实验05求最大值和最小值

例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx x y 32++=的最小值。

解：先估计y 的下界。

55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=xx x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。

“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。

例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=xx x x x x x y 但y 是取不到-7的。

即-7不能作为y 的最小值。

例2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,所以 -4≤y ≤1 又当31-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833 例4求函数223,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=y min =51,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2122y x xy +≤ ∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-≥ ∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即111)1(5222++-+=x x y 令112+=x t (0<t ≤1) 则y =5t 2-t +1 ∴当x =±3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

求一元二次方程的最大值和最小值在数学中，一元二次方程是一种形式为ax2+bx+c=0的二次方程。

对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数，我们可以通过求解这个方程来找到它的最大值和最小值。

求解一元二次方程要找到一元二次方程的最大值和最小值，我们首先需要解出这个方程的根。

对于一元二次方程ax2+bx+c=0，我们可以使用求根公式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$使用这个公式可以得到方程的两个根x1和x2，分别为：$$ x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$$$ x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$最大值和最小值的判断一元二次方程的最大值和最小值与二次函数的凹凸性有关。

当a>0时，二次函数开口向上，此时曲线的顶点是函数的最小值点；当a<0时，二次函数开口向下，此时曲线的顶点是函数的最大值点。

所以，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，最小值为 $f(-\\frac{b}{2a})$；当a<0时，最大值为 $f(-\\frac{b}{2a})$。

举例说明假设有一元二次方程2x2+4x−6=0，首先求解该方程的根：$$ x_1 = \\frac{-4 + \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = 1 $$$$ x_2 = \\frac{-4 - \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = -3 $$ 根据前面的判断，因为a>0，所以该二次函数开口向上，最小值为：$$ f(-\\frac{4}{2 \\times 2}) = f(-1) = 2 \\times (-1)^2 + 4 \\times (-1) - 6 = -12 $$所以，该一元二次方程的最小值为 -12。

最大值最小值的求法在数学中，求解一个数据集中的最大值和最小值是一项基本的操作。

通过找到数据集中的最大值和最小值，我们可以更好地了解数据的范围和分布情况。

在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值，以帮助读者更好地理解这一概念。

一、遍历法最简单直接的方法是通过遍历整个数据集来找到最大值和最小值。

具体步骤如下：1. 初始化最大值和最小值为数据集中的第一个元素；2. 从第二个元素开始，依次与当前的最大值和最小值进行比较；3. 如果找到比当前最大值还大的元素，则更新最大值；4. 如果找到比当前最小值还小的元素，则更新最小值；5. 继续遍历完整个数据集，直到找到最大值和最小值。

这种方法简单直接，但是需要遍历整个数据集，时间复杂度为O(n)，其中n为数据集的大小。

二、排序法另一种常见的方法是先对数据集进行排序，然后直接取第一个元素作为最小值，取最后一个元素作为最大值。

具体步骤如下：1. 对数据集进行排序，可以使用快速排序、归并排序等方法；2. 排序完成后，第一个元素即为最小值，最后一个元素即为最大值。

这种方法的时间复杂度取决于排序算法的复杂度，通常为O(nlogn)，其中n为数据集的大小。

三、分治法分治法是一种高效的方法，通过将数据集分成若干个子集，然后递归地求解子集的最大值和最小值，最终得到整个数据集的最大值和最小值。

具体步骤如下：1. 将数据集分成两个子集；2. 分别求解两个子集的最大值和最小值；3. 将子集的最大值和最小值与整个数据集的最大值和最小值进行比较，更新最大值和最小值；4. 递归地继续分割子集，直到子集的大小为1，即找到最大值和最小值。

这种方法的时间复杂度为O(n)，效率较高。

四、优化方法除了上述方法外，还有一些优化方法可以进一步提高求解最大值和最小值的效率，例如使用分支限界法、动态规划等算法。

这些方法在特定情况下可以更快地找到最大值和最小值，但需要根据具体情况选择合适的算法。

综上所述，求解一个数据集中的最大值和最小值是一项基本的数学操作，可以通过遍历法、排序法、分治法等多种方法来实现。