必要的统计报表、普查、重点调查和抽样调查等。

统计描述法：指通过对客观实际的调查了解，并对搜集到的数据进行加工整理、综合分析，从而计算出各种能反映总体数量特征的综合指标，借以反映现象总体的总量规模、结构比例、速度快慢等实际状况。

统计描述的内容包括统计分组法、综合指标法和统计模型法。

统计推断法：是以一定的置信标准要求，根据样本数据来判断总体数量特征的归纳推理的方法。

概率分布公式深入了解不同概率分布的公式概率分布函数被广泛应用于统计学和概率论中，用于描述随机变量的取值概率。

不同的概率分布具有不同的特点和应用场景。

本文将深入探讨几种常见的概率分布，并介绍它们的公式。

一、离散型概率分布的公式离散型概率分布用于描述取有限个值的随机变量的概率分布。

在离散型概率分布中，随机变量的可能取值是可数的。

1. 二项分布（Binomial Distribution）:二项分布是指在一系列相互独立的伯努利试验中，成功（事件发生）的次数的离散概率分布。

其表达式为：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，k表示成功次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数。

2. 泊松分布（Poisson Distribution）:泊松分布用于描述在一段固定时间或空间上随机事件发生的次数的离散概率分布。

其表达式为：P(X = k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda表示事件发生的平均次数。

二、连续型概率分布的公式连续型概率分布用于描述取数轴上任意值的随机变量的概率分布。

在连续型概率分布中，随机变量的可能取值是无限的。

1. 正态分布（Normal Distribution）:正态分布是一种在统计学中特别常见且重要的连续型概率分布。

它的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了其具体形状。

其概率密度函数为：f(x) = (1 / (sigma * sqrt(2pi))) * e^(-((x-mu)^2 / (2 * sigma^2)))其中，mu表示均值，sigma表示标准差。

2. 指数分布（Exponential Distribution）:指数分布用于描述随机事件发生的时间间隔的概率分布。

它的概率密度函数为：f(x) = lambda * e^(-lambda * x)其中，lambda表示事件发生的速率。

统计学常⽤分布及其分位数完整版统计学常⽤分布及其分位数HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】§ 常⽤的分布及其分位数1. 卡平⽅分布卡平⽅分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布⼀起，是试验统计中常⽤的分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独⽴且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 的分布称为⾃由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分布密度 p(z )=>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ??? ??Γ21=π。

2χ分布是⾮对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独⽴，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独⽴且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独⽴性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n+ X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2. t 分布若X 与Y 相互独⽴，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =nY X 的分布称为⾃由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-???? ?+n n z 。

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线⼏乎重叠为⼀。

这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

高中数学必修二第九章统计基础知识点归纳总结单选题1、下列调查所抽取的样本具有代表性的是（）A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B．在农村调查市民的平均寿命C．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验答案：D分析：根据抽取样本要具的广泛性和代表性，抽取的样本必须是随机的，逐个分析判断即可A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命，不具代表性；C项中利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量，不具代表性；D项抽取的样本是随机的，具有代表性.故选：D2、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C分析：根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%> 50%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+ 9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.小提示：本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的×组距.估计值.注意各组的频率等于频率组距3、下列调查方式合适的是（）.A．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式答案：C分析：根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．4、2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1~11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是（）A．各班植树的棵数不是逐班增加的B．4班植树的棵数低于11个班的平均值C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳答案：C分析：从图中直接观察可以判定AD正确，结合平均数的定义，将比4班多的里面取出部分补到比4班少的班中，可以使得4班的植树量最少，从而判定B正确；结合中位数的定义可以判定C错误.从图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确；4班的指数棵数为10，11个班中只有2、3、8班三个的植树棵数少于10，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6、7、9、10、11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2、3、8班中取，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9、10、11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C是错误的；1到5班的植树棵数的极差在10以内，6到11班的植树棵数的极差超过了15，另外从图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确；综上，不正确的只有C，故选：C.小提示：本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取长补短法进行估算，可以避免数字的计算.5、2020年广东12月份天气预报历史记录中1号至8号的数据如表所示，则（）C．这8天的最低气温的极差为5°C D．这8天的最低气温的中位数为11.5°C答案：D分析：由极差等于一组数据中的最大值与最小值的差，并根据中位数的定义，求最高、最低气温数据的中位数即可判断各项的正误.=22°C，这8天的最低气温的这8天的最高气温的极差为23−19=4°C，这8天的最高气温的中位数为21+232=11.5°C，故选：D．极差为15−9=6°C，这8天的最低气温的中位数为11+1226、某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10B．09C．71D．20答案：B分析：按照题意依次读出前4个数即可.从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B7、为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300,500)的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为A．0B．1C．2D．3答案：D解析：根据直方图求出a=0.0025，求出[300,500)的频率，可判断①；求出[200,500)的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.由(0.001+0.0015+0,002+0.0005+2a)×100=1，a=0.0025，[300,500)的频率为(0.002+0.0025)×100=0.45，①正确；[200,500)的频率为(0.0015+0.002+0.0025)×100=0.55，②正确；[200,400)的频率为0.3，[200,500)的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的4，5×100=480，③正确.故中位数为400+0.5−0.30.25故选:D.小提示：本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题8、2021年是中国共产党成立100周年，某学校团委在7月1日前，开展了“奋斗百年路，启航新征程”党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数（满分100分且每人的分值为整数）分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]得到如图所示的频率分布直方图，则下列关于这100名学生的分数说法错误的是（）A．分数的中位数一定落在区间[85,90)B．分数的众数可能为97C．分数落在区间[80,85)内的人数为25D．分数的平均数约为85答案：B分析：根据小矩形的面积之和等于1，求出b=0.05，根据中位数的求法可判断A；根据众数的求法可判断B；由在区间[80,85)上的概率可判断C；由平均数的的计算公式：小矩形的底边中点横坐标与小矩形面积的乘积之和可判断D.A，由频率分布直方图可得(0.01+0.02×2+0.03+b+0.07)×5=1，解得b=0.05，前三组的概率为(0.02×2+0.05)×5=0.45<0.5，前四组的概率为(0.02×2+0.05+0.07)×5=0.7>0.5，所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内，故A正确；B，分数的众数可能为87.5，故B错误；C，分数落在区间[80,85)内的人数约为0.05×5×100=25，故C正确.D，分数的平均数为：72.5×0.02×5+77.5×0.02×5+82.5×0.05×5+87.5×0.07×5+92.5×0.03×5+97.5×0.01×5=85，故D正确.故选：B多选题9、2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过平均成交量的只有1天C．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率D．日认购量的方差大于日成交量的方差答案：BD解析：根据拆线图判断各数据特征后判断各选项．由拆线图日成交量的中位数是26，A错；日成交量均值为13+8+32+16+26+38+1667≈42.7，大于均值的只有一天，B正确；10月7日认购量量的增长率为y1=276−112112≈1.464，成交量的增长率为y2=166−3838≈3.368，显然C错；日认购量的均值为223+105+91+107+100+112+276≈144.857，7由各数据与均值的差可以看出日认购量的方差大于日成交量的方差，D正确．故选：BD．小提示：关键点点睛：本题考查统计图表，考查拆线图的识别．解题关键是由拆线图得出各数据，然后求得各数据特征．如中位数，均值，增长率，方差，解题中还要善于估值，如本题中的方差，从而大致比较出大小．10、成立时间少于10年.估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛､覆盖居民生活的各个方面.如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业数量共同占比达到69%.下列说法正确的是（）A．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注B．这12个行业TOP200榜单中独角兽企业数量的中位数是17C．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业超过130家D．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通､企业服务､文化娱乐的企业数量共同占比超过40% 答案：ABC分析：结合图表对选项进行分析，由此确定正确选项.A选项，由图可知，汽车交通行业独角兽企业TOP200榜单中数量最多，是由A选项正确.=17，B选项正确.B选项，数据为8,8,12,13,16,17,17,18,18,19,25,29，中位数为17+172C选项，200×69%=138>130，所以C选项正确.×100%=36.5%<40%，D选项错误.D选项，汽车交通､企业服务､文化娱乐占比29+25+19200故选：ABC11、立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A．图中的x值为0.020B．这组数据的极差为50C．得分在80分及以上的人数为400D．这组数据的平均数的估计值为77答案：ACD分析：根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.由(0.005+x+0.035+0.030+0.010)×10=1，可解得x=0.020，故选项A正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确；得分在80分及以上的人数的频率为(0.030+0.010)×10=0.4，故人数为1000×0.4=400，故选项C正确；这组数据的平均数的估计值为：55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77故选项D正确.故选：ACD.填空题12、某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为________答案：60分析：根据分层抽样，每层的抽样比相同计算即可.因为学校有高中学生1000人，抽取一个样本量为200的样本，故应抽取高二年级学生的人数为2001000×300=60.所以答案是：6013、有一组样本数据x1,x2,x3,x4，该样本的平均数和方差均为m．在该组数据中加入一个数m，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为__________．答案：45m##0.8m分析：由平均数和方差的计算公式直接计算即可.样本数据x1,x2,x3,x4，该样本的平均数和方差均为m，在该组数据中加入1个数m，则新样本数据的平均数x̅=15×(4×m+m)=m，方差为s2=15×[4×m+(m−m)2]=45m．所以答案是：45m.14、由6个实数组成的一组数据的方差为S12，将其中一个数5改为2，另一个数4改为7 ，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为S22，则S22−S12=________．答案：2分析：根据平均数和方差的定义进行求解即可.因为将其中一个数5改为2，另一个数4改为7，其余的数不变，所以这6个实数组成的一组数据的平均数不变，设为x，设没有变化的4个数与平均数差的平方和为S，所以S22−S12=[S+(2−x)2+(7−x)2]−[S+(5−x)2+(4−x)2]6=2，所以答案是：2解答题15、从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲78686591074乙9578768677(1)分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数：(2)选派谁去参赛更好？请说明理由.答案：(1)甲乙的平均数均为7；(2)选派乙，理由见解析.分析：（1）应用平均数的求法求甲乙平均数；（2）由（1）知甲乙平均数相同，求出甲乙的方差并比较大小，即可确定选派方法.（1）由题设，甲的平均数为x̅1=7+8+6+8+6+5+9+10+7+410=7，乙的平均数为x̅2=9+5+7+8+7+6+8+6+7+710=7.（2）甲的方差为s12=110∑(x i−x̅1)210i=1=0+1+1+1+1+4+4+9+0+910=3，乙的方差为s22=110∑(x i−x̅2)210i=1=4+4+0+1+0+1+1+1+0+010=1.2.由（1）知：x̅1=x̅2，而s12>s22，所以选派乙去参赛更好.。

GVANGJSIH GYAUYUZ 专题研究一：小学数学教材分析苏教版和人教版小学数学“统计与概率”内容对比□南宁师范大学初等教育学院宗凯鹏邹循东【摘要】本文以苏教版和人教版小学数学教材为研究对象，对两套教材中“统计与概率”部分的内容深度、内容广度和习题数量进行比较研究，分析探讨两套教材在这些方面的相同点与不同点，从中思考应该如何整体把握小学数学教材。

【关键词】苏教版人教版小学数学教材统计与概率比较【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2019）03A-0040-02《义务教育数学课程标准》（2011年版）要求学生在第一学段能够按照一定的标准，对事物进行分类，比如能用不同的标准把班上的同学分为两类；学会用基本的方法搜集和整理数据，感受数据背后的意义；要求学生在第二学段经历简单的统计过程，并且感受随机现象的可能性。

苏教版和人教版的小学数学教材均采用螺旋上升式的方式编排“概率与统计”的相关内容，本文笔者从内容深度、广度和习题数量等方面对两者展开详细分析。

一、编排比较现行的苏教版和人教版的小学数学教材的编写都是以《义务教育数学课程标准》（2011年版）为依据的，两者的编排方式都是螺旋上升式，但是各有特色。

在分析两者的内容广度、深度和习题数量之前，为了避免看事物不够全面的现象，先对两个版本小学数学全套教材进行全面了解就显得极其重要。

表1苏教版和人教版小学数学教材“统计与概率”单元数量对比表一年级上册一年级下册二年级上册二年级下册三年级上册三年级下册四年级上册四年级下册五年级上册五年级下册六年级上册六年级下册合计注：统计不包括未参与单元编码的内容苏教版“统计与概率”单元数量11121118人教版“统计与概率”单元数量111111118表2苏教版和人教版小学数学教材“统计与概率”单元分布比较表一年级上册一年级下册二年级上册二年级下册三年级上册三年级下册四年级上册四年级下册五年级上册五年级下册六年级上册六年级下册合计苏教版“统计与概率”单元分布统计部分第三单元分一分无无第八单元数据的收集和整理（一）无第九单元数据的收集和整理（二）第四单元统计表与条形统计图（一）无第六单元统计表与条形统计图（二）第二单元折线统计图无第一单元扇形统计图7概率部分无无无无无无第六单元可能性无无无无无1合计11121118人教版“统计与概率”单元分布统计部分无第三单元分类与整理无第一单元数据的收集和整理无第三单元复式统计表第七单元条形统计图第八单元平均数与条形统计图无第七单元折线统计图第七单元扇形统计图无7概率部分无无无无无无无无第四单元可能性无无无1合计111111118从表1和表2可以看出，两个版本的教材在第一学段都没有安排概率部分的内容，对于统计部分的内容，也仅是简单地感受、认识和了解，但是苏教版教材在这一学段的内容安排时间间隔较长，特别是简单分类和数据的收集和整理之间间隔的时间，而人教版的安排比较均衡；而到了第二学段，苏教版教材对于统计与概率的内容分布不是很均衡，表现为在四年级上册时，内容GVANGJSIH GYAUYUZ专题研究一：小学数学教材分析安排较为集中，同时安排了统计部分和概率部分的内容，人教版教材内容安排就比较合理。

数学21章知识点总结第一章数论数论是研究整数性质和整数间的关系的学科，是数学的一个重要分支。

数论的研究对象主要是自然数，介绍基本的整数性质和整数间的关系等。

1. 整数性质：包括偶数、奇数、质数、合数等概念，以及整数的最大公约数、最小公倍数等相关性质。

2. 整数间的关系：包括整数的因数、倍数、整除等基本概念，以及整数的互质、互素、同余等关系。

第二章代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数与数的关系和数之间的运算规律，是数学中的基础内容。

1. 代数式：包括代数式的基本概念、加减乘除等基本运算法则，以及代数式的合并、分解等相关知识。

2. 一元一次方程：介绍一元一次方程的基本概念和解法，包括利用等式性质和化简等方法解一元一次方程。

3. 一元二次方程：介绍一元二次方程的基本概念和解法，包括利用配方法、公式法等方法解一元二次方程。

第三章几何几何是数学的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面的性质和它们之间的关系，包括图形的性质和测量等内容。

1. 图形的基本性质：包括点、线、面等基本概念，以及直线、角、三角形、四边形等基本图形的性质。

2. 图形的相似和全等：介绍相似三角形和全等三角形的性质和判定方法，包括辅助线法、相似比法等相关知识。

3. 圆的性质和应用：介绍圆的基本性质，包括圆的周长、面积和扇形、弓形等相关概念和计算方法。

第四章三角学三角学是数学的一个重要分支，主要研究三角形及其周围的知识，包括三角函数、三角恒等式、三角变换等内容。

1. 三角函数：介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等基本三角函数的定义和性质，包括三角函数的图像、周期性、奇偶性等相关知识。

2. 三角恒等式：介绍基本的三角恒等式，包括同角三角函数的关系、和差化积、倍角公式等相关知识。

3. 三角变换：介绍三角函数的基本图像和性质，包括三角函数的平移、伸缩、反转等相关变换。

第五章数列和数学归纳法数列是由一系列数按一定规律排列而成，是数学中的一个重要的概念，包括数列的概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式、数列的性质等内容。

数据的分布特征知识点数据的分布特征是统计学中非常重要的概念，它描述了数据集中各个数据值在整个数据集中的分布情况。

通过了解数据的分布特征，我们可以更好地理解数据的组织形式，并从中获取有关数据的相关信息。

本文将介绍数据的分布特征的几个重要知识点，包括均值、中位数、众数、标准差以及偏度和峰度。

1. 均值均值是数据集中所有数据值的平均数。

计算均值的方法是将所有数据值相加，然后除以数据的总个数。

均值可以反映数据集中数据值的集中趋势，当数据集中的数据值比较平均分布时，均值对数据的代表性较好。

2. 中位数中位数是将数据集中的所有数据值按照大小排列后的中间值。

如果数据个数为奇数，则中位数是中间的那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。

中位数不受异常值的影响，更能反映数据的中心位置。

3. 众数众数是数据集中出现次数最多的数值。

一个数据集可以有一个或多个众数，或者没有众数。

众数可以用来表示数据集中的典型值，特别适用于表示分类数据。

4. 标准差标准差是用来衡量数据离均值的距离。

标准差越大，数据分布越分散；标准差越小，数据分布越集中。

标准差可以反映数据的离散程度，对于比较不同数据集之间的离散程度也非常有用。

5. 偏度和峰度偏度和峰度用来描述数据分布的形态。

偏度衡量了数据分布的对称性，正偏度表示数据分布偏向右侧，负偏度表示数据分布偏向左侧，而零偏度表示数据分布接近对称。

峰度衡量了数据分布的尖锐程度，正峰度表示数据分布较尖锐，负峰度表示数据分布较平坦，而零峰度表示数据分布接近正态分布。

总结：数据的分布特征对于理解和分析数据至关重要。

通过了解数据的均值、中位数、众数、标准差、偏度和峰度等知识点，我们可以更好地描述和解读数据。

这些分布特征可以帮助我们揭示数据背后的规律，并为数据分析和决策提供依据。

在实际应用中，我们可以根据数据的特点选择适当的描述方法，进而更好地分析和利用数据。

● Bernoulli ( p ) 伯努利分布说明与例：x 为伯努利试验的结果，当试验成功，则x=1，试验失败则x=0。

可以把伯努利试验理解为抛硬币，x=1为出现正面● Binomial ( n, p ) 二项分布（图以p=0.4,n=5为例）说明与例：x 是重复n 次的伯努利试验结果，即x=试验成功的次数，可以理解为抛n 次硬币，正面出现的次数。

P X x p | ()p x 1p ()1x ; x 01 , ; 0p1EXp , Var Xp 1p ()M X t ()1p ()pe t P X x n | p , ()n x ()p x1p ()nxx 012...n , , , , ; 0p 1EX np , Var X np 1p ()M x t ()pe t1p ()[]n● Multinomial ( m, p 1, ..., p n ) 多项分布图略（因为是联合分布的多维分布）说明与例：多项分布是二项分布的推广，二项分布结果只有两个，而多项分布结果可以有多个，比如仍骰子，x1表示n 次试验点数1出现的次数…x6表示点数6出现的次数。

● Geometric ( p ) 几何分布（图以p=0.4为例）说明与例：得到一次成功而进行的伯努利试验次数n ，即前面失败了n-1次，第n 次成功。

比如x 可以理解为抛硬币，出现正面所抛的次数f x 1...x n , , ()m !x 1!...x n !p 1x1...p nxnm !i 1np i x ix i !ÕP X x p | ()p 1p ()x 1 ; x 12... , , ; 0p 1EX1p, Var X1pp 2M X t ()pe t11p ()et, t log 1p ()-● Hypergeometric超几何分布（以N=10,m=5，n=4为例）说明与例：已知N 个总体中有m 个不合格的产品，现在抽取n 个，出现不合格产品的数量。

五个数据分布类型及实例-回复标题：五个数据分布类型及实例详解在统计学中，数据分布是描述一组数据如何分散或集中的方式。

理解不同的数据分布类型对于数据分析、预测和决策制定至关重要。

以下将详细介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例进行说明。

1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布，也称为高斯分布，是最常见和最重要的数据分布类型之一。

其特征是呈现出对称的钟形曲线，其中大部分数据集中在均值附近，而极端值较少。

正态分布有两个重要参数：均值（μ）和标准差（σ），它们决定了曲线的形状和位置。

实例：人的身高是一个典型的正态分布的例子。

在全球范围内，成年男性的平均身高约为175厘米，标准差约为7厘米。

这意味着大多数男性的身高集中在175厘米左右，而极高或极矮的身高则相对较少。

2. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指所有可能的结果具有相等的概率。

这种分布的数据在一定区间内是均匀分布的，没有特定的集中趋势。

实例：抛硬币的结果就是一个均匀分布的例子。

硬币的两面分别是正面和反面，每次抛硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，没有任何一面更可能出现。

3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布用于描述在n次独立的是/非试验中成功的次数。

每个试验的成功概率为p，失败的概率为q=1-p。

二项分布有两个参数：n和p。

实例：在一项医学研究中，研究人员想要了解某种新药治疗某种疾病的疗效。

他们对100名患者进行了试验，该药物的有效率为80。

那么，在这100名患者中，成功治愈的患者数量就符合二项分布。

4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生的次数。

它只有一个参数λ，表示单位时间（或单位面积、单位体积等）内事件发生的平均次数。

实例：在某个呼叫中心，平均每小时接到的电话数量为10个。

那么，在任意一个小时内，实际接到的电话数量就符合泊松分布。