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勾股定理讲义

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1

勾股定理

姓名_________

【知识储备】

一、直角三角形的性质：

角关系：内角和180°、两锐角互余；

边关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

边角关系：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、直角三角形的判定：

1.有一个角是900的三角形是直角三角形；

2.两锐角互余的三角形是直角三角形；

3. 勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足“两边的平方和等于第三边的平方”，

那么这个三角形是直角三角形。

三、常用解题模型：

1、常见勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③5、12、13；④7、24、25；⑤8、15、

17；⑥9、12、15；⑦9、40、41。

2、直角三角形已知两边求第三边：直接算；已知两边关系和第三边长：列方程；

3、常见三角形及其比例关系：

4、面积关系：以直角三角形三边为标准向外作同种同形，较小两图形的面积之和等于

最大图形的面积。

【专题讲解】

一、梯子问题

例、一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的

顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远?

2

练习：

1、长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端A距地面的垂直距离为8m。

（1）求梯子的底端B距离墙角的距离。 （2）如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也向外滑动1m?

方法指导：梯子滑动问题：梯子长度保持不变。

2、在第1题的前提下：

（1）梯子顶端下滑的距离可能与梯子底端向外滑动的距离相等吗?是多少?

（2）如果梯子的顶端下滑3m，那么它的底端向外滑动的距离是否也是3m?

（3）有人说，在滑动过程中，梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大，你赞同

吗?

（4）设点P是梯子AB的中点，试判断梯子在滑动的过程中，点P到点C的距离是否

变化，并简述理由。

（5）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△ACB的面积最大?简述理由，并求

出面积的最大值。

【挑战题】（2016年全国初中数学联赛初三组初赛）设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，

梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q

点时，Q离开地面的高度为k

，梯子的倾斜角为45°，将该梯子的顶端放于另一堵墙的

R点时，R离开地面的高度为h

，且此时梯子的倾斜角为75°，则小巷的宽度w等于

（ ）。

A、h

B、k

C、hk

D、

2kh

3

二、影响问题

例：如图，AC为公路，B是一所学校，∠CAB=300

，A、B相距600米，一台拖拉机从A

向C以5米/秒的速度行进，已知拖拉机的噪音能影响周围500米，问学校是否会受到影响？

如果会，受到的影响会持续多长时间？

方法指导：辅助线作法：过目标点作行进路线的垂线。

练习：如图，OM、ON为相交成30度角的两条公路，在OM上距O点160米有一所小学A，

拖拉机沿ON方向以每小时18千米的速度行驶，在小学周围100米范围内会受到拖拉机噪

音的影响．试问小学是否会受到拖拉机噪音的影响？若受到影响，影响时间有多长？

三、折叠问题

例1：

如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。现将其折叠，使点D与点

B重合。求：（1）DE的长；（2）折痕EF的长；（3）折叠后重合的是哪个图形?求出其面积；

（4）求折叠后的图形五边形AEFC’B的面积。

4

练习：

1、

如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.

（1）求证：△FAC是等腰三角形； （2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

2、

如图，将矩形ABCD纸片沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC的F处，已知CE=3cm，

AB=8cm，求图中阴影部分的面积．

3、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC

为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时

EC有多长？

【挑战题】

（柳州中考）

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落

在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是多少？

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(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理

(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理

1） 第十八章勾股定理

第一部分 知识网络

一、重、难点

重点：勾股定理及其逆定理的应用。

难点：勾股定理及其逆定理的应用。

二、知识要点梳理

知识点一：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

知识点二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

三、规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

勾股定理复习讲义

勾股定理复习讲义

1 21EDCBA勾股定理复习

班级______姓名_________

一．知识归纳

１．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么____________,

2.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边

如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.

若2c2a+2b，则△ABC是 ；若2c2a+2b，则△ABC不是 .

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222abc中，a，b，c为_____整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等

题型一：直接考查勾股定理

例１.（1）在ABC中，90C，17AB，15AC，BC＝

（2）在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

（3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

（4）已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为 2cm

练习1：求下列阴影部分的面积：

（1） 正方形S＝ ； （2）长方形S＝ ； （3）半圆S＝ ；

2：如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，

BC边上的高AD＝8，则边BC的长为

例2.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

D C B A

2 题型二：勾股定理的逆定理及判断三角形的形状

例3.已知ABC中，13ABcm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC

《勾股定理》考点复习

《勾股定理》考点复习

1 《勾股定理》专题复习

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方- 最小边的平方=中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

4、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。

勾股定理基础讲义

勾股定理基础讲义

第一章 勾股定理

1 S1

S2 S3 A

B C

第一章 勾股定理及逆定理

【基础检测】

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于__________的平方。如果两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么______________。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边c所对的角为________角。满足________的三个正整数a、b、c，称为一组勾股数。

1.1勾股定理的基础应用

类型一 勾股定理及逆定理的概念理解

例1 在△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，c=13，则b=_______。

（2）若a：b=3：4，且c=30，b=_________。

同步练习：在RtABC中， 90C，

（1）如果a=3，b=4，则c= ；

（2）如果a=6，b=8，则c= ；

（3）如果a=5，b=12，则c=

；

(4) 如果a=15，b=20，则c= .

例2 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）

A 3, 4, 5 B 6, 8, 10 C 5, 7, 10 D 5, 12, 13

同步练习：由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A a=7，b=25，c=24 C a=45，b=1，c=32

B a=2.5，b=2，c=1.5 D a=15，b=20，c=25

类型二 勾股定理与面积

例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3 =225，则S2= 。

同步练习：已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个小正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，则S1，S2，S3之间满足的关系式是___________。 第一章 勾股定理