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《复变函数论》答案

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第1页 《复变函数论》答案

一、单项选择题

1．在复平面上方程|z-i|=|z+i|表示（ A ）

A．直线 B．圆周

C．椭圆周 D．抛物线

2．在复平面上方程|z+1|=4表示( B )

A．直线 B．圆周

C．椭圆周 D．抛物线

3．arg(13)i( C )

A. 3 B. 6 C. 56 D. 2,6kk

4．arg(1)i( B )

A. 4 B. 4 C. 54 D. 2,4kk

5．在z平面上处处解析的函数是( B )

A. 31()fzz B. 3()fzz C. ()fzz D. ()Refzzz

6．下列函数中( A )是整函数.

A. 1()1fzz B. ()1fzz C. 2()fzz D. ()Imfzz

7．2||2sin(1)zzdzz( C )

A. 0 B.sin1 C. 2cos1i D. 2sin1i

8．2||1cos(2)zzdzz( A )

A.0 B. 2sin2i C. 2cos2i D. 2sin2i

第2页 9．幂级数112nnnnnzz的收敛半径是( A )

A. 1 B. 2 C.14 D.12

10．在复平面上不等式|z-2|<3表示（ C ）

A．直线 B．圆周 C．圆 D．正方形

11．arg()i( A )

A. 2 B. 2 C. 32 D. 32,2kk

12．在z平面上处处解析的函数是( C )

A. 21()1fzz B. ()fzz C. 2()1fzz D. ()Imfzz

13．||2sin1zzdzz( D )

A. 0 B.2sin1i C. 2cos1i D. 2sin1i

14．幂级数1!nnnz的收敛半径是( A )

A. 0 B. 1 C. 2

D. e

15．幂级数21nnzn的收敛半径是( B )

A.0 B. 1 C.2

D.4

16．0z是2cos()zfzz的( C )极点

A.0 B. 1 C.2

D.4

17．1z是2cos()zfzz的( D )

A.零点 B. 极点 C.孤立奇点 D.解析点

第3页 18．下列等式中，成立的是( C )

A.22LnzLnz B.rg(2)arg()Aii C.10Ln D.Re()zzzz

19．在复平面上，下列命题中，不正确的是( B )

A. 22sincos1zz B. 0ze C.cossinizeziz

D. 10i是5zfze的周期

20．下列等式中，不正确的是( C )

A.33lnzlnz B.arg(2)arg()ii C.0zLnz D.Im()0zz

二、填空题

1. Im(1+i)4=_ _0______.

2. Re(1+i)4=____-4______.

3.345iz，则z= 1 .

4. 13zi，则z= 2 .

5.方程41z在复数域中共有_ 4 个根.

6.方程21z在复数域中共有_ 2 个根.

7.设是1的n次根，1，则21n= -1

8.设31ie，32ie，则12= 1 .

9.设22()(1)zfzze，则0z是()fz的____4____阶零点.

10.设()1zfzez，则0z是()fz的____2____阶零点.

11.()fz以z=a为m级极点，则z=a为2()fz 2m 级极点.

12.(),()fzgz以z=a为3级和4级极点，则z=a为()()fzgz的 4 级极点.

第4页 13.(),()fzgz以z=a为5级和2级极点，则z=a为()()fzgz 3 级极点.

14.()fz以z=a为m阶零点，且m0，则z=a是()fz的__m-1___阶零点.

15.()zfze，则()fz在0z的邻域内泰勒展式为212!nzzzn.

16.21()1fzz，则()fz在0z的邻域内泰勒展式为2421nzzz.

17. 设sincoszi，则z的三角表示为cossin22i.

18.设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有___i .

19.设1()1fzz，则)(zf的孤立奇点有___-1 .

20.幂级数0nnzn的收敛半径为____1_____ .

21.幂级数0nnnz的收敛半径为____1_____ .

22.4z在点1zi处的伸缩率为 82 .

23.3z在点zi处的伸缩率为 3 .

24.ze在点1zi处的伸缩率为 e .

三、完成下列各题

1.求16iie

解 1613cossin6622iiieiieee

第5页 2.求nLi.

解 n2,2Liikik

3. 求34Lni

解 434ln5arctan2,3Lniikik

4. 函数2()fzz在复平面上何处可导？何处解析？

解 仅在0z处可导，处处不解析.

5. 函数222()2fzxyixyy,zxiy在复平面上何处可导？何处解析？

解 仅在直线0y上可导，在复平面上处处不解析.

6. 函数2()fzxiy,zxiy在复平面上何处可导？何处解析？

解 仅在直线12x处可导，处处不解析.

7. 计算211sin1zzdzz

解 2111sinsin2011zzzzdzizz

8. 计算211sin41zzdzz

解 2111sinsin2442112zzzzidzizz

第6页 9. 计算211sin1zzdzz

解 2111sinsin2011zzzzdzizz

10. 将sinz展开为z的幂级数.

解 2101sin21!nnnzzn (z)

11. 将cosz展开为z的幂级数.

解 201cos2!nnnzzn (z)

12. 将1z展开为1z的幂级数.

解 0111111nnnzzz (11z)

四、

1. 用留数计算积分：312(1)(2)(4)(5)zdzizzzz.

解

31212(1)(2)(4)(5)()()1113412311112612zzzdzizzzzResfzResfz

第7页 2. 用留数计算积分：912(1)(2)(5)(10)zdzizzzz.

解

91012(1)(2)(5)(10)()()1098511985360zzzdzizzzzResfzResfz

3. 用留数计算积分 222211zzzdzz。

解

2221212112()2216zzzzzdzziResfzizzi

4. 用留数计算积分 222211zzzdzz。

解

第8页 2221212112()2216zzzzzdzziResfzizzi

五、

1. 计算20sin1xxdxx

解

2220sin1sin11Im2Im2121212()2izizzizixxdxxxdxzezeiResixxzzie

2. 计算2cos16xxdxx

解 2244cosRe2Re201616(4)izizzizixxdxzezeiResixzzi

3. 计算20cos21xdxx

解

2222220cos21cos211Re2Re2121212()2izizzizixxeedxiResixxzzie

4. 计算22sin(1)xdxx

解 22222sinIm2Im20(1)(1)()izizzizixeedxiResixzzi

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复变函数答案2答案

复变函数答案2答案

一、判断题（30分）： 四 川 大 学 高 等 教 育 自 学 考 试

（2012 年 上 半年）

电子工程专 业

试 卷(B)

总 分 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八

核分人 题 分

复查人 得 分

一、判断（20分）

1. 若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )

3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在. ( )

1. 若()fz在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有()0Cfzdz.（ ）

2. 若()0()fzzD，则函数()fz在是D内的单叶函数.（ ）

3. 若0z是()fz的m阶零点，则0z是1()fz的m阶极点.（ ）

4. 如果函数()fz在:1Dzz上解析，且()1(1)fzz,则()1(1)fzz.（ ）

5. sin1()zzC.（ ）

二、填空题（20分）

1. 若21(1)1nnnzinn，则limnz___________.

2. 设21()1fzz，则()fz的定义域为____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________.

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案

复变函数测验题

1 第一章 复数与复变函数

一、 选择题

1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（ ）

（A）i （B）i （C）1 （D）1

2．设复数z满足3)2(zarc，65)2(zarc，那么z（ ）

（A）i31 （B）i3 （C）i2321 （D）i2123

3．复数)2(taniz的三角表示式是（ ）

（A）)]2sin()2[cos(seci （B）)]23sin()23[cos(seci

（C）)]23sin()23[cos(seci（D）)]2sin()2[cos(seci

4．若z为非零复数，则22zz与zz2的关系是（ ）

（A）zzzz222 （B）zzzz222

（C）zzzz222 （D）不能比较大小

５．设yx,为实数，yixzyixz11,1121且有1221zz，则动点),(yx的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

６．一个向量顺时针旋转3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i31，则原向量对应的复数是（ ）

（A）2 （B）i31 （C）i3 （D）i3 复变函数测验题

2 ７．使得22zz成立的复数z是（ ）

（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数

８．设z为复数，则方程izz2的解是（ ）

（A）i43 （B）i43 （C）i43 （D）i43

９．满足不等式2iziz的所有点z构成的集合是（ ）

（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域

复变函数论

复变函数论

复变函数论产生于十八世纪。1774年， 欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个 方程。而比他更早时，法国数学家 达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在 柯西和 黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是 欧拉、 达朗贝尔，法国的

拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是 柯西、 黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、 阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、 积分方程、 概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

广义 解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象 薄壳理论这样的 固体力学部门也在应用。

复变函数论第三版课后习题答案 2

复变函数论第三版课后习题答案 2

第一章习题解答

（一）

1．设132iz，求z及Arcz。

解：由于3132iize

所以1z，2,0,1,3Arczkk。

2．设121,312izz，试用指数形式表示12zz及12zz。

解：由于64121,322iiizezie

所以()64641212222iiiizzeeee

54()146122611222iiiizeeeze。

3．解二项方程440,(0)zaa。

解：1244444(),0,1,2,3kiizaaeaek。

4．证明2221212122()zzzzzz，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()zzzzzz

2221212122Re()zzzzzz

所以2221212122()zzzzzz

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z1，z2，z3三点适合条件：0321zzz,1321zzz。证明z1，z2，z3是内接于单位圆1z的一个正三角形的顶点。

证 由于1321zzz，知321zzz的三个顶点均在单位圆上。

因为 33331zzz

212322112121zzzzzzzzzzzz

21212zzzz

所以， 12121zzzz，

又 )())((122122112121221zzzzzzzzzzzzzz

322121zzzz 故 321zz，

同理33231zzzz，知321zzz是内接于单位圆1z的一个正三角形。

6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。