线性系统理论

系统：

系统一词来源于英文system的音译，即若干部分相互联系、相互作用，形成的具有某些功能的整体。

中国著名学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

线性系统：

线性系统是一数学模型，是指用线性运算子组成的系统。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。线性系统需满足线性的特性，若线性系统还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟τ秒，那么得到的输出除了这τ秒延时以外是完全相同的），则称为线性时不变系统。

线性系统理论：

系统控制的理论与实践被认为是20世纪中对人类生产和社会生活活动产生重大影响的科学领域之一。

其中，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基本的与成熟发展的分支。

概述：

线性系统科学技术是一门应用性很强的学科，面对着各种各样错综错杂的系统，控制对象可能是确定性的，也可能是随机性的，控制方法可能是常规控制，也可能需要最优化控制。控制理论和社会生产及科学技术的发展密切相关，近代得到极为迅速的发展。线性系统理

论是现代控制理论中最基础、最成熟的分支，是控制科学重要课程之一。

线性系统理论内容丰富、思想深刻、方法多样、充满美感，不仅提供了对线性控制系统进行建模、分析、综合系统完整的理论，而且其中蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化，为系统控制理论的其它分支乃至其它学科提供了可借鉴的思路，它们是解决复杂问题的一条有效途径。

主要特点：

与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统；除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量；在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。

线性系统理论：

系统控制的理论与实践被认为是20世纪中对人类生产和社会生活活动产生重大影响的科学领域之一。

其中，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基本的与成熟发展的分支。

概述：

线性系统科学技术是一门应用性很强的学科，面对着各种各样错综错杂的系统，控制对象可能是确定性的，也可能是随机性的，控制方法可能是常规控制，也可能需要最优化控制。控制理论和社会生产及科学技术的发展密切相关，近代得到极为迅速的发展。线性系统理论是现代控制理论中最基础、最成熟的分支，是控制科学重要课程之一。

线性系统理论内容丰富、思想深刻、方法多样、充满美感，不仅提供了对线性控制系统进行建模、分析、综合系统完整的理论，而且其中蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化，为系统控制理论的其它分支乃至其它学科提供了可借鉴的思路，它们是解决复杂问题的一条有效途径。

主要特点：

与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统；除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量；在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。

线性系统理论

实际系统都是为完成预定任务而由一些物理部件组成的集合体，可以具有完全不同的属性。在系统分析和设计中，常常把实际系统抽象为一个一般意义下的系统模型。由于研究目的不同，一个实际系统可以有不同的系统模型，一旦获得系统模型，就要建立起系统模型的数学方程描述。控制理论的主要研究对象是动态系统，这类系统通常也称为动力学系统。在经典控制理论中，系统的数学方程描述建立在系统高阶微分方程或传递函数的基础之上，仅能描述系统输入输出之间的外部特性，不能揭示系统内部各物理量的运动规律。线性系统理论引入状态空间的概念，系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成，不仅描述了系统输入输出之间的外部关系，还揭示了系统内部的结构特征，是一种完全的描述。

线性系统理论主要研究线性系统状态空间描述的建立及模型转换、状态的运动规律，揭示系统中固有的结构特性，建立系统的结构、参数和性能之间的定性和定量关系，以及为满足工程指标要求而采取的各类控制器设计方法，以改善闭环系统的性能。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律的可能性和方法称为综合问题。

线性系统的分析问题还可以进一步分为“定量分析”和“定性分析”。定量分析关心的问题是系统对某一输入信号的实际响应和性能，从数学角度来看，就是求解作为系统数学模型的微分方程组或差分方程组；定性分析着重研究对系统性能和控制具有重要意义的基本结构特性，如稳定性、能控性和能观性等。线性系统的综合问题是线性系统分析的一个反命题，如果所得到的系统响应不能令人满意，就要对闭环系统加以改善或优化，这需要在闭环系统中引入控制器来完成，其目的就是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。

由于许多实际系统在一定条件下可用线性系统模型加以描述，所以线性系统理论在控制理论领域得到优先研究和发展，并成为最为基本、应用最广和比较成熟的一个分支。线性系统理论所研究的概念、原理、方法和结论为最优控制、最优估计、系统辨识、自适应控制、鲁棒控制和非线性控制等许多学科分支提供了预备知识。因此，线性系统理论是自动化及其相关专业本科生、控制科学与工程和电气工程等学科研究生的一门基础理论课程。

e(t) i R2

R1

C2 C1 v1v2L

+

- +

- +

- 《线性系统理论》试卷及答案

1、（20分）如图所示RLC网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为

x1(t)=v1(t),x2(t)=v2(t),x3(t)=i(t)

要求列写出系统的状态空间描述。

2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。

y(4)+4y(3)+3y(2)+7y(1)+3y=u(3)+ 2u(1)+ 3u

3、（15分）计算下列线性系统的传递函数。

210X13101Xy

4、（10分）分析下列系统的能控性。

0111XXuab•

5、（10分）分析下列系统的能观性。

1110aXXyXb•

6、（15分）判断下列系统的原点平衡状态xe是否大范围渐近稳定。

12221123xxxxxx

7、（15分）已知系统的状态方程为

221012000401XXu•

试确定一个状态反馈阵K，使闭环极点配置为λ1*=-2、λ2*=-3、λ3*=-4。

答案：

1、（20分）如图所示RLC网络，若e(t)为系统输入变量r(t)，电阻R2两端的电压为输出量y(t)，选定状态变量为

x1(t)=v1(t),x2(t)=v2(t),x3(t)=i(t)

要求列写出系统的状态空间描述。

列出向量表示形式解出解出解出rxxxLRxxxrxLRxxxxxxCRxxxCxCxrxRxLLLL1321113211311132122222112211333113000xyxxL2、（15分）求出下面的输入输出描述的一个状态空间描述。