复变函数论作业及答案

习题1

第一章 复数及复变函数

1.1313222zi求|z|，Argz

解：1232122z

Argz=arctan3212+2k=23k, ,2,1,0k

2．211iz,2zi3,试用指数形式表示2121zzzz及

解：211izie4

2zi3ie62

所以21zzie62ie4ie122

21zziiiieeee125)64(6421212

3． 解二项方程440za )0(a

解 由440za得44za

那么二次方程的根为

41kwa 〔k=0,1,2,3〕

=24kiea 〔k=0,1,2,3〕

0w4iea2a(1+i)

23441(1)2iiaweaeai 542(1)2iaweai

743(1)2iaweai

4 .设1z、2z是两个复数，求证：

),Re(2||||||212221221zzzzzz

证明：2121221zzzzzz

2122212121222112212221Re2zzzzzzzzzzzzzzzz

5． 设123z,z,z三点适合条件：

1230zzz及1231zzz

试证明123z,z,z是一个内接于单位圆周1z的正三角形的顶点。

证明：设111zxiy，222zxiy，333zxiy

因为1230zzz

1230xxx，1230yyy

123xxx，123yyy

又因为1231zzz

三点123z,z,z在单位圆周上，且有222222112233xyxyxy

而2222112323xyxxyy

2223231xxyy

232321xxyy

同理)(22121yyxx13132323221xxyyxxyy

可知222222121223231313xxyyxxyyxxyy 0 1 2 3 X y 即122313zzzzzz

123z,z,z是一个内接于单位圆周1z的正三角形的顶点得证。

6．以下关系表示的点z的轨迹是什么图形？他是不是区域？

〔1〕111zz

令zxiy,由11zz得2211zz即2211xx,所以0x,故以虚轴为左界的右半平面;是区域

〔2〕0arg(1)4z且2Re3z

解:由0arg(1)4z且2Re3z

得:0arctan14yx且23x

即为如图阴影所示〔不包括上下边界〕;不是区域。

7.证明：z平面上的直线方程可以写成azazc(a是非零复常数，c是实常数)

证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c均是实常数，a,b不全为零)

因为：x = 2zz, y = 2zz代入简化得：

11022abizabizc

令102abi得zzc

反之〔逆推可得〕设有方程zzc〔复数0，c是常数〕

用zxiy代入上式，且令12abi化简即得。

8.试证：复平面上三点a+bi,0,1abi共直线。

证明： 因为1()0()abiabiabi=221ab〔实数〕

所以三点共直线。

9．求下面方程给出的曲线 z=titasincos

解:令z= iyx=titasincos得 x=tacos,y=tbsin

那么有12222byax,故曲线为一椭圆.

10．函数w=z1将z平面上曲线变成w平面上的什么曲线ivuwiyxz,

〔1〕2x+2y =4

解:由于2x+2y=2z= 4 ,又由于

w=z1=iyx1=22yxiyx=iyx41

所以4,4yvxu

那么411612222yxvu

这表示在w平面上以原点为圆心,21为半径的一个圆周.

〔2〕1x

解:将1x代入变换uiv=1xiy,得uiv=11iy=211iyy

于是u=211y,21yvy,

且22222211.(1)1yuvuyy

故220uuv 解得2211()24uv

这表示w平面上的一个以(1,02)为圆心,12为半径的圆周.

〔3〕221(1)xy

解：因为 221(1)xy 即 2220xyx 即.0zzzz

将 1zw 及 1zw代入得： 1111.0wwww

即 1..wwwwww

因此 1ww

12u(v可任意取值)

表示w平面上平行于虚轴的直线。

11. 求证：()arg(0)fzzz在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.

证 设0z,使角形区域00argargzz及负实轴不相交,从图上立即可以看出,以0z为中心,0z到射线0argz的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取00sinz.那么当0zz时就有0argargzz.因此argz在0z0z的任意性,知()argfzz在所述区域内为连续.

设1x是负实轴上任意一点,那么

1Im0limargzzxz 及

1Im0limargzzxz

故argz在负实轴上为不连续.

〔如以下图〕

12.命函数fz22000xyzxyz

试证：fz 在原点不连续。

证明：fz22000xyzxyz

当点zxyi沿ykx趋于0z时，kkzf1

当k取不同值时，fz趋于不同的数

fz在原点处不连续。

13. 流体在某点M的速度v=-1-i，求其大小和方向。

解 大小：|v|=11=2；

方向：arg v=arctan 1314。

14. 412cossin244iiie；

21cossin22iie；

011cos0sin0iie；

22cossin2iie；

233cossin322iie；

还有22,1,1ikiiieee〔k为整数〕

15.将复数 1-cos +isin 化为指数形式。

解 2=2sin +2isin cos 222原式 =2sin2sincos22i

=2sin2cossin2222i=2sin2e22i 16.对于复数.，假设=0，那么.至少有一为零.试证之。

证 假设=0，那么必 ||=0，因而

||||=0.

由实数域中的对应结果知||.|.至少有一为零.

17.计算38.

解 因-8=-8(cosisin),故

3(8)k=38(2cos3k+2sin3ki).

(k=0,1,2)

当k=0时, 30(8)=38(cossin)33i

=132()13;22ii

当k=1时, 31(8)2(cossin)2;i

当k=2时, 3255(8)2(cossin)2(cossin)13.3333iii

，

18.设1z及2z是两个复数，试证212221221Re2zzzzzz并应用此等式证明三角不等式(1.2)。

证：

212221212122212121221121212121221Re2zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

其次，由所证等式以及212121Re2zzzzzz就可导出三角不等式(1.2)。

19. 连接1z及2z两点的线段的参数方程为

121zztzz01t

过 1z及2z两点的直线的参数方程为 121zztzzt

由此可知,三点1z 2z 3z共线的充要条件为

3121zztzz (t为一非零实数)

3121Im0zzzz

20．求证：三个复数1z，2z，3z成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式

211332232221zzzzzzzzz。

证 ：321zzz是等边三角形的充要条件为：向量21zz绕1z旋转3或3即得向量31zz，也就是

iezzzz31213，

即

izzzz23211213，

即

izzzz23211213，

两端平方化简，即得

211332232221zzzzzzzzz。

21.试证：点集E的边界E是闭集。即证

EE。

证：设z为的聚点。取z的任意邻域zN，那么存在zz0使得zNz0且Ez0。在zN内能画出以0z为心，充分小半径的圆。这时由Ez0可见，在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在。于是，在zN内属于E的点和不属于E的点都存在，故Ez。因此E是闭集。

22.设有函数=z2,试问它把z平面上的以下曲线分别变成平面上的何种曲