§3.2 双曲线
3．2.1双曲线及其标准方程
1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()
A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1
C.x29－y216＝1(x≤－3) D.x29－y216＝1(x≥3)
答案D
解析由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()
A.22，0B.62，0C.52，0D．(3，0)
答案B
解析将双曲线方程化为标准方程为x2－y212＝1，
∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝62，
故右焦点坐标为62，0.
3．已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()
A.32B．5C．7D.12
答案D
解析根据题意可知，双曲线的标准方程为
y22－a－x23－a＝1.
由其焦距为4，得c＝2， 则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝12.
4．已知双曲线x24－y25＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()
A．3或7B．6或14
C．3D．7
答案A
解析连接ON，ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝12|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝12|PF2|＝7或3.
5．(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是()
A．2B．－1C.4D．－3
答案AB
解析设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
3.2.1双曲线及其标准方程
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程
课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质
所在位置 教材第118页 教材第121页
新教材
内容
分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 双曲线的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
（一）新知导入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：
平面内与两定点12,FF的距离的差的 等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,FF叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离12FF叫做双曲线的 ．
反思：设常数为2a ，为什么2a12FF？
2a12FF时，轨迹是 ；
2a12FF时，轨迹 ．
2.双曲线的标准方程：
22222221,(0,0,)xyabcabab（焦点在x轴）
其焦点坐标为1(,0)Fc，2(,0)Fc．
焦点在y轴，标准方程是 。
思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,ba
3. 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线221169xy的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 ．
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x轴上，4a，3b；
（2）焦点为(0,6),(0,6)，且经过点(2,5)．
例3：双曲线2255xky的一个焦点是(6,0)，那么实数k的值为（ ）．
A．25 B．25 C．1 D．1
练习：
1．动点P到点(1,0)M及点(3,0)N的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)FF，若2a，则b（ ）．
A. 5 B. 13 C. 5 D. 13
志学高远 求实立新
1
凡是可以献上我的全身的事，绝不仅仅献上一只手！ yOxMF1F2年级：_________ 班级：_________ 组号：_________ 姓名：_____________
§双曲线及其标准方程
学案编号： 主备课人：吴成宏 审核人：高二数学备课组
【目标与问题】
1. 掌握双曲线的定义及双曲线标准方程的建立过程及推导（重点）；
2. 会根据已知条件求双曲线的标准方程（重点+难点）；
3. 能用双曲线的标准方程解决简单的实际问题（难点）.
【新知与典例】
问题：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点的距离之差的等于常数(大于零且小于)的点的集合叫做双曲线.
两定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．
思考：设常数为 ，为什么？
时，轨迹是；
时，轨迹是；
02a时，轨迹是_.
试试：点，，若，则点的轨迹是．
新知2：双曲线的标准方程：
1.类比于椭圆的标准方程，请推导出焦点在x轴上的标准方程：
思考：若焦点在轴，标准方程又如何？ 12,FF12FF12,FF12FF2a2a12FF2a12FF2a12FF(1,0)A(1,0)B1ACBCCy双曲线的定义
图 形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
焦点位置的判断 志学高远 求实立新
2
凡是可以献上我的全身的事，绝不仅仅献上一只手！ 典型例题:
例1:已知双曲线的两焦点为，，双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
变式1：已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为．
例2 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式2：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
【小结与测评】
