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图形变换相似三角形综合应用

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相似三角形综合应用内容基本要求略高要求相似三角形 了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题模型一 角分线模型1、内角平分线AD 是ABC ∆的角平分线，则AB BDAC CD =【证明】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E .∵CE AD ∥，∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠，∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BD AECD=，∴AB BDACCD =2、外角平分线BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，则AB BDAC CD=自检自查必考点2014年中考怎么考 321EDCB A DCBADC BA【证明】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E .∵CE AD ∥，∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BD AECD=，∴AB BD ACCD=模型二 梯形模型若AD BC a b =∶∶，则22ADE ABE BEC DEC S S S S a ab b ab =∶∶∶∶∶∶△△△△EDC BA考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △，其中相似的为（ ）GABCDEFA ．①④B ．①②C ．②③④D ．①②③【答案】D【解析】②2AE EF EB =⋅，∴2DE EF EB =⋅，故FED DEB △∽△中考满分必做题F 4321E DCBA【例2】 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）FE DCB AA ．2212BF AF = B ．2213BF AF = C ．2212BF AF > D ．2213BF AF <【答案】A【例3】 如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH=⋅.HG DF E C BA【解析】可通过射影定理转化成证明AF BF FG FH ⋅=⋅，证明BFG ∆∽HFA ∆即可.【例4】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ． 求证：AC FABC FD=． 321FD E C BA【答案】∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =，∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFDCD=，又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，，∴ABC ACD ∆∆∽，∴AD AC CDBC=，∴AC FA BCFD=．【巩固】在Rt ABC △中，过直角顶点B 作斜边AC 的垂线BD ，取BC 的中点E ，连接ED 并延长交BA 的延长于点F ，求证：FD ABFB BC= F EDCBA【解析】FAD FDB △∽△，FD AD ABFB BD BC==【例5】 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ， 求证：2FD FB FC =⋅．E FD C B A4321AEB DC F【答案】连接AF ∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∴4DAF ∠=∠，即423∠=∠+∠，又∵41B ∠=∠+∠，∴231B ∠+∠=∠+∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠，又∵CFA AFB ∠=∠，∴CFA AFB ∆∆∽，∴2FA FC FB =⋅．又∵AF DF =，∴2FD FB FC =⋅【巩固】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．EFD C B A【答案】连接AF ，∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∵2DF FC FB =⋅，∴2AF FC FB=⋅∴AF FB FCAF=，又∵AFC BFA ∠=∠∴AFC BFA ∆∆∽，∴3B ∠=∠，∵423∠=∠+∠，41B ∠=∠+∠，∴231B ∠+∠=∠+∠，∴12∠=∠，即AD 平分BAC ∠．【例6】 已知，如图，ABC ∆为等边三角形，120DAE ∠=︒且DAE ∠的两边交直线BC 于D E ，两点，求证：2BC BD CE =⋅．EC B A321EC B A 【解析】∵12060DAE BAC ∠=︒∠=︒，，∴1260∠+∠=︒．又∵360∠=︒，∴160E ∠+∠=︒，∴2E ∠=∠，∵360ABC ∠=∠=︒，∴120ABD ACE ∠=∠=︒∴ABD ECA ∆∆∽，∴AB CE BDAC=，即AB AC BD CE ⋅=⋅，∵AB AC BC ==，∴2AB BD CE =⋅．考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD BC ∥，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕C 点旋转90︒使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连EF 交CD 于M ．已知53BC CF ==，，则:DM MC 的值为（ ） A ．5:3 B ．3:5 C ．4:3 D ． 3:4MFEDCB A【答案】C ．【例8】 如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =.ABCDEFGGFEDCBA【答案】连接BD BF ，。

∵,AB BC BG BE ABG CBE ⊥⊥⇒∠=∠，,AB BC BG BE ==∴ABG CBE ∆∆≌∴AG CE =∵,EF BE EF BE ⊥=∴45,EBF BF ∠=︒=∵,BC CD BC CD ⊥=∴45,CBD BD ∠=︒=∴,BD BFFBD CBE BC BE∠=∠==FBD EBC ∆∆∽∴DF BDEC BF ==::AG DF CE =【例9】 （1）如图1，等边ABC △中，D 为AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC △，连接AE ，求证：AE BC ∥．（2）如图2，将（1）中的等边ABC △改为以BC 为底边的等腰三角形，所作的EDC △改成相似于ABC △，请问：是否有AE BC ∥？证明你的结论．EDCBA D EBCA【答案】（1）由ACE BCD △∽△，得EAC ACB ∠=∠，故AE BC ∥．（2）由ACE BCD △∽△，得EAC B ACB ∠=∠=∠，故AE BC ∥．考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123S S S ，，分别为112，，，则ABC △的面积是．P S 3S 2S 1I HGFE D CBA【解析】设ABC △的面积为S ，1PD PE HG BH HG GCBC BC BC BC+++=++==，故(22116S ==++=+．【答案】6+【例11】 如图所示，ABCDEF 是一个凸六边形，P 、Q 、R 分别是直线BA 与EF 、FE与CD 、DC 与AB 的交点，S 、T 、U 分别是BC 与ED 、DE 与AF 、FA 与CB 的交点，如果AB PR CD =∶∶RQ EF QP =∶，求证：BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．TSURQPFEDCBA【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB 、CD 、EF 构成一个与PQR ∆相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB 、CD 、EF 集中到一起构成一个与PQR ∆相似的三角形． 如图所示，将CD 平移至OE 位置，则OE CD ∥，且OE CD =，TSURQPOFEDCBA所以FEO Q ∠=∠，且EO QR CD QR EF QP ==∶∶∶，因此FEO PQR ∆∆∽，从而OFE P ∠=∠，且FO PR EF QP AB PR ==∶∶∶． 这说明FO AB ∥，且FO AB =，进而FA OB ∥，且FA OB =． 又因为CO DE ∥，于是COB STU ∆∆∽，所以BC US CO ST OB TU ==∶∶∶， 注意到CO DE =，OB FA =，故BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．【例12】 已知：ABC ∆的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F．（1）如图l ，若ABC ∆为锐角三角形，且45ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG DC AD 、、之间满足的数量关系是； （3）在（2）的条件下，若AG =，3DC =，将一个45︒角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M N ，两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P Q ，两点，若32NG =，求线段PQ 的长．图1GF E D CBA图2GFEDCBA图3NQ PABCD E FG M【答案】（1）证明：∵9045ADB ABC ∠=︒∠=︒，∴45BAD ABC ∠=∠=︒，∴AD BD = ∵90BEC ∠=︒，∴90CBE C ∠+∠=︒∵90DAC C ∠+∠=︒，∴CBE DAC ∠=∠ ∵90FDB CDA ∠=∠=︒，∴FDB CDA ∆≅∆∴DF DC =∵GF BD ∥∴45AGF ABC ∠=∠=︒，∴AGF BAD ∠=∠∴FA FG =，∴FG DC FA DF AD +=+= （2）FG DC AD -= （3）如图，∵135ABC ∠=︒，∴45ABD ∠=︒∵90ADB ∠=︒，∴45DAB DBA ∠=∠=︒，∴AD BD =∵FG BC ∥，∴G DBA DAB ∠=∠=∠，∴AF FG =∵222AG FG AF AG =+=∴5FG AF ==∵3CD =，由（2）知FG DC AD -=，∴2AD BD ==∴13BC DF ==，， ∴FDC ∆为等腰直角三角形∴GC ==分别过B ，N 作BH FG ⊥于点H NK BG ⊥于点K ∴四边形DFHB 为矩形∴23HF BD BH DF ====，∴3BH HG ==，∴BG =∵sin NK G NG∠=∴NK =∴BK∵45MBN HBG ∠=∠=︒∴MBH NBK ∠=∠∵90MHB NKB ∠=∠=︒ ∴MBH NBK ∆∆∽∴MH BH NKBK=∴1MH =∴1FM =∵BC FG ∥∴BCF CFN ∠=∠∵BPC MPF CB FM ∠=∠=， ∴BPC MPF ∆∆≌∴12PC PF FC ===K HM GFEDCBAPQ N∵BQC NQF ∠=∠∴BCQ NFQ ∆∆∽∴BC CQ NFFQ=，∴27CQ FQ=∴22993CQ FC ==⨯=∴6PQ CP CQ =-=考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，ABC ∆中，39085AC C BC AB ∠=︒==，，，点P 从B 出发，沿BC 方向以2/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向也以1/s 的速度移动，若P Q ，分别从B C ，出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？QPCBA【答案】∵39085AC C BC AB∠=︒==，，，设35AC k AB k ==，，∴222AC BC AB +=，即222(3)8(5)k k +=，解得2k =（负值已舍去） ∴6AC =设经过s t 后CPQ ∆与CBA ∆相似．此时282BP t PC t CQ t ==-=，， 本题需分两种情况： （1）当CAB CQP ∆∆∽时， CQ CPCACB=，即8268t t -=，解得 2.4t = （2）当CAB CPQ ∆∆∽时， CQ CPCBCA=，即8286t t -=，解得3211t =． 综上，当 2.4t =秒或3211秒时，CPQ ∆与CBA ∆相似【例14】 如图，在矩形ABCD 中，126AB BC ==，，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/秒的速度移动，点Q 沿DA 边以1/秒的速度从点D 开始移动，如果P Q ，同时出发，用t （秒）表示移动的时间(06)t ≤≤．（1）当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． （3）当t 为何值时，以点Q A P ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似．QPD CBA【答案】（1）当QAP ∆为等腰直角三角形时，AP AQ =，∴26t t =-，2t =（2）11(6)12263622QAC APC QAPC S S S t t ∆∆=+=-⨯+⨯⨯=四边形，即四边形QAPC 的面积为定值．（3）分2种情况①当APQ BAC ∆∆∽时，2AP BA AQ BC ==，即226tt=-，解得3t =．② 当AQP BAC ∆∆∽时，2AQ BA AP BC ==，即622t t -=，解得65t =．综上当3t =或65时，以点Q A P ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似．【例1】 如图，已知在等腰△中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作⊥交于点D ．若过A ，D ，C 三点的圆O 的半径为3，则线段上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△相似，若存在，则的长为．（09年浙江丽江中考试题）【解析】∵∠＝∠－∠＝120°－90°＝30°∴∠＝∠B ，∴＝．又∵在△中，＝·30°＝3，∴＝3．①过点D 作1∥，交于点P 1，则△P 1∽△，∴OC DP1＝OB DB．∵＝＋＝32∴1＝OB DB·＝323×3＝23②过点D 作2⊥，交于点P 2，则△2∽△，∴OC DP2＝BC BD．∵＝22OC BO －＝22332)(－)(＝3∴2＝BC BD ·＝33×3＝1中考满分必做题ACDAC DO P 1P 2【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段上的一个动点（不与O ，A 重合），过点P 作⊥x 轴于Q ，以为边向右作正方形．连接并延长交x 轴于点B ，连接．设＝t ，△与△相似时，则△的面积为．（09年甘肃中考试题）【答案】91或259【解析】当0＜ t ≤1时，如图1．若△∽△，则NM BM ＝OM NM．即tt t t －－2222＝t t2，∴t ＝32．∴＝32，＝t 21＝31．∴S △ ＝21·＝21×31×32＝91．当1＜ t ＜2时，如图2．若△∽△，则NM BM＝OM NM．即tt tt －－2222＝t t 2，∴t ＝56．∴＝56，＝t 21＝53． ∴S △ ＝21·＝21×53×56＝259．【例3】 如图，∠＝90°，是∠的平分线，点P 在上，＝．将三角板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转，三角板的一条直角边与射线交于点E ，另一条直角边与直线、直线分别交于点F 、点G ．图2（1）当点F 在射线上时 ①求证：＝．②设＝x ，＝y ，求y 与x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接，当△与△相似时，求的长．（12年中考模拟试题）【解析】（1）①证明：过点P 作⊥，⊥，垂足分别为M 、N∵是∠的平分线，∴＝由∠＝∠＝∠＝90°，得∠＝90°∴∠1＋∠＝90°∵∠2＋∠＝90°，∴∠1＝∠2 ∴△≌△，∴＝ ②解：∵＝，∴＝＝1 ∵＝x ，△≌△，∴＝＝1－x ∴＝2－x∵∥，∴, ) ＝ , ) ，即 x , 1 ) ＝ , ＋1 ) ∴＝ x , 1－x )∴y ＝ x , 1－x ) ＋2－x （0≤ x ＜1） （2）当△与△相似时，点F 的位置有两种情况：①当点F 在射线上时 ∵∠＝∠＝90°，∠1≠∠ ∴∠G ＝∠1，∴＝，∴＝＝ACB F P D G E 备用图A C BFP G E 1DACBF PDE M N 21G在△中，＝2＝2 ②当点F 在延长线上时∵∠＝∠＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 ∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴＝＝，∴＝＋1 易证△≌△，∴＝＝＋1 ∵∥，∴, ) ＝ , ) ，即 , 1 ) ＝ 1－ , )∴＝－1∴＝－1＋ ＋1＝2【例4】 如图，在△中，∠＝90°，是斜边上的中线，＝10，＝ 3 ) ．点P 是延长线上的一动点，过点P 作⊥，交延长线于点Q ．设＝x ，＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）连接，当平分∠时，求的长；（3）过点B 作⊥交于F ，当△和△相似时，求x 的值．（2012年上海模拟试题）A CBM P FG NE 15 234DAPEAE AE【解析】（1）在△中，∠＝90°，＝10，＝ , ) ＝ 3 )∴＝6，＝8∵是斜边上的中线，∴＝＝ 2 ) ＝5 ∴∠＝∠又∠＝∠＝90°，∴△∽△∴ , ) ＝ , ) ＝ 5 ) ，即 8＋y , 5＋x ) ＝ 5 ) ∴y ＝ 5 ) x －4（x ＞5） （2）过点B 作⊥于H ∵平分∠，⊥，∴＝＝y ∵＝ 5 ) ＝ 5 ) ，∴5 ) x －4＝ 5 ) ∴x ＝11（3）∵∠＝∠＝90°，∠＝∠A ∴△∽△当△和△相似时，则△和△也相似 有两种情况： ①当∠＝∠A 时在△中，∠＝90°，＝5，＝ 3 ) y ∴3 )（ 5 ) x －4）＝ 3 )×5，解得x ＝10 ②当∠＝∠时在△中，∠＝90°，＝5，＝ 3 ) y ∴3 )（ 5 ) x －4）＝ 4 )×5，解得x ＝ 16 )∴当△和△相似时，求x 的值为10或 16 )【例5】 如图1，在△中，⊥，点B 在边上，＝6，＝12，∠＋∠C ＝90°，动点M 和N 分别在线段和边上．（1）求证：△∽△，并求的值；A BPCQEH ABPCQE FAB P CQE F（2）当＝4时，△与△相似，求△与△的面积之比；（3）如图2，当∥时，以所在直线为对称轴将△作轴对称变换得△．设＝x ，△与四边形重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2012年上海模拟试题）【解析】（1）∵⊥，∴∠＋∠＝90°∵∠＋∠C ＝90°，∴∠＝∠C ∵∠＝∠，∴△∽△ ∴ : ＝ :∵＝6，＝12，∴6 : ＝ : 18 ∴＝6∴＝2＋ 2)＝18 2＋(6) 2)＝12 ∴＝ , ) ＝ 18 , 12 )＝ , 2 ) （2）∵＝ , 2 )，∴∠C ＝30° ∵∠＝ , ) ＝ 6 , 6 )＝，∴∠＝60° ∴∠＝30°，∴＝＝12①当∠＝∠时（如图1），△∽△∵＝4，∴S △ : S △ ＝ 2: 2＝4 2:12 2＝1 : 9 ②当∠＝∠C 时（如图2），△∽△ ∵＝4，∴S △ : S △ ＝ 2 : 2＝4 2 :（12）2＝1 : 27（3）易得S △ ＝ 2 ) ·＝ 2 )×12×6＝36 ∵∥，∴△∽△A ON C图1M AO N C BM 图1 A ON E CBM 图2A ON BC图2M∴S △ : S △ ＝ 2 : 2，∴S △ : 36＝x 2 : 12 2 ∴S △ ＝ , 4 ) x 2①当与线段相交时，设与交于点F （如图3） ∵∥，∴∠＝∠C ＝30° ∴∠＝∠，∴＝＝x∵以所在直线为对称轴将△作轴对称变换得△∴∠＝∠＝30°，∴∠＝90° ∴＝ 2 ) ＝ 2 ) ＝ 2 ) x ∴S △ : S △ ＝ :∴y : , 4 ) x 2＝ 2 ) x : x ＝1 : 2 ∴y ＝ , 8 ) x 2（0＜x ≤8） ②当与线段不相交时，设与交于点G （如图4）∵∥，∴ : ＝ :∴ : 12＝（12－x ）: 12，∴＝12－ x ∵△∽△，∴S △ : S △ ＝ 2: 2∴S △ : 36＝（12－ x ）2 : 12 2 ∴S △ ＝ , 4 ) （12－ x ）2∴S 阴影＝S △ － S △ － S △ ＝36－ , 4 ) x 2－ , 4 ) （12－ x ）2 即y ＝－ x 2＋18x －72（8＜x ＜12）【例6】 如图，△中，∠＝90°，＝＝4，点O 为边的中点，点M 是边上一动点（不与点B 、C 重合），⊥，垂足为点A ．连接，将△沿直线翻折，点B 落在点B 1处，直线1与、分别交于点F 、N ．（1）当∠＝120° 时，求的长；（2）设＝x ，y ＝ 的周长, △ 的周长 ) ，求y 关于x 的函数关系式。

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平面几何中的相似三角形的综合应用

平面几何中的相似三角形的综合应用

平面几何中的相似三角形的综合应用在平面几何中，相似三角形是一个重要的概念，它具有广泛的应用。

相似三角形指的是两个三角形具有相同的形状，但是大小不同。

在本文中，我们将探讨相似三角形的综合应用。

1. 比例求解相似三角形的一个重要性质是对应边的比例相等。

利用这个性质，我们可以解决一些有关长度或者面积比例的问题。

例如，假设有一个三角形ABC和一个相似三角形DEF，已知AB=6cm，DE=3cm，且AC/DF=2/1。

我们可以通过比例关系解得AC=12cm。

这种应用在建筑设计、地理测量等领域中十分常见。

2. 高度计算在一些实际问题中，我们可能需要计算无法直接测量的高度。

这时，相似三角形可以提供一个可行的解决方案。

例如，在日常生活中，我们可以利用相似三角形来计算高楼大厦的高度。

首先，我们需要在水平位置测量一个固定的距离，然后利用相似三角形的原理，通过测量影子的长度与高楼大厦的影子长度的比值，来计算出高楼大厦的实际高度。

3. 角度求解除了长度和面积的应用，相似三角形还可以用于角度的求解。

当知道两个三角形是相似的，并且已知一个角度的度数，我们可以通过相似三角形的对应角度相等的性质，来求解其他角度的度数。

例如，假设有一个三角形ABC和一个相似三角形DEF，已知∠B=30°，我们可以利用相似三角形的性质求解∠E的度数。

4. 图像设计相似三角形的性质可以在图像设计中得到广泛应用。

通过改变图形的相似比例，我们可以调整图像的大小而保持其形状不变。

例如，在平面设计中，通过相似三角形的原理，我们可以将一个标识图标等比例地放大或缩小，以适应不同的使用情境。

5. 航空导航在航空导航领域，相似三角形也有重要的应用。

通过相似三角形的原理，我们可以利用飞机的位置、速度以及飞行时间，计算出飞机到目的地的距离。

这对于飞行中的导航和航线规划十分关键。

综上所述，相似三角形在平面几何中具有广泛的应用。

它不仅可以用于长度、面积、高度、角度的求解，还可以在图像设计和航空导航等领域发挥重要作用。

平面几何中的相似三角形的综合应用的综合应用

平面几何中的相似三角形的综合应用的综合应用

平面几何中的相似三角形的综合应用的综合应用在平面几何中，相似三角形是一种常见的几何形状，它们有着相似的内部角度以及对应边长的比例关系。

相似三角形具有广泛的综合应用，涉及到各个领域的问题解决和计算。

本文将介绍相似三角形的基本性质和应用，并通过实际问题探索其综合应用。

一、相似三角形的基本性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。

两个相似三角形的对应角度相等，而对应边长之间的比例保持一致。

在两个相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到以下关系：1. 角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F2. 边长比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF二、相似三角形的应用场景相似三角形的性质使得它们在实际问题的求解中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度问题在无法通过直接测量的情况下，可以利用相似三角形的性质求解对象的高度。

通过测量已知物体的高度和距离，以及观察者与物体的垂直角度，可以利用相似三角形的比例关系计算出未知物体的高度。

2. 倾斜角度计算当无法直接测量物体的倾斜角度时，可以利用相似三角形的性质进行计算。

通过在已知角度下测量物体的高度和距离，以及物体上两点的水平距离，可以建立相似三角形，从而计算出物体的倾斜角度。

3. 长度比例计算相似三角形的比例关系还可以应用于求解长度比例问题。

例如，在地图上测量两地的实际距离，然后通过相似三角形的比例关系计算出地图上表示的距离。

4. 面积比例计算相似三角形的面积比例也是重要的应用之一。

通过相似三角形的边长比例，可以推导出面积比例。

这在建筑设计等领域中经常使用，用于估算或设计房屋、地块等物体的面积。

5. 圆的相似性在圆的几何学中，相似三角形也有重要的应用。

两个圆可以通过相似三角形的性质进行比较，从而判断其相似性或相等性。

这对于建模、制图和计算圆的属性非常关键。

三、相似三角形综合应用示例为了更好地理解相似三角形的综合应用，以下是一个实际问题的求解示例：问题：一根高塔竖直安放在地面上。

专题03 相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题03 相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】【题型2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】【题型3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】【题型4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】【题型5 利用相似三角形测量距离】【题型1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2B．16C．9D．7.5 2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E 到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF ＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【题型2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM为m．【题型3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD ⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【题型4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】13．（2023•费县二模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD 的高是m．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG ＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C 在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF ＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB ⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5 利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC ⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB ＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m 23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质电话线杆，且电线、电话线及河两边都是平行的．O 是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC 都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．25．（2022秋•济南期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．（2023•西吉县一模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．27．（2023•莲湖区模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度（EP），在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆AB，已知河岸高出水面0.6m，即DE＝0.6m．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树MP，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若AB，DE，MP均垂直于河面EP，则河宽EP 是多少米？。

相似三角形的应用例析

相似三角形的应用例析

相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。