2011年上海高考数学理科试题答案

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上海（理科）历年高考数学试卷及答案（2011-2015）2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分） 1．函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 。

2．若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 。

3．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。

4．不等式13x x+<的解为。

5．在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为。

6．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是千米。

7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为。

8．函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为。

9．马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

10．行列式a b c d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是。

11．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ?= 。

12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

13．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为。

!321P(ε=x )x14．已知点(0,0)O ．0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10P R 中的一条，记其端点为1Q ．1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q ．2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞= 。

个人总结今年是我进入大学的第四年。

两年来，在各级领导和同学们的关心、帮助下，通过自身不断努力，各方面均取得一定的进步。

现总结如下：思想政治学习方面。

始终保持与党中央高度一致，认真学习江泽民总书记“三个代表”重要思想和“七一”讲话精神，积极参加学院及班上组织的思想政治学习活动，不断提高自身的政治素质。

坚决拥护独立自主原则及“一国两制”的方针，反对任何形式的霸权主义和分裂主义。

政治上要求进步，积极向党组织靠拢。

不满足于党校内入党积极分子培训所获得的党的基本知识，在工作、学习和生活中增强自身的党性原则，按照新党章规定的党员标准来要求自己，虚心向身边的党员学习，并结合国内国际政治生活的大事，定期作好思想汇报。

工作作风方面。

在学生会的工作中，我始终以广大同学的共同利益为最基本的出发点，这一点正是符合了“三个代表”中的最基本也是最重要的一条：要代表最广大人民的根本利益。

所以，处处从同学们的需要出发，为同学们服好务。

两年来，自己也严格遵守学校制定的各项工作制度，积极参加学校组织的各项活动，虚心向有经验的同学请教工作上的问题，学习他们的先进经验和知识。

敢于吃苦、善于钻研，能按规定的时间与程序办事，较好地完成领导交办的工作。

同时积极主动配合其他部门工作的开展，不断提高工作效能。

知识学习方面。

学习刻苦，态度认真，只是在学习方法和能力上有些欠缺，在今后的学习中需要改进。

作为**世纪的接班人，新世纪在悄悄降临之际也给我们带来了新的要求，经济日新月异，科技翻天覆地，所以更多、更快、更广的吸收新知识即成了放在我们面前必须解决的一个问题，我通过这两年的大学学习，对于专业方向、节奏、程度、难易度等等，也有所了解，投入了不少时间再学习上，每次考试也发挥的可以。

在大学的后两年中，对学习任务有了更高的要求，在这样的关键时刻，我会加倍努力学习，把更好的成绩带进大四。

所以，如果说这是对我的压力，到不如说是对我的考验，我一定会全力以赴。

总之，过去的两年，是不断学习、不断充实的两年，是积极探索、逐步成熟的两年。

参考答案填空题 1.12x+ 提示：12y x =-，反解得12x y=+，所以反函数11()2f x x -=+. 2.{}|01x x <<提示：U A =ð{}|01x x <<. 3.16提示：5,c =则295,m +=所以16m =. 4.0x <或12x ≥提示：原不等式等价于210,x x -+≤解得102x x <或≥.5. 提示：直线(2cos sin )2ρθθ+=的直角坐标方程为22,x y +=直线cos 1ρθ=的直角坐标方程为1;x =夹角的余弦值为cos θ=夹角大小为提示：45,ACB ∠=由正弦定理得,sin 60sin 45AC AB=AC =千米.提示：由底面积为π，可得底面半径为1，则底面周长为2π，圆锥母线长为2，高为3.提示：1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最大值为12.9.2提示：设问号处为 x ,叹号处为y .则21x y +=.所以123422E x y x x y ξ=⋅++=+=. 10.6提示：行列式的值为()22126ad bc -⨯--⨯=≤,所以最大值是6. 11.152提示：以BC 中点O 为原点，OC 为x 轴正方向建立坐标系，则3,02B ⎛⎫-⎪⎝⎭，A ⎛ ⎝⎭，1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以3,2AB ⎛=- ⎝⎭，1,2AD ⎛=- ⎝⎭，32715442AB AD ⋅=+=. 12.0.985提示：设至少有2个同学在同一月份出生为事件A ，则9129P ()1()10.98512P A P A =-=-≈.13.[]15,11-提示：对于任意整数n ，[]3,4x n n ∈++时，()()()f x x g x x n g x n n =+=-+-+。

由于[]3,4x n -∈，所以()f x 在区间[]3,4n n ++上的值域为[]2,5n n -+.所以()f x 在区间[]10,10-上的值域为[]15,11-.提示：设一点S 的坐标为(),1x ，定义函数()22f x OS =-=.题设中整个流程就是用二分法求函数()f x 的零点，令()0f x =，解得x =所以0lim n n Q P →∞=lim 2n n OP →∞=）. 选择题 15.D提示：由b a ,同号及均值不等式易知选（D ）. 16.A提示：易知（B ）（C ）（D ）在规定区间上都不是单调递减，而（A ）满足题意.所以选（A ）. 17.B提示：任意建立坐标系可得点M 坐标的每个分量都是5个已知点坐标对应分量的算术平均数，所以这样的点只有一个，故选（B ）. 18.D提示：1i i i A a a +=，若{}i A 为等比数列，则12i i i iA a A a ++=为定值,反之也成立. 所以应该选（D ）. 解答题19.解：∵ 1(2)(1i)1i z -+=-,∴12i z =-设22i,z a a R =+∈，则12(2i)(2i)(22)(4)i z z a a a ⋅=-+=++-. ∵12z z R ⋅∈，∴4=a ，∴242i z =+.20.解：（1）当0,0a b >>时，因为x x b a 3,2⋅⋅都单调递增，所以函数()f x 在R 内是增函数. 当0,0a b <<时，x x b a 3,2⋅⋅都单调递减，所以函数()f x 在R 内是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>,当0,0a b <>时，322xa b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则32log 2a x b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭；当0,0a b ><时，322xa b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则32log 2a x b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.21.解：设正四棱柱的高为h .（1）连结1AO ，如图1，∵1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠=.∵11AB AD =，1O 为11B D 的中点， ∴111AO B D ⊥. 又1111AO B D ⊥，∴11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠=. 在11Rt AB A △中，111tan AA h A B α== ；在11Rt AO A △中，111tan .AA AO β=∴tan βα==.（2）解法一：建立如图2所示的空间直角坐标系，有()()()()110,0,,1,0,0,0,1,0,1,1,A h B D C h ，则()()()111,0,,0,1,,1,1,0AB h AD h AC =-=-=.设平面11AB D 的一个法向量为(),,x y z =n ，∵11,,AB AD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ∴110,0.AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 由()()100,010,x y z h x y z h ⋅+⋅+⋅-=⎧⎪⎨⋅+⋅+⋅-=⎪⎩得.,zh y zh x ==∴(),,,zh zh z =n 取1z =得(),,1h h =n .由点C 到平面11AB D的距离为43AC d ⋅===n n，解得高2h =.解法二：连结11,,CD CB AC ,如图3.一方面，1111112AB D S AO B D △=⋅==则四面体C D AB 11的体积为12922+=h V .另一方面，设正四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为1V ，三棱锥111C B C D -的体积为2V ，则h V V V 31421=-=.据此，得1292312+=h h ，解得高2=h .图222.（1）解： 12349,11,12,13c c c c ====； （2）证明：∵数列{}n c 由{}n a 、{}n b 中的项构成， ∴只需讨论数列{}n a 中的项是否为数列{}n b 中的项.∵对任意*n N ∈，()()23127232366123--=+-=+=+-=n n b n n n a ；∴是12-n a 数列{}n b 中的项.下面用反证法证明n a 2不是{}n b 中的项.假设n a 2是数列{}n b 中的项,设n a 2k b =，则213,72623-=+=+⋅n k k n ，与*k N ∈矛盾. ∴ 在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a .（3）解： 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+.∵63656667k k k k +<+<+<+，∴,32131223k k k k k b a b a b <<<=--- ,3,2,1=k ，∴3231*23,43,42,,41,,4,k k n k k b n k b n k c k a n k b n k N --=-⎧⎪=-⎪=∈⎨=-⎪⎪=⎩. 综上*63,43,65,42,66,41,67,4n k n k k n k c k k n k k n kN +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.23.解：（1）设(),3Q x x -是线段():3035l x y x --=≤≤上任一点，则)35PQ x =≤≤，当3x =时，min PQ =(),d P l =.（2）不妨设()()0,1,0,1B A -为l 的端点，则D 为线段()1:11l y x =≤，线段2:1(1)l y x =-≤，半圆()()221:111,C x y x ++=-≤半圆()()222:111C x y x -+=≤所围成的区域，如图 1.这是因为对()y x P ,，1x -≤，则()y l P d =,；而对()y x P ,，()();1,,122y x l P d x +-=-<则对()y x P ,，1>x ，则()()221,y x l P d +-=.于是D 所示的图形面积为π+4.（3）① 选择()()()()1,3,1,0,1,3,1,0A B C D --，(){},|0x y x ==Ω,如图2.② 选择()()()()1,3,1,0,1,3,1,2A B C D ---.(){}(){}(){}2,|0,0,|4,20,|10,1x y x y x y yx y x y x y x ===-<++=>Ω≥≤，如图3.③ 选择()()()()0,1,0,0,0,0,2,0A B C D .(){}(){},|0,0,|,01x y x y x y y x x ==<Ω≤≤≤(){}(){}2,|21,12,|4230,2x y xy x x y x y x =-<--=>≤，如图4.图1图2图3。