不等式公式高中数学

高一数学不等式公式

学习需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。下面是店铺为大家整理的高一数学不等式公式，希望对大家有所帮助!

高一数学不等式公式

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：

(1) 对称性：a>bb

(2) 传递性：若a>b，b>c，则a>c;

(3) 可加性：a>ba+c>b+c;

(4) 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc;当c<0时，ac

不等式运算性质：

(1) 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d;

(2) 异向相减：，.

(3) 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

(4) 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则;

(5) 开方法则：若a>b>0，n∈N+，则;

(6) 倒数法则：若ab>0，a>b，则。

2、基本不等式

定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)

推论：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)

算术平均数;几何平均数;

推广：若，则

当且仅当a=b时取“=”号;

3、绝对值不等式

|x|0)的解集为：{x|-a

|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a}。

附：不等式证明知识概要

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

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基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

2 （2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

不等式专项

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd（若,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；

4．若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如

（1）对于实数cba,,中，给出下列命题：

①22,bcacba则若； ②babcac则若,22；

③22,0bababa则若； ④baba11,0则若；

⑤baabba则若,0； ⑥baba则若,0；

⑦bcbacabac则若,0； ⑧11,abab若，则0,0ab。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______

（答：137xy）；

（3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是______

（答：12,2）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；

6．利用函数的单调性；

7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小

（答：当1a时，11loglog22aatt（1t时取等号）；当01a时，11loglog22aatt（1t时取等号））；

高中数学不等式常用公式概念及拓展

一．不等式的性质：

1.abba（对称性）

2.cacbba，（传递性）

3.cbcaba（加法单调性）

dbcadcba，（同向不等式相加）

4.bcaccba0，（乘法单调性）

bcaccba0，

5.bdacdcba00，（同向相乘）

6.nnbaba0（乘方原理）nnbaba0（n∈N且n>1）（开方原理）

7.baabba110且（倒数法则）

二．重要不等式（拓展）

1.均值不等式：两个正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系:调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

22211222babaabbaabba（当且仅当a=b时等号成立）

2.均值不等式的推论：

（1）极值定理：)0,0(2baabba（当且仅当a=b时等号成立）

和定积最大，积定和最小，“一正二定三相等”；

（2）222222baababbaRba，（当且仅当a=b时等号成立）；

（3）222baababbaRba，（当且仅当a=b时等号成立）；

（4）333333000abccbaabccbacba，，（当且仅当a=b=c时等号成立）；

（5）222)()(2babaRba，（当且仅当a=b时等号成立）；

（6）acbcabcba222（当且仅当a=b=c时等号成立）； 3．柯西不等式（拓展）

（1）二维柯西不等式：Rdcbabdacdcba,,,,22222，当且仅当ad=bc时等号成立。

（2）柯西不等式的一般形式：

222112222122221bnnnbabababbbaaa