18.上海市2015年复旦附中自招数学试卷(含答案解析及评分标准).doc

/////////////////2015年复旦分校自主招生测试题数学试题1、若4,129x y z xy y +=+=+-，求32x y z ++。

2、若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、，与y 轴交于C ，且三角形ABC 是直角三角形，求ac 。

3、正方形DEFG EHLB NMKL 、、，边长分别为c a b 、、，求a b c 、、，满足的关系式。

4、若不等式组1252x x x a <->⎧⎪⎨-<<⎪⎩或只有整数2-一个解，求a 的取值范围。

5、若2(1)2(1)0a x x a -+-+=的根都是整数，则整数a 的取值范围？6、已知：Rt ABC ∆，3,4,BC AC D ==为AB 上一动点，作DE BC ⊥，求EF的最小值。

7、从1,2,...,100中取两个不同的数，使两数之和大于100，则有______种不同取法。

8、若12...n x x x 、、、只能取2,0,1-，且满足12...17,n x x x ++=-+22212...37,n x x x ++=+则33312..._______n x x x +++=。

9、已知：等腰ABC ∆，两圆外切且都与AB AC 、相切，两圆半径为1和2，求ABC ∆的面积。

10、已知：正五边形1AG =，_____FG JH DC ++=。

11、已知ABC ∆外接于O ，且AO BC ⊥，垂足为D ，且AB BC=(1)证明：ABC ∆是正三角形；(2)若1,=,,AB AE x PE y ==求y 关于x 的解析是及定义域；(3)在(2)的条件下，,PAC EPC αβ∠=∠=，当y 取何值时，22sin sin 1αβ+=。

12、(1)当04x <<，解22[]0x x x --=；(2)求所有实数x ，使3[]43x x =+。

2015 年上海市中考数学试卷答案与分析2015 年上海市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题1．（4 分）（2015?上海）以下实数中，是有理数的为（）A ．B．C．πD．0考实数．点：分依占有理数能写成有限小数和无穷循环小析：数，而无理数只好写成无穷不循环小数进行判断即可．解解：是无理数，A不正确；答：是无理数，B不正确；π是无理数， C 不正确；0 是有理数， D 正确；应选： D．点本题主要考察了无理数和有理数的差别，解评：答本题的重点是要明确：有理数能写成有限小数和无穷循环小数，而无理数只好写成无穷不循环小数．2．（4 分）（2015?上海）当 a＞0 时，以下对于幂的运算正确的选项是（）A ．a0=1B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）D．a=2=﹣a2考负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数点：幂；零指数幂．分分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的析：性质和分数指数幂的性质分别剖析求出即可．解解： A 、a0=1（a＞0），正确；答： B、a﹣1= ，故此选项错误；C、（﹣ a）2=a2，故此选项错误；D、a =（a＞0），故此选项错误．应选： A．点本题主要考察了零指数幂的性质以及负指评：数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确掌握有关性质是解题重点．3．（4 分）（2015?上海）以下 y 对于 x 的函数中，是正比率函数的为（）3考正比率函数的定义．点：分依据正比率函数的定义来判断即可得出答析：案．解解：A、y 是 x 的二次函数，故 A 选项错误；答： B、y 是 x 的反比率函数，故B 选项错误；C、y 是 x 的正比率函数，故 C 选项正确；D、y是 x 的一次函数，故 D 选项错误；应选 C．点本题考察了正比率函数的定义：一般地，两评：个变量 x，y 之间的关系式能够表示成形如 y=kx （k 为常数，且 k ≠0）的函数，那么 y就叫做 x 的正比率函数．4．（4 分）（2015?上海）假如一个正多边形的中心角为 72°，那么这个多边形的边数是（）A ．4B．5C．6D．7考多边形内角与外角．点：分依据正多边形的中心角和为360°和正多边析：形的中心角相等，列式计算即可．解解：这个多边形的边数是360÷72=5，答：应选： B．点本题考察的是正多边形的中心角的有关计评：算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的重点．5．（4 分）（2015?上海）以下各统计量中，表示一组数据颠簸程度的量是（）A ．均匀数 B．众数C．方差D．频次考统计量的选择．点：分依据均匀数、众数、中位数反应一组数据的析：集中趋向，而方差、标准差反应一组数据的失散程度或颠簸大小进行选择．解解：能反应一组数据颠簸程度的是方差或标答：准差，应选 C．点本题考察了标准差的意义，颠簸越大，标准评：差越大，数据越不稳固，反之也建立．6．（4 分）（2015?上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要增添一个条件，这个条件能够是（）A．A D= B．OD= C．∠CAD= ∠ D．∠OCA= ∠BD CD CBD OCB考菱形的判断；垂径定理．点：分利用对角线相互垂直且相互均分的四边形析：是菱形，从而求出即可．解解：∵在⊙ O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB ，答：∴AD=DB ，当 DO=CD ，则 AD=BD ，DO=CD ，AB ⊥CO，故四边形 OACB 为菱形．应选： B．点本题主要考察了菱形的判断以及垂径定评：理，娴熟掌握菱形的判断方法是解题重点．二、填空题7．（4 分）（2015?上海）计算： |﹣2|+2= 4．考有理数的加法；绝对值．点：分先计算 |﹣2|，再加上 2 即可．析：解解：原式 =2+2答： =4．故答案为 4．点本题考察了有理数的加法，以及绝对值的求评：法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4 分）（2015?上海）方程=2 的解是x=2．考无理方程．点：分第一依据乘方法消去方程中的根号，而后根析：据一元一次方程的求解方法，求出 x 的值是多少，最后验根，求出方程=2 的解是多少即可．解解：∵=2，答：∴3x﹣2=4，∴x=2，当 x=2 时，左侧=，右侧 =2，∵左侧 =右侧，∴方程=2 的解是： x=2．故答案为： x=2．点本题主要考察了无理方程的求解，要娴熟掌评：握，解答本题的重点是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转变为有理方程来解，在变形时要注意依据方程的结构特色选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设协助元素法，利用比率性质法等．（2）注意：用乘方法（马上方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，常常会产生增根，应注意验根．9．（4 分）（2015?上海）假如分式存心义，那么 x 的取值范围是 x≠﹣ 3 ．考分式存心义的条件．点：分依据分式存心义的条件是分母不为0，列出析：算式，计算获得答案．解解：由题意得， x+3≠0，答：即 x≠﹣ 3，故答案为： x≠﹣ 3．点本题考察的是分式存心义的条件，从以下三评：个方面透辟理解分式的观点：（1）分式无心义? 分母为零；（2）分式存心义 ? 分母不为零；（3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零．10．（4 分）（2015?上海）假如对于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 m＜﹣ 4 ．考根的鉴别式．点：分依据对于x 的一元二次方程x2+4x﹣m=0 没析：有实数根，得出△ =16﹣4（﹣ m）＜ 0，从而求出 m 的取值范围．解解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0 没有实数答：根，∴△ =16﹣4（﹣ m）＜ 0，∴m＜﹣ 4，故答案为 m＜﹣ 4．点本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0评：（a≠0）的根的鉴别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．11．（4 分）（2015?上海）同一温度的华氏度数y （℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= x+32，假如某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．考函数值．点：分把 x 的值代入函数关系式计算求出y 值即析：可．解解：当 x=25°时，答： y= ×25+32=77，故答案为： 77．点本题考察的是求函数值，理解函数值的观评论：并正确代入正确计算是解题的重点．12．（ 4 分）（2015?上海）假如将抛物线y=x 2+2x ﹣1 向上平移，使它经过点 A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 y=x 2+2x+3 ．考二次函数图象与几何变换．点：分设平移后的抛物线分析式为 y=x2+2x﹣析：1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可获得b的值．解解：设平移后的抛物线分析式为y=x2+2x﹣答：1+b，把 A（0， 3）代入，得3=﹣1+b，解得 b=4，则该函数分析式为y=x2 +2x+3．故答案是： y=x2+2x+3．点主要考察了函数图象的平移，要求娴熟掌握评：平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数分析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4 分）（2015?上海）某校学生会倡导双休日到养老院参加服务活动，初次活动需要 7 位同学参加，现有包含小杰在内的 50 位同学报名，所以学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加初次活动的概率是．考概率公式．点：分由某校学生会倡导双休日到养老院参加服析：务活动，初次活动需要7 位同学参加，现有包含小杰在内的 50 位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．解解：∵学生会将从这50 位同学中随机抽取答：7 位，∴小杰被抽到参加初次活动的概率是：．故答案为：．点本题考察了概率公式的应用．用到的知识评论：为：概率 =所讨状况数与总状况数之比．14．（4 分）（2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年纪与人数状况以下表所示：年纪 11 12 13 14 15（岁）人数5516 1512那么“科技创新社团”成员年纪的中位数是14岁．考中位数．点：分一共有 53 个数据，依据中位数的定义，把析：它们按从小到大的次序摆列，第 27 名成员的年纪就是这个小构成员年纪的中位数．解解：从小到大摆列此数据，第27 名成员的答：年纪是 14 岁，所以这个小构成员年纪的中位数是14．故答案为 14．点本题属于基础题，考察了确立一组数据的中评：位数的能力．注意找中位数的时候必定要先排好次序，而后再依据奇数和偶数个来确立中位数，假如数占有奇数个，则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的均匀数．15．（4 分）（2015?上海）如图，已知在△ ABC 中， D、E 分别是边 AB 、边 AC 的中点， = ，= ，那么向量用向量，表示为﹣．考 * 平面向量．点：分由 = ， = ，利用三角形法例求解即可求析：得，又由在△ ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC 的中点，可得 DE 是△ ABC 的中位线，而后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解解：∵ =， =，答：∴=﹣=﹣，∵在△ ABC 中，D、E 分别是边 AB、边 AC的中点，∴= =（﹣）= ﹣．故答案为：﹣．点本题考察了平面向量的知识以及三角形中评：位线的性质．注意掌握三角形法例的应用．16．（4 分）（2015?上海）已知 E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E作AC 的垂线，交边CD 于点F，那么∠FAD= 22.5 度．考正方形的性质；全等三角形的判断与性质．点：分依据正方形的性质可得∠DAC=45 °，再由析：AD=AE 易证△ADF ≌△AEF，求出∠FAD．解解：如图，答：在 Rt △AEF 和 Rt△ADF 中，∴R t △AEF ≌Rt △ADF ，∴∠ DAF= ∠EAF ，∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠ CAD=45 °，∴∠ FAD=22.5°．故答案为： 22.5．点本题考察了正方形的性质，全等三角形的判评：定与性质，求证 Rt △AEF ≌Rt △ADF 是解本题的重点．17．（4 分）（2015?上海）在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，点 A 在⊙ B 上，假如⊙ D 与⊙ B 订交，且点B 在⊙ D 内，那么⊙ D 的半径长能够等于14（答案不独一）．（只要写出一个切合要求的数）考圆与圆的地点关系；点与圆的地点关系．点：专开放型．题：分第一求得矩形的对角线的长，而后依据点A析：在⊙B 上获得⊙ B 的半径为 5，再依据⊙ D 与⊙ B 订交，获得⊙ D 的半径 R 知足 8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解解：∵矩形 ABCD 中， AB=5 ，BC=12，答：∴AC=BD=13 ，∵点 A 在⊙B 上，∴⊙ B 的半径为 5，∵假如⊙ D 与⊙ B 订交，∴⊙ D 的半径 R 知足 8＜R＜18，∵点 B 在⊙D 内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14 切合要求，故答案为： 14（答案不独一）．点本题考察了圆与圆的地点关系、点与圆的位评：置关系，解题的重点是第一确立⊙ B 的半径，而后确立⊙ D 的半径的取值范围，难度不大．18．（4 分）（2015?上海）已知在△ ABC 中，AB=AC=8 ，∠ BAC=30 °，将△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC 的点 C 处，此时点 C落在点 D 处，延伸线段 AD ，交原△ ABC 的边BC 的延伸线于点 E，那么线段 DE 的长等于4﹣4．考解直角三角形；等腰三角形的性质．点：专计算题．题：分作 CH ⊥AE 于 H ，依据等腰三角形的性质析：和三角形内角和定理可计算出∠ ACB=（180°﹣∠ BAC ）=75°，再依据旋转的性质得 AD=AB=8 ，∠CAD= ∠BAC=30 °，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在 Rt△ACH 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 CH= AC=4 ，AH= CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，而后在Rt △CEH 中利用∠E=45°获得 EH=CH=4 ，于是可得 DE=EH ﹣DH=4﹣4．解解：作 CH ⊥AE 于 H，如图，答：∵AB=AC=8 ，∴∠ B=∠ACB= （180°﹣∠ BAC ）=（180°﹣ 30°） =75°，∵△ ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ABC 的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，∴A D=AB=8 ，∠CAD= ∠BAC=30 °，∵∠ ACB= ∠CAD+ ∠E，∴∠ E=75°﹣ 30° =45°，在 Rt △ACH 中，∵∠ CAH=30 °，∴CH= AC=4 ，AH= CH=4 ，∴DH=AD ﹣AH=8 ﹣4 ，在 Rt △CEH 中，∵∠ E=45°，∴EH=CH=4 ，∴DE=EH ﹣DH=4 ﹣（ 8﹣4 ）=4 ﹣4．故答案为 4 ﹣4．点本题考察认识直角三角形：在直角三角形评：中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考察了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10 分）（2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，此中x=﹣1．考分式的化简求值．点：分先依据分式混淆运算的法例把原式进行化析：简，再把 x 的值代入进行计算即可．解解：原式=? ﹣答：=﹣=，当 x= ﹣1 时，原式 == ﹣1．点本题考察的是分式的化简求值，熟知分式混评：合运算的法例是解答本题的重点．20．（10 分）（2015?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式点：的解集．分先求出每个不等式的解集，再依据找不等式析：组解集的规律找出不等式组的解集即可．解解：答：∵解不等式①得： x＞﹣ 3，解不等式②得： x≤2，∴不等式组的解集为﹣ 3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．点本题考察认识一元一次不等式组，在数轴上评：表示不等式组的解集的应用，解本题的重点是能依据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（10 分）（2015?上海）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比率函数 y= x 的图象经过点 A ，点 A 的纵坐标为 4，反比率函数 y= 的图象也经过点 A，第一象限内的点 B 在这个反比率函数的图象上，过点 B 作 BC∥x 轴，交 y 轴于点C，且 AC=AB ．求：（1）这个反比率函数的分析式；（2）直线 AB 的表达式．考反比率函数与一次函数的交点问题．点：分（1）依据正比率函数 y= x 的图象经过点析：A，点 A 的纵坐标为 4，求出点 A 的坐标，依据反比率函数y= 的图象经过点 A ，求出m的值；（2）依据点A 的坐标和等腰三角形的性质求出点 B 的坐标，运用待定系数法求出直线AB 的表达式．解解：∵正比率函数 y= x 的图象经过点 A，答：点 A 的纵坐标为 4，∴点 A 的坐标为（ 3，4），∵反比率函数 y= 的图象经过点 A ，∴m=12，∴反比率函数的分析式为：y=；（2）如图，连结 AC 、AB ，作 AD ⊥BC 于D，∵A C=AB ，AD ⊥BC，∴B C=2CD=6 ，∴点 B 的坐标为：（6，2），设直线 AB 的表达式为： y=kx+b ，由题意得，，解得，，∴直线 AB 的表达式为： y=﹣ x+6．点本题主要考察了待定系数法求反比率函数评：与一次函数的分析式和一次函数与反比率函数的解得的求法，注意数形联合的思想在解题中的应用．22．（10 分）（2015?上海）如图， MN 表示一段笔挺的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN 的距离为 15 米，BA 的延伸线与 MN 订交于点 D，且∠ BDN=30 °，假定汽车在高速道路上行驶时，四周 39 米之内会遇到噪音（ XRS ）的影响．（1）过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H，假如汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶，当汽车抵达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板起码需要多少米长？（精准到 1 米）（参照数据：≈1.7）考解直角三角形的应用；勾股定理的应用．点：分（1）连结 PA．在直角△ PAH 中利用勾股析：定理来求 PH 的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．经过解 Rt △ADH 、Rt △CDQ 分别求得DH 、DQ 的长度，而后联合图形获得：PQ=PH+DQ ﹣ DH，把有关线段的长度代入求值即可．解解：（1）如图，连结 PA．由题意知，AP=39m．答：在直角△ APH 中， PH== =36 （米）；（2）由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度．在 Rt △ADH 中， DH=AH ?cot30°=15（米）．在 Rt △CDQ 中， DQ===78（米）．则 PQ=PH+HQ=PH+DQ ﹣DH=36+78 ﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板起码需要 89米．25点本题考察认识直角三角形的应用、勾股定理评：的应用．依据题目已知特色采用适合锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，获得数学识题的答案，再转变获得实质问题的答案．23．（12 分）（2015?上海）已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线订交于点 O，点 E 在边BC 的延伸线上，且 OE=OB ，连结 DE．（1）求证： DE ⊥BE；（2）假如 OE⊥CD，求证： BD?CE=CD ?DE ．考相像三角形的判断与性质；等腰三角形的性点：质；平行四边形的性质．专证明题．题：分（1）由平行四边形的性质获得 BO= BD，析：由等量代换推出 OE= BD，依据平行四边形的判断即可获得结论；26（2）依据等角的余角相等，获得∠CEO= ∠CDE，推出△ BDE ∽△ CDE，即可获得结论．解证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，答：∴BO= BD，∵OE=OB ，∴OE= BD，∴∠ BED=90 °，∴DE⊥BE；（2）∵ OE⊥CD∴∠ CEO+ ∠DCE= ∠CDE+ ∠DCE=90 °，∴∠ CEO= ∠CDE ，∵OB=OE ，∴∠ DBE= ∠CDE ，∵∠ BED= ∠BED ，∴△ BDE ∽△ CDE ，∴，∴BD?CE=CD ?DE．点本题考察了相像三角形的判断和性质，直角评：三角形的判断和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的重点．24．（12 分）（2015?上海）已知在平面直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=ax2﹣4 与 x 轴的负半轴（ XRS）订交于点 A，与 y 轴订交于点 B，AB=2 ，点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点 C，线段 BP 与 x 轴订交于点 D，设点 P 的横坐标为 m．（1）求这条抛物线的分析式；（2）用含 m 的代数式表示线段 CO 的长；（3）当 tan∠ODC= 时，求∠ PAD 的正弦值．考二次函数综合题．点：分（1）依据已知条件先求出 OB 的长，再根析：据勾股定理得出 OA=2 ，求出点 A 的坐标，再把点 A 的坐标代入 y=ax2﹣4，求出 a 的值，从而求出分析式；（2）依据点P 的横坐标得出点P 的坐标，过点P 作PE⊥x 轴于点E，得出OE=m ，PE=m 2﹣4，从而求出 AE=2+m ，再依据=，求出 OC；（3）依据 tan ∠ODC= ，得出 = ，求出OD 和 OC ，再依据△ ODB ∽△ EDP，得出=，求出 OC，求出∠ PAD=45°，从而求出∠ PAD 的正弦值．解解：（1）∵抛物线 y=ax2﹣4 与 y 轴订交于答：点 B，∴点 B 的坐标是（ 0，﹣ 4），∴O B=4 ，∵A B=2 ，∴OA==2，∴点 A 的坐标为（﹣ 2，0），把（﹣ 2，0）代入 y=ax2﹣4 得： 0=4a﹣4，解得： a=1，则抛物线的分析式是：y=x2﹣4；（2）∵点 P 的横坐标为 m，∴点P 的坐标为（ m，m2﹣4），过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，∴OE=m ，PE=m 2﹣4，∴A E=2+m ，∵ = ，∴= ，∴CO=2m ﹣4；（3）∵ tan ∠ODC= ，∴ = ，∴OD= OC= ×（ 2m﹣4）=，∵△ ODB ∽△ EDP ，∴= ，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴O C=2×3﹣4=2，∵OA=2 ，∴O A=OC ，∴∠ PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．点本题考察了二次函数的综合，用到的知识评论：是相像三角形的判断与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，重点是依据题意作出协助线，结构相像三角形．25．（14 分）（2015?上海）已知，如图， AB 是半圆 O 的直径，弦 CD ∥AB ，动点 P，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ=OP ，AP 的延伸线与射线 OQ 订交于点 E，与弦 CD 订交于点 F（点 F 与点 C，D 不重合），AB=20 ，cos∠AOC= ，设 OP=x ，△ CPF 的面积为y．（1）求证： AP=OQ ；（2）求 y 对于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ OPE 是直角三角形时，求线段 OP 的长．考圆的综合题．点：分（1）连结 OD，证得△ AOP ≌△ ODQ 后即析：可证得 AP=OQ ；（2）作 PH⊥OA ，依据 cos∠AOC= 获得OH= PO= x，从而获得 S△AOP = AO ?PH=3x ，利用△ PFC ∽△ PAO 适合对应边的比相等即可获得函数分析式；（3）分当∠ POE=90°时、当∠ OPE=90°时、当∠ OEP=90°时三种状况议论即可获得正确的结论．解解：（1）连结 OD ，答：在△ AOP 和△ ODQ 中，，∴△ AOP ≌△ ODQ ，∴AP=OQ ；（2）作 PH⊥OA ，∵cos∠AOC= ，∴OH= PO= x，∴S△AOP = AO ?PH=3x ，又∵△ PFC ∽△ PAO，∴==（）2，整理得： y=（＜x＜10）；（3）当∠ POE=90°时， CQ== ，PO=DQ=CD ﹣CQ= （舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO ?cos∠COA=8 ；当∠ OEP=90°时，∠AOQ= ∠DQO= ∠APO ，∴∠ AOC= ∠AEO ，即∠ OEP= ∠COA ，此种状况不存在，∴线段 OP 的长为 8．点本题考察了圆的综合知识、相像三角形的判评：定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类议论更是本题的难点．。

2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________【答案】24【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=71166225533447-+-+-+-+-+-+-=654321324++++++=2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得1313z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 【答案】2【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()21338x x -=+∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦∴()()141338212x x x x=+++---∴()()12239x x x--=+原式=4133812239x xx+++-=+5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)m<，增加34份礼物，则m=____________【答案】8【解析】根据题意有()()()1341m m m n m n-+=++-，()2134n m n∴+-=，∴12134nm n=⎧⎨+-=⎩或22117nm n=⎧⎨+-=⎩或17212nm n=⎧⎨+-=⎩或34211nm n=⎧⎨+-=⎩解得：117nn=⎧⎨=⎩（舍）或28nn=⎧⎨=⎩或177nn=⎧⎨=-⎩（舍）或3416nn=⎧⎨=-⎩（舍）8m∴=6、正ABCV的内切圆半径为1，P为圆上一点，则12BP CP+的最小值为_________ 【答案】212【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得1122DO r==，联结PD,由计算可得2CO=，在PODV与COPV中，12POD COPOD OPOP OC∠=∠⎧⎪⎨==⎪⎩∴PODV:COPV,∴12PD PC=∴12122BP CP BP PD BD+=+≥=二. 解答题 7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，则()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()922S H S H S ++-==8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）联结BE ，AF ，有22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且BDF CDF ACE CDES S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACES S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2AB CD = 附：无答案试卷一. 填空题1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________2、已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP +的最小值为_________二. 解答题7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；（2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。

2015年上海市中考数学试卷一、选择题1．下列实数，是有理数的为（）A．B．C．πD．02．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=3．下列y关于x的函数，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y= C．y= D．y=4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．下列各统计量，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数 C．方差 D．频率6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题7．计算：|﹣2|+2=．8．方程=2的解是．9．如果分式有意义，那么x的取值范围是．10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD 于点F，那么∠FAD=°．17．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC 的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE.（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ.（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．2015年上海市中考数学试卷参考答案与解析一、1．D 解析：是无理数，A不符合；是无理数，B不符合；π是无理数，C不符合；0是有理数，D符合．故选D．点评：此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．A 解析：A．a0=1（a＞0），故此选项正确；B．a﹣1=，故此选项错误；C．（﹣a）2=a2，故此选项错误；D．a=（a＞0），故此选项错误．故选A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质、负整数指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题的关键．3．C 解析：A．y是x的二次函数，故此选项错误；B．y是x的反比例函数，故此选项错误；C．y是x的正比例函数，故此选项正确；D．y是x的一次函数，故此选项错误．故选C．点评：此题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫作x的正比例函数．4．B 解析：这个多边形的边数是360÷72=5．故选B．点评：此题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角的和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．C 解析：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差．故选C．点评：此题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．B 解析：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB．若DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选B．二、7．4 解析：原式=2+2=4．点评：此题考查了有理数的加法以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．x=2 解析：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2．当x=2时，左边=，右边=2．∵左边=右边，∴方程=2的解是x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．x≠﹣3 解析：由题意，得x+3≠0，即x≠﹣3．点评：此题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．m＜﹣4 解析：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．11．77 解析：当x=25时，y=×25+32=77．12．y=x2+2x+3 解析：设平移后的抛物线的解析式为y=x2+2x﹣1+b．把A（0，3）的坐标代入上式，得3=﹣1+b，解得b=4．则该函数的解析式为y=x2+2x+3．点评：此题主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．解析：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是．点评：此题考查了概率公式的应用：概率=所求情况数与总情况数之比．14．14 解析：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14岁．点评：此题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．15．﹣解析：∵=，=，∴=﹣=﹣．∵在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∴==（﹣）=﹣．点评：此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．22.5 解析：如图．在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，，∴∠DAF=∠EAF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解此题的关键．17．14（答案不唯一）解析：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13．∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5．如果⊙D与⊙B相交，那么⊙D的半径R满足8＜R＜18．∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求．点评：此题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．4﹣4 解析：作CH⊥AE于点H，如图．∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°．∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°．∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°．在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD ﹣AH=8﹣4．在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、19．解：原式=•﹣=﹣=．当x=﹣1时，原式==﹣1．点评：此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解：．解不等式①，得x＞﹣3．解不等式②，得x≤2．∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．解：∵正比例函数y=x的图像经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4）．∵反比例函数y=的图像经过点A，∴m=12．∴反比例函数的解析式为y=．（2）如图，连接AC，AB，作AD⊥BC于点D．∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为（6，2）．设直线AB的表达式为y=kx+b．由题意，得，解得．∴直线AB的解析式为y=﹣x+6．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，注意数形结合思想在解题中的应用．22．解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39 米．在直角三角形APH中，PH===36（米）．（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．点评：此题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD．∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE．∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE．（2）∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE．∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE．∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．24．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4．∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0）．把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4，得0=4a﹣4，解得a=1．则抛物线的解析式是y=x2﹣4．（2）（方法一）∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4）．如图，过点P作PE⊥x轴于点E．∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m．∵=，∴=，∴CO=2m﹣4．（方法二）∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4）．设PA的直线方程为y=kx+b．∴⇒，∴l PA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4．（3）（方法一）∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=．∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=．∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2．∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．（方法二）∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴l PB：y=mx﹣4，∴D（，0），tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=．∵线段AP与y轴的正半轴相交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴．整理，得m2﹣2m﹣3=0．∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴P（3，5），∴l PA：y=x+2．∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=．点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．25．解：（1）如图，连接OD．在△AOP和△ODQ中，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ．（2）如图，作PH⊥OA．∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，∴S△AOP=AO•PH=3x．又∵△PFC∽△PAO，∴==（）2．整理，得y=．∵AP的延长线与CD相交于点F，∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，∴，∴x的定义域为＜x＜10．（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍去）；当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，∴∠APO=∠OQD．∴∠AOQ=∠OQD=∠APO．∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），∴此种情况不存在，∴线段OP的长为8．点评：此题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是此题的难点．。

2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a=时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=．4．求值：=．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a=±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为6．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x﹣1）；当x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。

2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是（锐角、直角或钝角）5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为cm．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是（设地球的半径为R）11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是1：8．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：8．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是c≤b≤a．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的距离，即两个平面内直线的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故答案为：c≤b≤a．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是锐角（锐角、直角或钝角）【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：在OA，OB上取点A，B，使得AB∥α，则射影长A′B′等于AB=c，设OA′=a，OB′=b，则a2+b2=c2，∴cos∠AOB=＞=0，∴∠AOB是锐角；故答案为：锐角．5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），则直线l：3z+3+2=0化为：3x+1=0．∵点﹣+3i在直线3x+1=0上，∴在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．故答案为：y=3．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是8．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：设m=a+bi，∵（4+3i）x2+（a+bi）x+4﹣3i=0，∴（4x2+ax+4）+（3x2+bx﹣3）i=0，∴，∴a=﹣，b=﹣，∴|m|==≥==8，当且仅当x2=1时“=”成立，故答案为：8．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=．在直角三角形POA中，．所以=．故答案为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为6cm．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O′，则∵∠ACB=60°，∴∠AO′B=120°；则在等腰三角形ABO′中，AO′==8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：6．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是πR（设地球的半径为R）【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：由题意A，B在大圆上．∵地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，∴纬度差为30°+180°﹣45°=165°=π，∵地球半径为R，∴A、B两地的球面距离是πR．故答案为：πR．11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），∴平面ABC为：=1，∴1=（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2≥．又M是底面ABC内一点，∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．故答案为：．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则co sθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=cosγ．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2﹣2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ==．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴．∴f（γ）=cosγ．故答案为：cosγ．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD和A1D1，此时两直线所成的角为90°．．②若两异面直线为CD和AB1，此时两直线所成的角为45°．③若两异面直线为AC和DC1，此时两直线所成的角为60°．所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°．故选：A．14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；在②中，∵z=a+bi，=a﹣bi，∴‖z‖=‖‖=|a|+|b|，故②成立；在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，‖z1‖=‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；④对任何复数z1，z2，z3，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，则‖z1﹣z3‖=|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．故选：C．15．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【解答】解：设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1﹣x，|AD|2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+故S ABCD=|AD|2∈[，1]V=S ABCD•h•2=S ABCD∈[，]．∴该八面体的体积可能值有无数个，故选：D．三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．【考点】A1：虚数单位i、复数；A8：复数的模．【解答】解：设z=x+yi （x、y∈R），则原方程变成（2分）⇔⇔或（4分）⇔或∴原方程的解为，±1，±3．（6分）18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE=B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB=BC=5，∴AC=5，∴sin∠CAD==．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD=AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD==4，∴AD==．∴BM==．即B到平面ACD的距离为．（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V=﹣=15π．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．【考点】L2：棱柱的结构特征；LW：直线与平面垂直．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．【考点】L2：棱柱的结构特征；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在等边三角形BCD中，∵BC=CD=BD=1，∴DE=，在等腰三角形ABC中，∵AB=AC=，BC=1，∴AE=．在△AED中，由余弦定理得cos∠AED=；（2）当两条长为a的棱相交时，不妨设AB=AC=a，AD=BD=CD=BC=1，∵面ABC与平面BCD重合且A，D在BC异侧时，AE=，此时AB=AC=，面ABC与平面BCD重合且A，D在BC同侧时，AE=1+，此时AB=AC=．∴；当两条长为a的棱互为对棱时，不妨设BC=AD=a，AB=AC=BD=CD=1，BC，AD可以无限趋近于0，当ABCD为平面四边形时a=，∴0．综上，若四面体存在，则0＜a．。

一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………（ ）. A 、2； B 、34； C 、π； D 、0． 【答案】D考点：有理数和无理数的概念.2、当0a >时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………（ ）. A 、01a =； B 、1a a -=-； C 、22()a a -=-； D 、1221a a=． 【答案】A 【解析】试题分析：选项B 应为：11a a-=；选项C 应为：22()a a -=；选项D 应为：12a a =.考点：幂的基本运算.3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为……………………………………（ ）. A 、2y x =； B 、2y x =； C 、2x y =； D 、12x y +=． 【答案】C考点：基本初等函数的定义与判断.4、如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是……………（ ）. A 、4； B 、5； C 、6； D 、7． 【答案】B 【解析】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725÷=. 考点：正多边形的中心角定义及求法.5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是………………………………（ ）. A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率．【解析】试题分析：平均数表示一组数据的平均程度，众数表示一组数据中出现次数最多的数，反映数据的聚散程度，而方差和标准差反映是一组数据的波动程度. 考点：基本统计量的意义.6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是…………………………………………（ ）.A 、AD BD =；B 、OD CD =；C 、CAD CBD ∠=∠； D 、OCA OCB ∠=∠．D CBAO【答案】B考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.二、填空题：(每题4分，共48分)7、计算：22-+=_______． 【答案】4 【解析】试题分析：22224-+=+=.考点：1.绝对值的定义；2.有理数的基本运算. 8、方程322x -=的解是_______________． 【答案】2x =考点：解无理方程. 9、如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是____________． 【答案】3x ≠-试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故30x +≠，解得3x ≠-. 考点：分式有意义的条件.10、如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．【答案】4m <-考点：根的判别式.11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是9325y x =+，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉． 【答案】77 【解析】试题分析：将25x =代入9325y x =+，得92532775y =⋅+=，故华氏度数为77F . 考点：求代数式的值.12、如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】223y x x =++考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．【答案】750【解析】试题分析：根据题意中“随机抽取”，可知为等可能事件，将数据代入概率公式：750n P N ==. 考点：等可能事件的概率公式.年龄11 1213 14 1514、已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．【答案】14 【解析】试题分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大排列好之后，位于最中间的那个数据即为中位数.题中共有53人，故中位数应该是从小到大排在27位的那个数，为14. 考点：基本统计量中位数的定义.15、如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m =，AC n =，那么向量DE 用向量m 、n 表示为______________．【答案】1122m n -+考点：平面向量的基本运算.16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么FAD ∠=________度． 【答案】22.5 【解析】试题分析：作出简图，B CAD EF 由题意知，ADF ∆≌AEF ∆（HL ），故12FAD FAE DAE ∠=∠=∠，因为AC 是正方形的对角线，故45DAE ∠=，故22.5FAD ∠=.人数5516 15 12考点：1.正方形的性质；2.全等直角三角形的判定；3.全等三角形的性质. 17、在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在B 上．如果D 与B 相交，且点B 在D 内，那么D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数)【答案】14（答案不唯一，只要大于13，小于18即可）考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.圆相交的性质.18、已知在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 【答案】434- 【解析】试题分析：？30°30°888F E ABCD如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CF AE⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，43AF =，故843DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠=，故45E ∠=，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(843)434DE EF DF =-=--=-.考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ． 【答案】化简得12x +，代入求值得21-考点：1.分式的化简；2.代数式求值. 20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：【解析】试题分析：根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再在数轴上表示出解集，取其公共部分，即为不等式组的解集.端点取不到时用空心点表示，端点能取到时用实心点表示.试卷解析：由第一个不等式得3x >-，由第二个不等式得3(1)1x x -≤+，2x ≤，∴原不等式组的解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：考点：1.解一元一次不等式组；2.不等式组的解集在数轴上的表示. 21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数43y x =的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作//BC x 轴，交y 轴于点C ，且AC AB =．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．【答案】（1）12y x =；（2）263y x =-+ 【解析】试题分析：（1）先根据A 在正比例函数图像上求出点A 的坐标，再根据A 在反比例函数图像上，代入求得反比例函数解析式；（2）根据B 在反比例函数图像上，假设出点B 坐标，再根据//BC x 轴，得到点C 坐标.结合AC AB =，代入两点间距离公式，得到方程，解出即得点B 坐标.再利用待定系数法，将A 、B 坐标代入，求出直线AB 的解析式.试卷解析：（1）设(,4)A x ，∵43y x =经过点A ，∴443x =，∴3x =，∴(3,4)A ， ∵m y x =经过点A ，∴43m =，∴12m =，∴反比例函数的解析式为12y x =；考点：1.点在函数图像上的意义；2.勾股定理；3.待定系数法求函数解析式. 22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3 1.7≈)NQ H PMDCBA【答案】（1）36米；（2）89米 【解析】试题分析：（1）联结AP ，直接在Rt APH ∆中利用勾股定理解出PH 即可；（2）从题中可得到的信息是39PA CQ m ==，因此需要安装的隔音板至少要包含PQ 这一段.第（1）小题中已解得PH ，故需要求出HQ ，在Rt DHA ∆和Rt DQC ∆中用两次30的三角函数，即可解得DH 和DQ ，代入PQ PH DQ DH =+-计算即可.试卷解析：（1）联结AP ，由题意得39AP m =，15AH m =，故在Rt APH ∆中，2222391536PH AP AH m =-=-=；考点：1.勾股定理；2.解直角三角形；3.对实际应用题的分析解决能力. 23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ． (1)求证：DE BE ⊥； (2)如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．OEDCBA【答案】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和，证明过程略；（2）证明CED ∆∽DEB ∆，证明过程略 【解析】试题分析：（1）由平行四边形性质知，OB OD OE ==，在两个等腰三角形OBD ∆和ODE ∆中，得到两组角相等，再在BDE ∆中利用三角形内角和定理，即可求得90BDE ∠=，得证；（2）根据要证明的结论，易想到证明三角形相似，即CED ∆∽DEB ∆，图中已有一组公共角，故只需证明另一组对角相等.结合条件OE CD ⊥，可通过同角的余角相等，证明EDC OEB ∠=∠，从而有EDC OBE ∠=∠，得证. 试卷解析：（1）∵OB OE =，∴OEB OBE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，∴OD OE =，∴OED ODE ∠=∠.∵在BED ∆中，180OEB OBE OED ODE ∠+∠+∠+∠=，∴22180OED OEB ∠+∠=，∴90OEB OED ∠+∠=，即90BED ∠=，∴DE BE ⊥.考点：1.平行四边形性质；2.相似三角形的判定及性质. 24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，25AB =．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长； （3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．【答案】（1）24y x =-；（2）24OC m =-；（3）2sin 2PAD ∠=【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求得OA 的长度，从而确定A 的坐标，代入抛物线解析式即可；（2）可借助三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，利用对应边成比例得到OC 的表达式；（3）再一次利用三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，先求出OD 的表达式，结合3tan 2ODC ∠=，求出m 的值，进而得到P 坐标以及相关的线段长度，再将PAD ∠的正弦值放到Rt PAH ∆中求解即可.试卷解析：作图如下：（1）∵25AB =，4OB =，∴2OA =，即(2,0)A -，∵A 在抛物线上，∴440a -=，∴1a =，∴抛物线的解析式为24y x =-； （2）由（1）得2(,4)P mm -（2m >），∴24PH m =-，OH m =，∵//OC PH ，∴A O C ∆∽AHP ∆，∴CO AO PH AH =，即2242CO m m=-+，∴2(2)24CO m m =-=-；考点：1.待定系数法求函数解析式；2.三角形相似的判定与性质；3.锐角三角函数.25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ． （1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）通过证明AOP ∆≌ODQ ∆，过程略；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去. 试卷解析：（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠.在AOP ∆和ODQ ∆中，OP DQ POA QDO OA DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；(2)作PH OA ⊥，交OA 于H ，∵4cos 5AOC ∠=，∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=.∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==，∴2360300x x y x -+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⋅⋅=，∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x -+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=，∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⋅=； ②当90POE ∠=时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-= ，∵501013OP <<，∴72OP =（舍）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍；综上，线段OP 的长为8.考点：1.三角形全等的判定及性质；2.锐角三角函数的综合应用；3.圆的综合应用.。

2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． 下列实数中，是有理数的为（ ）A ．B ；C ．π；D ．0．2． 当0a >时，下列关于幂的运算正确的是（ ）A ．01a =；B ．1a a -=-；C ．()22a a -=-； D ．． 3． 下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为（ ）A ．2y x =；B ．2y x =；C ．2x y =；D ．．4． 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．4；B ．5；C ．6；D ．7．5． 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）A ．平均数；B ．众数；C ．方差；D ．频率．6． 如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AD BD =；B ．OD CD =；C ．CAD CBD ∠=∠； D ．OCA OCB ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7． 计算：22-+= ．8． 方程322x -=的解是 ．9． 如果分式23x x +有意义，那么x 的取值范围是 ． 10．如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是 ．11．同一温度的华氏度数()y F 及摄氏度数()x C 之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是25C，那么它的华氏度数是F．12．如果将抛物线221=+-向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物y x x线的表达式是．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此次活动的概率是．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄及人数情况如下表所示：1112131415年龄（岁）人数55161512那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，AB m=，=，AC n 那么向量DE用向量m、n表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE AD=，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么FAD∠=度．17．在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在⊙B 上．如果⊙D 及⊙B 相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于 ．（只需写出一个符号要求的数）18．已知在△ABC 中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中1x =．20．（本题满分10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．图 321．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC AB ．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．22．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线及MN相交于点D，且30∠=，BDN假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车及点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它及这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到13 1.7）图4图23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ．（1）求证：DE BE ⊥；（2）如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-及x 轴的负半轴相交于点A ，及y 轴相交于点B ，25AB =P 在抛物线上，线段AP 及y 轴的正半轴相交于点C ，线段BP 及x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长度；（3）当时，求PAD的正弦值．图7 备用图25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线及射线OQ 相交于点E ，及弦CD 相交于点F （点F 及点C 、D 不重合），20AB =，．设OP x =，△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、 选择题1、D ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B二、 填空题7、4； 8、2； 9、3x ≠- ； 10、4m <- ； 11、77； 12、223y x x =++ ； 13、750； 14、14； 15、 ； 16、22.5； 17、14等（大于13且小于18 的数）；18、4．三、 解答题19．解：原式2221=(2)2x x x x x x +-⋅-++当1x =时，原式1=20．解：由426x x >-，得3x >-由 ，得2x ≤∴ 原不等式组的解集是32x -<≤.x21．解：（1）∵正比例函数的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，∴ ∴3x = ∴点A 的坐标是(3,4)∵反比例函数的图像经过点A ，∴ ，12m =∴反比例函数的解析式为（2）∵AC AB =，∴点A 在线段BC 的中垂线上.∵BC x ∥轴，点C 在y 轴上，点A 的坐标是(3,4)，∴点B 的横坐标为6.∵点B 在反比例函数的图像上，∴点B 的坐标是(6,2).设直线AB 的表达式为y kx b =+ ，将点A 、B 代入表达式得：解得∴直线AB 的表达式为.22．解：（1）联结AP .由题意得 ,15(),39()AH MN AH m AP m ⊥==.在Rt APH ∆中，得36()PH m =.答：此时汽车及点H 的距离为36米. （2）由题意可知，PQ 段高架道路旁需要安装隔音板，QC AB ⊥，30,39()QDC QC m ∠=︒=.在Rt DCQ ∆中，278()DQ QC m ==.在Rt ADH ∆中，cot 30)DH AH m =⋅︒=，∴11415 1.788.589()PQ PH DH DQ m =-+≈-⨯=≈.答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.23．证明：（1）∵,OE OB OBE OEB =∠=∠.∵平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∴OB OD =.∴OE OD =. ∴ODE OED ∠=∠.在BDE ∆中，∵180,OBE OEB OED ODE ∠+∠+∠+∠=︒∴090,OEB ED BED ∠+∠=∠=︒ 即DE BE ⊥.（2）∵OE CD ⊥，∵90CDE DEO ∠+∠=︒.又∵90,.CEO DEO CDE CEO ∠+∠=︒∴∠=∠,.OBE OEB OBE CDE ∠=∠∴∠=∠在DBE ∆和CDE ∆中：∴.DBE CDE ∆∆∽ ∴ ∴ BD CE CD DE ⋅=⋅24．（1）由抛物线24=-及y轴相交于点B，得点B的坐标为(0,-4)y ax∵点A在x轴的负半轴上，AB=∴点A的坐标为(-2,0)∵抛物线24=-及x轴相交于点A，∴1y axa=∴这条抛物线的表达式为24=-y x（2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴点P的坐标为2(,4)m m-由题意，得点P在第一象限内，因此2>->0,40m m过点P作PH⊥x轴，垂足为H∵CO∥PH，∴∴，解得24CO m=-（3）过点P作PG⊥y轴，垂足为点G∵OD∥PG，∴∴，即在Rt△ODC中，∵∴，解得3m=-（舍去）。

2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2．(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是A.−i B.1−i C.1+i D.i3．(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为A.±2B.2C.0D.0,−24．(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)= A.± B.,C.±D.,5．(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A. B. C. D.6．(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(−1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307．(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60°所得B.顺时针旋转120°所得C.逆时针旋转60°所得D.逆时针旋转120°所得8．(2011年复旦大学)设有复数=, =+isin ,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2 011=B. C. D.A.ω9．(2011年复旦大学)将复数z=(sin 75°+isin 15°)3 (其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC. D.10．(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有A.τστ=σB.τστ=σ−1C.τσ=στD.τστσ=σσ11．(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为A.−1B.2−C.+1D.2+12．(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为A. B. C. D.13．(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,a•b=m,则(t∈R)的最小值为A.2B.C.1D.14．(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A. B. C. D.15．(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且= ,则|z|=A. B. C. D.16．(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则A.a⊥eB.a⊥(a+e)C.e⊥(a+e)D.(a+e)⊥(a−e)17．(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧二、填空题。

2015 年上海市中考数学试卷一、选择题1．（ 4 分）（ 2015?上海）下列实数中，是有理数的为（）A B C π D 0 ．．．．2．（ 4 分）（ 2015?上海）当 a ＞0 时，下列关于幂的运算正确的是（）0 B ﹣ 1 C 2 2DA a =1 a =﹣ a （﹣ a ） =﹣ a．．．． a =3．（ 4 分）（ 2015?上海）下列 y 关于 x 的函数中，是正比例函数的为（）2B y=C y=D y=Ay=x．． ．．4．（ 4 分）（ 2015?上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（ ）A 4B 5C 6D 7 ． ． ． ．5．（ 4 分）（ 2015?上海）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）A 平均数B 众数C 方差D 频率 ． ． ．．6．（4 分）（ 2015?上海）如图，已知在 ⊙ O 中， AB 是弦，半径 OC ⊥ AB ，垂足为点 D ，要使四边形 OACB为 菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A AD=BDB OD=CDC ∠ CAD=∠ CBDD ∠ OCA=∠ OCB ． ． ．．二、填空题7．（ 4 分）（ 2015?上海）计算： | ﹣ 2|+2= ．8．（ 4 分）（ 2015?上海）方程=2 的解是．9．（ 4 分）（ 2015?上海）如果分式 有意义，那么 x 的取值范围是 ．10．（ 4 分）（ 2015?上海）如果关于 x 的一元二次方程 x 2+4x ﹣ m=0没有实数根，那么 m 的取值范围 是．11．（ 4 分）（ 2015?上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数 x（℃）之间的函数关系是y= x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉ ．12．（ 4 分）（ 2015?上海）如果将抛物线2A（ 0，3），那么所得新抛物y=x +2x﹣ 1 向上平移，使它经过点线的表达式是．13．（ 4 分）（ 2015?上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7 位同学参加，现有包括小杰在内的50 位同学报名，因此学生会将从这50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．14．（ 4 分）（ 2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．（ 4 分）（ 2015?上海）如图，已知在△ABC中， D、 E 分别是边 AB、边 AC的中点，= ，= ，那么向量用向量，表示为．16．（ 4 分）（ 2015?上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点， AE=AD，过点 E 作AC的垂线，交边CD于点 F，那么∠ FAD=度．17．（ 4 分）（ 2015?上海）在矩形A BCD中， AB=5， BC=12，点 A 在⊙ B 上，如果⊙ D 与⊙ B 相交，且点 B 在⊙ D内，那么⊙ D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．（ 4 分）（ 2015?上海）已知在△ ABC中， AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ ABC绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，延长线段 AD，交原△ ABC的边 BC的延长线于点 E，那么线段DE的长等于．三、解答题19．（ 10 分）（ 2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（ 10 分）（ 2015?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（ 10 分）（ 2015?上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y= x 的图象经过点A，2过点 B 作 BC∥ x 轴，交 y 轴于点 C，且 AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线 AB的表达式．22．（ 10 分）（ 2015?上海）如图， MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN的距离为15 米， BA 的延长线与MN相交于点D，且∠ BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39 米以内会受到噪音（XRS）的影响．（ 1）过点 A 作 MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到 N 的方向在MN上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（ 2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离 QC为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到 1 米）（参考数据：≈1.7 ）23．（ 12 分）（ 2015?上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点 E 在边 BC的延长线上，且 OE=OB，连接 DE．（ 1）求证： DE⊥ BE；（ 2）如果 OE⊥ CD，求证： BD?CE=CD?DE．24．（ 12 分）（2015?上海）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线 y=ax 2﹣ 4 与 x 轴的负半轴（ XRS）相交于点A，与 y 轴相交于点B， AB=2，点P在抛物线上，线段AP与 y 轴的正半轴交于点C，线段BP 与 x 轴相交于点D，设点 P 的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含 m的代数式表示线段 CO的长；（3）当 tan ∠ ODC= 时，求∠ PAD的正弦值．25．（ 14 分）（ 2015?上海）已知，如图， AB是半圆 O的直径，弦 CD∥ AB，动点 P，Q分别在线段 OC， CD 上，且 DQ=OP，AP的延长线与射线 OQ相交于点 E，与弦 CD相交于点 F（点 F 与点 C，D不重合），AB=20，cos ∠ AOC= ，设 OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证： AP=OQ；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（ 3）当△ OPE是直角三角形时，求线段OP的长．2015 年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（ 4 分）（ 2015?上海）下列实数中，是有理数的为（）A B C π D 0．．．．考实数．点：分根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进析：行判断即可．解解：是无理数， A 不正确；答：是无理数， B 不正确；π是无理数， C不正确；0 是有理数， D 正确；故选： D．点此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成评：有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．（ 4 分）（ 2015?上海）当 a＞0 时，下列关于幂的运算正确的是（）A a0=1B a﹣1=﹣aC （﹣a）2=﹣a2 D．．．． a =考负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．点：分分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出析：即可．解解： A、a =1（ a＞ 0），正确；答：B、 a﹣1= ，故此选项错误；C、（﹣ a）2=a2，故此选项错误；D、 a = （ a＞ 0），故此选项错误．故选： A．点此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，评：正确把握相关性质是解题关键．3．（ 4 分）（ 2015?上海）下列 y 关于 x 的函数中，是正比例函数的为（）A y=x 2B y=C y=D y=．．．．考正比例函数的定义．点：分根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．析：解解： A、y 是 x 的二次函数，故 A 选项错误；答：B、 y 是 x 的反比例函数，故 B 选项错误；C、 y 是 x 的正比例函数，故 C 选项正确；D、 y 是 x 的一次函数，故D选项错误；故选 C．点本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y 之间的关系式可以表示成评：形如 y=kx （ k 为常数，且 k≠0）的函数，那么 y 就叫做 x 的正比例函数．4．（ 4 分）（ 2015?上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A 4B 5C 6D 7．．．．考多边形内角与外角．点：分根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．析：解解：这个多边形的边数是360÷72=5，答：故选： B．点本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正评：多边形的中心角相等是解题的关键．5．（ 4 分）（ 2015?上海）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A 平均数B 众数C 方差D 频率．．．．考统计量的选择．点：分根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数析：据的离散程度或波动大小进行选择．解解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，答：故选 C．点本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．评：6．（4 分）（ 2015?上海）如图，已知在⊙ O中，AB是弦，半径OC⊥ AB，垂足为点 D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A AD=BDB OD=CDC ∠ CAD=∠ CBD D ∠ OCA=∠ OCB．．．．考菱形的判定；垂径定理．点：分利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．析：解解：∵在⊙ O中， AB 是弦，半径OC⊥ AB，则 AD=BD， DO=CD， AB⊥ CO，故四边形 OACB为菱形．故选： B．点此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．评：二、填空题7．（ 4 分）（ 2015?上海）计算： | ﹣ 2|+2= 4．考有理数的加法；绝对值．点：分先计算 | ﹣ 2| ，再加上 2 即可．析：解解：原式 =2+2答：=4．故答案为4．点本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．评：8．（ 4 分）（ 2015?上海）方程=2 的解是 x=2 ．考无理方程．点：分首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x 的析：值是多少，最后验根，求出方程=2 的解是多少即可．解解：∵=2，答：∴ 3x﹣2=4，∴x=2，当 x=2 时，左边=，右边 =2，∵左边 =右边，∴方程=2 的解是： x=2．故答案为： x=2．点此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解评：无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．（ 4 分）（ 2015?上海）如果分式有意义，那么x 的取值范围是x≠﹣3．考分式有意义的条件．点：分根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．析：解解：由题意得，x+3≠0，答：即 x≠﹣3，点本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（ 1）分式评：无意义 ? 分母为零；（ 2）分式有意义 ? 分母不为零；（ 3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零．10．（4 分）（ 2015?上海）如果关于x 的一元二次方程 x2+4x﹣ m=0没有实数根，那么 m的取值范围是m ＜﹣ 4 ．考根的判别式．点：分根据关于 x 的一元二次方程x2+4x﹣ m=0没有实数根，得出△ =16﹣ 4（﹣ m）＜ 0，从析：而求出 m的取值范围．解解：∵一元二次方程 x2+4x﹣ m=0没有实数根，答：∴ △ =16﹣ 4（﹣ m）＜ 0，∴m＜﹣ 4，故答案为 m＜﹣ 4．点2 2本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0（ a≠0）的根的判别式△ =b ﹣ 4ac ：当△＞ 0，评：方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．11．（ 4 分）（ 2015?上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y= x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉ ．考函数值．点：分把 x 的值代入函数关系式计算求出y 值即可．析：解解：当 x=25°时，答：=77，故答案为： 77．点本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．评：12．（ 4 分）（ 2015?上海）如果将抛物线y=x 2+2x﹣ 1 向上平移，使它经过点A（ 0，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x 2+2x+3 ．考二次函数图象与几何变换．点：分设平移后的抛物线解析式为y=x 2+2x﹣ 1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可得到b析：的值．解解：设平移后的抛物线解析式为y=x 2+2x﹣ 1+b，答：把 A（ 0， 3）代入，得3=﹣ 1+b，解得 b=4，则该函数解析式为 y=x 2+2x+3．故答案是： y=x 2+2x+3．点主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并评：用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（ 4 分）（ 2015?上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7 位同学参加，现有包括小杰在内的50 位同学报名，因此学生会将从这50 位同学中随机抽取7 位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考概率公式．点：分由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7 位同学参加，现析：有包括小杰在内的 50 位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．解解：∵学生会将从这 50 位同学中随机抽取7 位，答：∴ 小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．评：14．（ 4 分）（ 2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是14 岁．考中位数．点：分一共有 53 个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列，第27 名成析：员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解解：从小到大排列此数据，第27 名成员的年龄是 14 岁，答：所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为 14．点本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定评：要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（ 4 分）（ 2015?上海）如图，已知在△ABC中， D、 E 分别是边 AB、边 AC的中点，= ，= ，那么向量用向量，表示为﹣．考 * 平面向量．点：分由 = ，= ，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ ABC中， D、E 分别是析：边 AB、边 AC的中点，可得 DE是△ ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解解：∵= ，= ，答：∴=﹣=﹣，∵在△ABC中， D、 E 分别是边AB、边 AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．点此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应评：用．16．（ 4 分）（ 2015?上海）已知 E是正方形 ABCD的对角线 AC上一点， AE=AD，过点 E 作 AC的垂线，交边CD于点 F，那么∠ FAD= 22.5 度．考正方形的性质；全等三角形的判定与性质．点：分根据正方形的性质可得∠ DAC=45°，再由AD=AE易证△ ADF≌ △ AEF，求出∠ FAD．析：解解：如图，答：在 Rt △AEF和 Rt△ ADF中，∴Rt △AEF≌ Rt △ADF，∴∠ DAF=∠ EAF，∵四边形 ABCD为正方形，∴ ∠ CAD=45°，∴ ∠ FAD=22.5°．故答案为： 22.5 ．点本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt △ AEF≌ Rt △ADF是评：解本题的关键．17．（ 4 分）（ 2015?上海）在矩形 ABCD中， AB=5， BC=12，点 A 在⊙ B 上，如果⊙ D 与⊙ B 相交，且点 B 在⊙ D内，那么⊙ D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）考圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．点：专开放型．题：分首先求得矩形的对角线的长，然后根据点 A 在⊙ B 上得到⊙B 的半径为 5，再根据⊙ D析：与⊙ B 相交，得到⊙ D 的半径 R 满足 8＜ R＜ 18，在此范围内找到一个值即可．解解：∵矩形 ABCD中， AB=5， BC=12，答：∴ AC=BD=13，∵点 A在⊙B 上，∴ ⊙B 的半径为 5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴ ⊙ D 的半径 R 满足 8＜ R＜18，∵点 B在⊙D内，∴ R＞ 13，∴ 13＜R＜ 18，∴ 14 符合要求，故答案为： 14（答案不唯一）．点本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙ B的评：半径，然后确定⊙ D的半径的取值范围，难度不大．18．（ 4 分）（ 2015?上海）已知在△ ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ ABC绕点A旋转，使点 B 落在原△ ABC的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，延长线段 AD，交原△ ABC的边 BC的延长线于点E，那么线段 DE 的长等于 4 ﹣4 ．考解直角三角形；等腰三角形的性质．点：专计算题．题：分作 CH⊥AE 于 H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ ACB=（180°析：﹣∠ BAC） =75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠ BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠ E=45°，接着在 Rt △ACH中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 CH= AC=4， AH= CH=4 ，所以 DH=AD﹣AH=8﹣ 4 ，然后在 Rt △CEH中利用∠ E=45°得到 EH=CH=4，于是可得 DE=EH﹣ DH=4 ﹣ 4．解解：作 CH⊥ AE 于 H，如图，答：∵ AB=AC=8，∴ ∠ B=∠ ACB= （ 180°﹣∠BAC） = （ 180°﹣30°） =75°，∵ △ ABC绕点 A 旋转，使点 B 落在原△ ABC的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，∴AD=AB=8，∠ CAD=∠ BAC=30°，∵ ∠ ACB=∠ CAD+∠ E，∴ ∠ E=75°﹣ 30°=45°，在 Rt △ACH中，∵ ∠ CAH=30°，∴ CH= AC=4， AH= CH=4，∴ DH=AD﹣ AH=8﹣4，在 Rt △CEH中，∵ ∠ E=45°，∴EH=CH=4，∴ DE=EH﹣ DH=4﹣（ 8﹣ 4）=4﹣4．故答案为4﹣4．点本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解评：直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题1119．（ 10 分）（ 2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考分式的化简求值．点：分先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．析：解解：原式 = ?﹣答：=﹣=，当 x=﹣1时，原式==﹣1．点本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．评：20．（ 10 分）（ 2015?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．点：分先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即析：可．解答：解：∵解不等式①得： x＞﹣ 3，解不等式②得： x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜ x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．点本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的评：关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（ 10 分）（ 2015?上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y= x 的图象经过点A，点 A 的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点 B 在这个反比例函数的图象上，过点 B 作 BC∥ x 轴，交 y 轴于点 C，且 AC=AB．求：（ 1）这个反比例函数的解析式；（ 2）直线 AB的表达式．考反比例函数与一次函数的交点问题．点：分（ 1）根据正比例函数y= x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为4，求出点 A 的坐标，析：根据反比例函数 y= 的图象经过点A，求出 m的值；（ 2）根据点 A 的坐标和等腰三角形的性质求出点 B 的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式．解解：∵正比例函数y= x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，答：∴点 A 的坐标为（ 3， 4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为： y= ；（ 2）如图，连接AC、 AB，作 AD⊥ BC于 D，∵AC=AB， AD⊥ BC，∴BC=2CD=6，∴点 B 的坐标为：（ 6， 2），设直线 AB 的表达式为： y=kx+b ，由题意得，，解得，，∴直线 AB 的表达式为： y=﹣x+6．点本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比评：例函数的解得的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（ 10 分）（ 2015?上海）如图， MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A 到 MN的距离为15 米， BA 的延长线与MN相交于点D，且∠ BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39 米以内会受到噪音（XRS）的影响．（ 1）过点 A 作 MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到 N 的方向在MN上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（ 2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离 QC为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到 1 米）（参考数据：≈1.7 ）考解直角三角形的应用；勾股定理的应用．点：分（ 1）连接 PA．在直角△ PAH中利用勾股定理来求PH的长度；析：（ 2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解 Rt△ ADH、Rt △ CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．解解：（ 1）如图，连接PA．由题意知， AP=39m．在直角△APH中，答：PH= = =36（米）；（ 2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在 Rt △ADH中， DH=AH?cot30 °=15 （米）．在 Rt △CDQ中，DQ= = =78（米）．则 PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣ 15 ≈114﹣ 15×1.7=88.5 ≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 米．点本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐评：角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（ 12 分）（ 2015?上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点 E 在边 BC的延长线上，且 OE=OB，连接 DE．（ 1）求证： DE⊥ BE；（ 2）如果 OE⊥ CD，求证： BD?CE=CD?DE．考相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．点：专证明题．题：分（ 1）由平行四边形的性质得到 BO= BD，由等量代换推出 OE= BD，根据平行四边析：解答：形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠ CEO=∠ CDE，推出△ BDE∽△ CDE，即可得到结论．证明：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BO= BD，∵OE=OB，∴ OE= BD，∴ ∠ BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥ CD∴ ∠ CEO+∠ DCE=∠ CDE+∠ DCE=90°，∴ ∠ CEO=∠ CDE，∵OB=OE，∴ ∠ DBE=∠ CDE，∵ ∠ BED=∠ BED，∴ △ BDE∽ △ CDE，∴，∴BD?CE=CD?DE．点本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性评：质，熟记定理是解题的关键．24．（12 分）（2015?上海）已知在平面直角坐标系相交于点 A，与 y 轴相交于点 B， AB=2 ，点BP 与 x 轴相交于点 D，设点 P 的横坐标为 m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含 m的代数式表示线段 CO的长；xOy 中（如图），抛物线 y=ax 2﹣ 4 与 x 轴的负半轴（ XRS） P 在抛物线上，线段 AP与 y 轴的正半轴交于点 C，线段（ 3）当 tan ∠ ODC= 时，求∠ PAD的正弦值．考二次函数综合题．点：分（ 1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点 A的坐标，析：再把点 A 的坐标代入 y=ax2﹣ 4，求出 a 的值，从而求出解析式；（ 2）根据点 P 的横坐标得出点P 的坐标，过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，得出 OE=m，2= ，求出 OC；PE=m﹣ 4，从而求出 AE=2+m，再根据（ 3）根据 tan ∠ ODC= ，得出= ，求出 OD和 OC，再根据△ ODB∽△ EDP，得出= ，求出 OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠ PAD的正弦值．解解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2﹣ 4 与 y 轴相交于点 B，答：∴点 B 的坐标是（ 0，﹣ 4），∴OB=4，∵ AB=2，∴ OA==2，∴点 A 的坐标为（﹣2， 0），把（﹣ 2， 0）代入 y=ax 2﹣ 4 得： 0=4a﹣ 4，解得： a=1，2则抛物线的解析式是：y=x ﹣ 4；（ 2）∵点 P 的横坐标为m，2∴点 P 的坐标为（ m， m﹣ 4），过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，2∴OE=m， PE=m﹣ 4，∴AE=2+m，∵= ，∴=，∴CO=2m﹣ 4；（ 3）∵tan ∠ ODC= ，∴= ，∴ OD= OC= ×（ 2m﹣ 4） =，∵ △ ODB∽ △ EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣ 1（舍去）， m2=3，∴OC=2×3﹣ 4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠ PAD=45°，∴sin ∠PAD=sin45 °= ．点此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、评：特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．25．（ 14 分）（ 2015?上海）已知，如图， AB是半圆 O的直径，弦 CD∥ AB，动点 P，Q分别在线段 OC， CD 上，且 DQ=OP，AP的延长线与射线 OQ相交于点 E，与弦 CD相交于点 F（点 F 与点 C，D不重合），AB=20，cos ∠ AOC= ，设 OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证： AP=OQ；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；（ 3）当△ OPE是直角三角形时，求线段OP的长．考圆的综合题．点：分（ 1）连接 OD，证得△ AOP≌ △ ODQ后即可证得AP=OQ；析：（ 2）作 PH⊥ OA，根据 cos ∠ AOC= 得到 OH= PO= x，从而得到S△AOP= AO?PH=3x，利用△PFC∽ △ PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；（ 3）分当∠ POE=90°时、当∠ OPE=90°时、当∠ OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．解解：（1）连接OD，答：在△ AOP和△ ODQ中，，∴ △ AOP≌ △ ODQ，∴AP=OQ；（2）作 PH⊥ OA，∵ cos ∠AOC= ，∴OH= PO= x，∴S△AOP= AO?PH=3x，又∵ △PFC∽ △ PAO，∴= =（）2 ，整理得： y=（＜x＜10）；（ 3）当∠ POE=90°时， CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠ OPE=90°时， PO=AO?cos ∠ COA=8；当∠ OEP=90°时，∠ AOQ=∠ DQO=∠ APO，∴ ∠ AOC=∠ AEO，即∠ OEP=∠ COA，此种情况不存在，∴线段 OP的长为 8．点本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较评：大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．。

2015年复旦附中自招数学试卷（3.20）填空A1、若22x ab y a b ==+， ，则=______________2、12x x -=12x x 、的方差______________3、从1,4,7……295,298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有__________个4、解方程：12x x +=-+5、2815231x x x x -+--=的解有_________个。

6、37531(12)8mx mx mx x m x -<-⎧⎨+-<-+⎩ 有正数解，求m 的取值范围__________7、2104y x x m =-+与x 轴两个交点在x 的正半轴，求m 的取值范围。

8、495235x y x z z +++==--时，求x y 的值9、矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形折叠，点B 落在边AD 上的点M 处，C 落在N 处，求EC FB AM -1、 扫雷游戏2、已知不等式：21y x px ≤-++求能使x y +最大值为2的负实数p 的取值范围。

3、如图所示，直线l 经过点P ，且垂直于AB ，当长方形AOBP 的周长为20时，请求出无论图形如何变化，l 始终经过的定点坐标___________。

4、在反比例函数k y x=上存在点C ，以点C 为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O 点距离为2，则k 的取值范围______________5、已知直线MA NB 、均与线段MN 为直径的半圆相切，直线AB 与半圆相切于点F ，P 在线段MN 上且PF MN ⊥，当直线AB 变化时，求+PA PB AB的最大值6、在1,2,3……,39,40数列中能找出__________对数字使它们的差的绝对值为质数。

1、已知在BAC ∠的内部存在一点M ，在不画出A 点的情况下过M 点作一条直线，使它经过A 点。

2、设12x x 、为220x px p --=的两根，p 为实数 ①求证：212230px x p ++≥ ②当1223x x p -≤-时，求p 的最大值3、实数12n a a a 、满足： ①12=0n a a a +++ ②121n a a a +++= 求证：k 个数123k n =（，，，），1212k a a a +++≤4、锐角ABC ∆中，AD BE CF ，，分别为BC AC AB ，，边上的高，设BC a =，AC b =，AB c =，BD x =，EC y =，AF z =① 用a b c 、、表示x② 当a b c 、、满足什么关系时，有2()x y z a b c++=++B。

2015复旦附中自主招生数学试题A1．实数x 、y 、z 满足，则x+y-z=_____．xz z x x y y x 22416222+=++-+++-2．若的分子、分母同时加上正整数n 时，该分数称为整数，这样的正整数n 共有__31001个．3．已知a 2=7-3a ，b 2=7-3b ，且a≠b ，则______．=+22ba ab 4．设P 是奇质数，则方程2xy=p(x+y)满足x<y 的正整数解是_________．5．方程的解为____________．2121111⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x 6．如图，正方形ABCD 的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A 点和B点同时出发按逆时针方向移动，甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/经过_____秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．7．已知△ABC 是等边三角形，动点Ｐ、Ｑ、Ｒ分别同时从顶点Ａ、Ｂ、Ｃ出发，沿AB 、BC 、CA 按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P 、Q 、R 经过△ABC 的一边所用时间分别为1秒、2秒、3秒．从运动开始起，在1秒内，经过_____秒△PQR 的面积取到最小值．8．二次函数f (x)的图像开口向上，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交与点C ，以D 为顶点，若三角形ABC 的外接圆与y 轴相切，且∠DAC=150°，则x≠0时，的最小值是xx f )(_____．二、解答题9．已知a 是正常数，且关于x 的方程仅有一个实数根，求实数a 的取2311212+-=-+-x x ax x x 值范围．10．如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A(8，14)．⎪⎭⎫ ⎝⎛-89,25(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点(点C 在点D 的左边)，求点B 、C 、D 的坐标．(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．比较PA+PB 与AC+BC 的大小关系，说明理由．2015复旦附中自主招生数学试题B1．若x=ab ，y=a 2+b 2，则=______．()()22y x y x -++2．上一点C ，以C 为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O 点距离为2，则k 的取xk y =值范围为__________．3．设x 1、x 2为x 2-2px-p=0的两实根，p 为实数．①求证：2px 1+x 22+3p≥0；②当|x 1-x 2|≤|2p-3|时，求p 的最大值．4．实数a 1，a 2，…，a n 满足：①a 1+a 2+…+a n =0；②|a 1|+|a 2|+…+|a n |=1．求证：k 个数(k=1，2，…，n)，|a 1+a 2+…+a k |≤．21。