空间图形的平面图

幼儿园平面图幼儿园平面图是一种用于展示幼儿园内部布局和空间分配的图表。

它通过图形化的方式，清晰地展示了幼儿园的整体结构和各个功能区域的位置。

以下是一份标准格式的幼儿园平面图，详细描述了幼儿园的各个功能区域和布局。

幼儿园平面图1. 整体布局幼儿园位于一个宽敞的场地上，占地面积约5000平方米。

整体布局分为室内和室外两个部分。

室内部分包括主楼和附属楼，室外部分包括操场、花园和游乐区。

2. 主楼主楼是幼儿园的核心区域，共有三层楼。

一楼是接待区，设有前台和办公室。

二楼是教学区，设有多个教室，每个教室配备了适合幼儿学习的桌椅和教学设备。

三楼是活动区，用于举办各种活动和演出。

3. 附属楼附属楼位于主楼的侧面，共有两层楼。

一楼是食堂，设有餐厅和厨房，提供健康的饮食。

二楼是休息区，设有幼儿休息室和保健室，用于幼儿午休和健康检查。

4. 操场操场位于幼儿园的室外部分，占地面积约2000平方米。

操场中央是一个大型草坪，周围设有跑道和多个运动设施，如滑滑梯、秋千、蹦床等，供幼儿进行户外活动和运动。

5. 花园花园位于操场的一侧，占地面积约500平方米。

花园内种植了各种花草植物，绿树成荫，环境优美。

花园中设有凉亭和小径，供幼儿进行观赏和休闲活动。

6. 游乐区游乐区位于操场的另一侧，占地面积约1000平方米。

游乐区设有多个游乐设施，如蹦床、秋千、滑滑梯、沙池等，供幼儿进行娱乐和游戏。

7. 其他功能区域除了上述主要区域外，幼儿园还设有其他功能区域，如图书馆、音乐室、美术室、科学实验室等。

这些区域提供了各种学习和创造的场所，丰富了幼儿的学习和发展。

总结：以上是一份标准格式的幼儿园平面图，详细描述了幼儿园的整体布局和各个功能区域的位置。

通过这份平面图，家长和幼儿可以清晰地了解幼儿园的空间分配，为幼儿的学习和活动提供了便利。

平面图形直观图的画法先观察下面的图形，总结投影变化规律。

投影规律：1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变；2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变3。

在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图画空间图形的直观图，一般都要遵守统一的规则,1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法斜二测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′,且使∠x′O′y′＝_45°(或135°）_，它们确定的平面表示_水平面．(2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．注意点：1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。

2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？提示：不是圆，是一个压扁了的“圆"，即椭圆。

3．立体图形直观图的画法由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图解：第一步:在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在的直线为Y轴，两轴交于点O。

建筑平面图建筑平面图实际上是房屋的水平剖面图（除屋顶平面图外）。

把房屋用一个假想的水平面，沿门、窗洞门部位（指窗台以上，过梁以下的空间）水平切开，把切开下面的物体投影到所切的水平面上，这时从上往下看到的图形就是房屋的平面图。

建筑平面图主要反映了整个房屋的平面形状、大小和房间的数量和平面布局，承重墙（或柱）与隔墙的位置、厚度、材料以及门窗数量、类型、位置和尺寸等。

图内应包括剖切图和投影方向可见的建筑构造以及必要的尺寸、标高等。

如需要表示高窗、洞口、通气孔、槽、地沟等不可见部分应用虚线。

平面图宜与总平面图方向一致。

平面图的长边宜与横式幅面图纸的长边一致。

当同一页图纸上绘制多于一层的平面图时，则各层平面图宜按层数由低到高的顺序，从左到右或从下至上布置；对于平面较大的房屋，可分区绘制平面图，但每张平面图均绘制组合示意图。

各区分别用大写拉丁字母编号；住宅建筑按层数可分为：低层住宅≤3层多层住宅4~6层中高层住宅7~9层高层住宅≥10层多层房屋应画出各层平面图若楼层的平面布置相同，或仅有局部不同时，可只画出首层平面图标准层平面图顶层平面图屋顶平面图局部平面图一、首层平面图首层平面图也叫底层平面图，是指室内地坪为±0.000所在的楼层的平面图。

主要反映了房屋的平面形状，底层的平面布置情况，几个房间的分隔和组合、房间名称、出入口、门厅、走廊、楼梯等的布置和相互关系，各种门、窗的布置，室外的台阶、花台、室内外装饰以及明沟和雨水管的布置等等。

此外还表明了厕所和盥洗室内的固定设施的布置，并且注写了轴线，尺寸及标高等。

一、首层平面图应在首层平面图中明显位置标注指北针符号，用于指示房屋的朝向，指北针方向与总平面图一致；为防止雨水侵袭，除了台阶和花台下所有外墙墙角均设置有明沟或散水，绘制时可只在墙角或外墙的局部，分段地画出明沟或散水的平面位置，并以中粗实线表示；入口处要设置外台阶以防止雨水倒灌；上了台阶就是外门，再通过楼梯、电梯到各个楼层要去的房间。

平面图原理
平面图原理是一种用于展示平面结构和空间关系的图形表示方法。

它通过将二维图像投影到平面表面上，以直观、清晰的方式展示出物体的各个部分之间的相对位置和连接方式。

平面图的绘制依赖于几何原理，包括点、线、面和角等基本概念。

其中，点代表物体的位置，线表示物体的边界或连接关系，面则表示物体的表面。

角用于描述物体的转角或连接方式。

通过这些元素的组合和定位，可以绘制出多种物体的平面图。

为了保持平面图的清晰度和规范性，需要遵循一些基本的绘制规则。

首先，应该选择适当的比例尺，确保绘制的图纸与实际物体的大小和比例相符。

其次，需要使用不同的线型和线宽来表示不同的物体或特征，以便于区分和识别。

此外，标注和标记也是平面图中必不可少的部分，可以通过文字、符号或箭头等方式进行。

平面图不仅广泛应用于建筑设计、机械设计和电气工程等领域，还可以帮助人们理解和分析空间结构和关系。

通过仔细观察平面图，我们可以预测物体的外观、功能和相互联系，为后续的设计、施工或维护工作提供有价值的参考和指导。

因此，掌握平面图的原理和绘制方法对于实际工作和学习非常重要。

空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系一、平面及其表示法（一）平面：平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形叫做平面.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面α，平面β等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.平面的直观图画法：正视图垂直放置的平面M 水平放置的平面M注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.1.点与线：2. 点与平面：点A在直线L上：A l∈（直线L经过点A）；点A在平面α内：Aα∈（平面α经过点A）；点Q不在直线L上：Q l∉点B不在平面α内：Bα∉；3.直线与平面：○1直线L 在平面α上： ○2直线L 在平面α外：直线L 上所有的点都在平面α上， 当直线L 与平面α只有一个公共点A 时， 即直线L 在平面α上，或平面α 称直线L 与平面α相交于点A ， 经过直线L ，记作l α⊂≠. 记作l A α= ；○3直线与平面平行 ○4直线与直线相交：当直线L 与平面α没有公共点时，称直 直线a 与直线b 相交于点A ，记作a b A = . 线L 与平面α平行，记作l α=∅ 或//l α.○5平面与平面： 两平面重合：当平面α上所有的点都在平面β上时，称平面α与平面β重合；两平面相交：当不同的两个平面α与β有公共点时，将它们的公共点的集合记为L ，称平面α与平面β相交于L ，记作l αβ= .两平面平行：当两个平面α与β没有公共点时，称平面α与平面β平行，记作αβ=∅ 或//αβ.（三）例题解析例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．解：我们看到了这个几何体的前后两个面. [说明]培养学生的空间想象能力.例2 （口答）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面1111,,AC A B B C ，分别记作,,αβχ，试用适当的符号填空.,_______)2(1γB 1_______C γ,_______)3(1βA 1_______D β11_______)4(B A =βα,1_______BB βγ=,________)5(11αB A 1________BB β,11________A B γ解：(1),;(2),;(3),;(4),;(5),,∈∈∈∈∈∉⋂⋂⊂⊂⊄≠≠[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.练习、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.(1),A B αα∈∉； (2),l mαα⊂⊄≠； (3)l αβ⋂=； (4),,,P l P Q l Q αα∈∉∈∈. 解：（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内；（2）直线L 在平面α上，直线m 在平面α外；L（3）平面α交平面β与直线L ；（4）点P 在直线L 上，不在平面α上；点Q 在直线L 上，也在平面α上.,_______)1(1αA 1_______B α二、三个公理三个推论（一）公理1：如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上.（直线在平面上）。

简易平面图介绍平面图是一种用来描述物体在二维平面上的图形表示方法，它通过使用几何图形将物体的形状、位置和尺寸传达给观察者。

简易平面图是一种简化的平面图，通常用于展示简单物体或者小规模项目的平面布局。

本文将介绍简易平面图的基本要素、绘制方法和应用场景。

基本要素在绘制简易平面图之前，我们首先需要了解几个基本要素：1.几何形状 - 几何形状是平面图的基本构建单元，它们用来代表不同的物体或者空间。

常见的几何形状有直线、矩形、圆形和多边形等。

2.尺寸单位 - 平面图中的尺寸通常使用标准的尺寸单位来表示，比如米（m）或者英尺（ft）。

在绘制平面图时，需要确定每个单位代表的实际长度。

3.比例尺 - 比例尺是用来在平面图中表示真实尺寸与绘图尺寸之间的比例关系的工具。

它通常以1:1或者其他比例的形式呈现，以确保平面图的准确性。

4.方向指示 - 平面图中常常需要指示物体或者空间的方向信息。

这可以通过使用箭头或者文字标识来实现。

绘制方法绘制一个简易平面图的方法可以分为以下几步：1.确定平面尺寸 - 在绘制平面图之前，首先需要确定平面图的尺寸。

这可以根据实际需求来确定，比如绘制一个屋子的平面图时，需要确定屋子的长宽尺寸。

2.绘制基本几何形状 - 根据平面图中需要表示的物体或者空间的形状，使用相应的几何形状工具绘制它们。

比如使用直线工具绘制墙壁，使用矩形工具绘制家具等。

3.添加尺寸标记 - 在绘制几何形状之后，需要为每个几何形状添加尺寸标记。

即在图形上标注出几何形状的实际尺寸，以便观察者能够直观地了解物体或者空间的尺寸。

4.添加方向指示 - 在平面图中，方向指示通常用来标识物体或者空间的方向，比如指示门的开启方向或者窗户的朝向等。

可以使用箭头图标或者文字标识来表示方向。

5.添加比例尺 - 最后，需要在平面图上添加一个比例尺，用来表示图中的尺寸和实际尺寸之间的比例关系。

比例尺通常放置在平面图的一个角落，方便观察者阅读。

应用场景简易平面图可以广泛应用于各种领域，以下是一些常见的应用场景：1.家居规划 - 在家居规划中，简易平面图可以帮助设计师或者业主了解家具摆放、墙壁位置以及空间布局等方面的情况，从而做出更好的决策。

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 因此V ＝43πR 3＝500π3. 4． 一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5． 假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特点 例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等． 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发 从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点． 答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等． 思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系． 答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点． 易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形． 题型三 空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发 先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积． 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿 棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好． 标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得． 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同， 故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4． 如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5． 某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7． 已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π 解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解 那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解 如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组 专项能力提升(时刻：30分钟)1． 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2． 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解 当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等， 得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

1．1.4直观图画法下图所示是江南著名古镇之一的乌镇，它是由不同的几何体组合而成的，建筑工人在建造时要依据工程设计的图纸进行施工，工程师是利用什么方法画出图纸的呢？1．表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．2．斜二测画法是一种画直观图的方法，是一种特殊的平行投影画法，其步骤为：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3．画水平放置图形的步骤：①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行于x轴的线段长度不变，与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．4．画空间几何体直观图的步骤：①取相互垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z轴的线段在直观图中长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．,一、用斜二测画法画水平放置图形的步骤①在水平放置的图形中建适当的直角坐标系xOy，使图形中的点尽可能地在坐标轴上或关于坐标轴对称；②画出直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；③在原图中取关键点，得到在坐标轴上或与坐标轴平行的线段；④按照画法规则，平行性不变，长度与y轴平行的减半，在直观图的坐标系中取出相应的点，得到相应的直观图．二、用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤①取互相垂直的Ox、Oy轴，再取Oz轴，使∠xOz＝90°且∠yOz ＝90°；②画O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；③画底面，平行于x轴的线段在直观图中长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度减半；④画侧棱(或高)，平行于z 轴的线段在直观图中保持长度不变；⑤成图，顺次连接各个线段的端点，构成直观图(注意实线与虚线)．基础巩固知识点一直观图的斜二测画法1．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论，正确的是________(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持平行且不相等，故⑤也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③、④不正确．答案：①②⑤2．在用斜二测画法画水平位置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′的值为__________．解析：因∠A的两边平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.答案：45°或135°知识点二由平面图形判断其直观图3．如下图，建立坐标系，得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(C)解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．4．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是(C)解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半，故只有C正确．知识点三由直观图判断平面图5．下图(1)为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是选项中的(C)解析：根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．6．如下图所示的直观图，其原图形是________三角形．解析：因在直观图中边B′C′与x′轴平行，边A′C′与y′轴平行，故原图形中∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：直角能力升级综合点一平面图形、空间几何体的直观图的画法7．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解析：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB 的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′、D′A′，如图(2)，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．综合点二已知三视图画直观图8．下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解析：(1)画轴，如图(1)画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A，B两点，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．(3)成图，连接A′A，B′B.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图(2)．综合点三水平放置平面图形直观图中的计算问题9．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？解析：由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋2，高为2，所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.10．下图为水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系中点B 的坐标为(2，2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为多少？直观图的面积是多少？解析：下图为正方形ABCD在x′O′y′中的直观图，作B′D′⊥x′轴，则在Rt△B′C′D′中，∠B′C′D′＝45°，B′C′＝1，∴B′D′＝B′C′·sin 45°＝1×22＝22.S▱A′B′C′O′＝O′C′×B'D'＝2×22＝ 2.即B′到x′轴的距离为22，直观图的面积为 2.。

办公室平面图办公室平面图是一种图形化的表达方式，用来展示办公室的布局和空间分配。

它可以匡助员工和访客更好地了解办公室的结构，提高工作效率和沟通流畅度。

下面是一份标准格式的办公室平面图文本，详细描述了办公室的布局和各个区域的功能和特点。

办公室平面图1. 办公室概述办公室位于城市中心的商业大楼内，总面积为500平方米。

整个办公室采用开放式设计，以促进团队合作和信息共享。

下面将详细介绍办公室的不同区域。

2. 大堂区大堂区位于办公室的入口处，面积约为50平方米。

这是一个接待区，设有舒适的沙发和茶几，供访客等候。

大堂区还设有一个接待台，由专业的前台人员提供来访者的登记和指引服务。

3. 会议室办公室设有两个会议室，分别用于小型和大型会议。

小型会议室位于大堂区旁边，面积约为20平方米，可容纳8人。

大型会议室位于办公室的中央位置，面积约为50平方米，可容纳20人。

两个会议室均配备了先进的音视频设备和会议桌椅。

4. 办公区办公区是办公室的核心区域，用于员工的日常工作。

办公区分为两个部份，分别用于管理层和普通员工。

管理层办公区位于办公室的一侧，面积约为100平方米。

这个区域设有独立的办公室，用于高级管理人员。

普通员工办公区位于办公室的另一侧，面积约为300平方米。

这个区域采用开放式办公环境，员工之间的工作区域通过隔板进行分隔。

5. 歇息区办公室还设有一个歇息区，用于员工的歇息和放松。

歇息区位于办公区的一角，面积约为30平方米。

这个区域设有舒适的沙发和咖啡桌，供员工歇息和交流使用。

6. 厨房和餐厅办公室设有一个设备齐全的厨房和餐厅，供员工用餐。

厨房位于办公区的一侧，面积约为10平方米。

厨房内配备了微波炉、冰箱和咖啡机等设备。

餐厅位于厨房旁边，面积约为20平方米，设有餐桌和椅子，供员工用餐。

7. 储藏室和打印区办公室还设有储藏室和打印区，用于存放办公用品和打印文件。

储藏室位于办公区的一侧，面积约为10平方米，设有储物柜和货架，用于存放文件和办公用品。