高中北师大版数学选修2-1学案：2.5 夹角的计算 含答案
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晨鸟教育
Earlybird §5 夹角的计算
知识点一 直线间的夹角
[填一填]
(1)当两条直线l1和l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，π2]内的角叫作两直线的夹角．当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的平行线，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角．
(2)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当π2<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
[答一答]
为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？
提示：空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹晨鸟教育
Earlybird 角由它们的方向向量的夹角确定．空间两直线的夹角与它们的方向向量的夹角有时是相等的，有时是互补的，空间两直线的夹角是取[0，π2]内的角．
知识点二 平面间的夹角
[填一填]
(1)平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
(2)已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.
当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当π2<〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
[答一答]
如上图，若在直线l上选取不同于R的点P，过点P在平面π1上作直线a⊥l，在平面π2上作直线b⊥l，那么直线a和b的夹角与直线l1与l2的夹角是否相等？
提示：相等．∵a∥l1，b∥l2，∴a与b所成的角和l1与l2所成的角相等． 晨鸟教育
Earlybird 知识点三
直线与平面的夹角
[填一填]
(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是π2.
[答一答]
直线与平面的夹角θ和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角〈s，n〉是什么关系？
提示：当〈s，n〉＝0时，θ＝π2；
当0<〈s，n〉
当〈s，n〉＝π2时，θ＝0；
当π2<〈s，n〉
1．求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法两种，定义法是先用平移法将两条异面直线平移到同一平面上，再求共面的两直线的夹角，向量法就是在两异面直线上取方向向量，将两异面直线所成的角与两方向向量的夹角联系在一起，但应注意两方向向量夹角θ≤π2时，θ就是所求，若π2
Earlybird 成角的范围是(0，π2]．
2．二面角的求法总结如下：
(1)定义法：根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，证明符合定义，再利用解三角形的方法求得该角．
(2)向量法：
①如图，若AB，CD是二面角α-l-β的两个面α，β内与棱l垂直的两条异面直线，AB→与CD→的夹角〈AB→，CD→〉的大小就等于二面角的大小．
②如图，若m，n是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则m，n的夹角〈m，n〉与二面角相等或互补，即先求得两法向量的夹角，再根据法向量的方向，求得二面角的大小．
③面积射影公式法：可以利用面积射影公式cosθ＝S射线S求出二面角的余弦值，近而求出二面角的大小．
3．关于直线与平面间的夹角的几个注意点：
(1)由定义可知，如图，求平面α的斜线AB与平面α所成的角的大小，就是在直线AB上取异于斜足A的一点B作平面的垂线BO(O为垂足)，则∠BAO就是AB与α所成的角，然后通过解Rt△AOB得∠BAO的大小为所求．
(2)有时B在平面α内的投影O的位置不好确定，也可用向量法求，晨鸟教育
Earlybird 如图．可求平面α的法向量n，则n与AB→所夹的锐角θ1的余角θ就是AB与平面α所成的角．
即若直线AB与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n，AB→与n所夹的锐角为θ1，则θ＝|θ1－π2|.故sinθ＝|cosθ1|＝|n·AB→||n|·|AB→|.
(3)由以上可知空间直线与平面所成角的范围是[0，π2]，而平面的斜线与平面所成的角的范围是(0，π2)．
题型一 异面直线的夹角
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
【思路探究】 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得． 晨鸟教育
Earlybird 【解】 (1)证明：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD与底面ABCD的夹角．∴∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan30°＝2a·33＝233a，
AE＝AD·sin30°＝2a·12＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，
∴AF＝a2，EF＝32a.
∴P(0,0，233a)，E(0，12a，32a)．
BE→＝(－a，12a，32a)，
PD→＝(0,2a，－233a)，
∴BE→·PD→＝0＋a2－a2＝0.
∴BE→⊥PD→，∴BE⊥PD.
(2)AE→＝(0，12a，32a)，CD→＝(－a，a,0)．
设AE→与CD→的夹角为θ， 晨鸟教育
Earlybird 则cosθ＝AE→·CD→|AE→||CD→|＝12a22a·a＝24，
即AE与CD的夹角的余弦值为24.
规律方法 恰当地建立空间直角坐标系，准确地求出各相关点的坐标，采用向量的数量积运算是解决本题的关键．
如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以A1B→＝(2,0，－4)，C1D→＝(1，－1，－4)．
因为cos〈A1B→，C1D→〉＝A1B→·C1D→|A1B→||C1D→|
＝1820×18＝31010，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010. 晨鸟教育
Earlybird 题型二 平面间的夹角
【例2】 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．
【解】 过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，AC＝1，∴BC＝3.
∵PA＝1，
∴A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)．
故CB→＝(3，0,0)，CP→＝(0,1,1)，AP→＝(0,0,1)，AB→＝(3，－1,0)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，
则 CB→·n1＝0，CP→·n1＝0，∴ 3x＝0，y＋z＝0. 晨鸟教育
Earlybird 不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
设平面ABP的法向量为n2＝(x′，y′，z′)，
则 AP→·n2＝0，AB→·n2＝0，∴ z′＝0，3x′－y′＝0.
不妨令x′＝1，则n2＝(1，3，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝322＝64.
由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为64.
规律方法 用向量法求二面角的两种思路：
思路一：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，反复利用向量的加法法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两条直线方向向量的夹角，进而求出二面角．
思路二：利用法向量求二面角．
一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系，求出点的坐标；
(2)求出两平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角的余弦值；
(4)确定所求二面角的大小，方法如下：
①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定二面角的余弦值的正负；
②依据“同进同出互补，一进一出相等”，有下图中四种情形：
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③在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角的平面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角的平面角为钝角(特别地，若二面角为直二面角，则P点的射影落在棱上)．
在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值．
解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SBA的一个法向量是AD→＝12，0，0.设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n⊥DC→，n⊥DS→，即n·DC→＝0，n·DS→＝0.
又DC→＝12，1，0，DS→＝－12，0，1，
∴12x＋y＝0，且－12x＋z＝0.
∴y＝－12x，且z＝12x.
