一元二次方程应用题专题训练
- 格式：doc
- 大小：83.00 KB
- 文档页数：3
一元二次方程应用题专题训练
一、面积问题
1. 题目
- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。
- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。展开方程得到x²+2x -
100 = 0。对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 +
400=404。则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。
2. 题目
- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。
- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =
4+(3√(6))/(2)分米。
二、增长率问题
1. 题目 - 某工厂去年的利润（总产值 - 总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
- 解析：设去年的总支出为x万元，因为去年利润为200万元，所以去年总产值为(x + 200)万元。今年总产值为(x + 200)(1 + 20%)万元，今年总支出为x(1 - 10%)万元。根据今年利润为780万元，可列方程(x + 200)(1 + 20%)-x(1 - 10%)=780。展开方程得1.2x+240 - 0.9x=780，整理得0.3x=780 - 240，0.3x = 540，解得x = 1800万元。则去年总产值为x+200 = 1800 + 200 = 2000万元。
2. 题目
- 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元。设平均每次降价的百分率为x，求x的值。
- 解析：第一次降价后的价格为125(1 - x)元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为125(1 - x)(1 - x)=125(1 - x)^2元。已知两次降价后价格为80元，所以可列方程125(1 - x)^2=80，(1 -
x)^2=(80)/(125)=(16)/(25)，1 - x=±(4)/(5)。当1 - x=(4)/(5)时，x=(1)/(5)=20%；当1 - x=-(4)/(5)时，x=(9)/(5)>1（不符合降价率的范围，舍去），所以x = 20%。
三、数字问题
1. 题目
- 两个连续奇数的积是323，求这两个奇数。
- 解析：设较小的奇数为x，那么较大的奇数为(x + 2)。根据题意可得方程x(x + 2)=323，展开得x^2+2x - 323 = 0。对于方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-323），判别式Δ=b^2-4ac=2^2-4×1×(-323)=4 + 1292 = 1296，x=(-2±√(1296))/(2)=(-2±36)/(2)。解得x_1=(-2 + 36)/(2)=17，x_2=(-2-36)/(2)=-19。当x = 17时，x + 2=19；当x=-19时，x + 2=-17。所以这两个奇数为17和19或者 - 19和 - 17。
2. 题目 - 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。
- 解析：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5 - x)，原两位数为10x+(5 - x)=9x + 5，新两位数为10(5 - x)+x = 50 - 9x。根据题意可得方程(9x + 5)(50 -
9x)=736，展开得450x-81x^2+250 - 45x = 736，整理得-81x^2+405x - 486 = 0，两边同时除以 - 9得9x^2-45x + 54 = 0，即x^2-5x+6 = 0，分解因式得(x - 2)(x - 3)=0，解得x
= 2或x = 3。当x = 2时，原两位数为23；当x = 3时，原两位数为32。
