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初中数学中考解直角三角形复习指导

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- 1 - / 3 解直角三角形复习指导

1．什么条件下可以解直角三角形?

三角形中共有六个元素.在直角三角形中，由于有一个角(即直角)是已知的，所以通常是在已知两个元素求另外三个元素，这里的元素是指边和角(直角除外).

已知的两个元素中，不能都是锐角，因为一个三角形只知道角不能确定三角形的大小，所以根本不可能求出三边的长.故已知的两个元素中，至少要知道一条边.

解直角三角形有两种类型：

(1)已知一边和一锐角，求另外两边和另一锐角；

(2)已知两边求第三边和两个锐角.

例1．已知：在△ABC中，∠C＝90°，a＝7，∠A＝60°，求∠B，b,c.

解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°,

b＝a·tanB＝7·tan30°＝.3314sin,337Bbc

说明：(1)求三角形的边长，应算出最简结果(包括分母有理化).因本题没有给出精确度，所以最后结果可以保留根式的形式.

(2)本题还可以用勾股定理或直角三角形中30°的内角所对的边等于斜边的一半，来求边c.

2．解直角三角形两种类型的解法如下表

已知 解法公式

已知边和一锐角 斜边和锐角 C、A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·sinB

C、B A＝90°－B，b＝c·sinB，a＝c·sinA

直角边和一锐角 a、A B＝90°－A，b＝a·tanA，c＝Aasin

a、B A＝90°－B，a＝b·cotB，c＝Bbsin

b、B

A＝90°－B，a＝b·tanA，c＝Bbsin

b、A B＝90°－A，a＝b·tanA，c＝Bbsin

已知两边 两直角边 a、b cbBcaAbacsin,sin,22

斜边和一直角边 c、a cbBcaAacbsin,sin,22

c、b cbBcaAbcasin,sin,22

注意：(1)尽量使用给定的原始数据； word

- 2 - / 3 (2)角的某种三角函数值确定后，可以查表求出角的度数.

3．解直角三角形时应注意以下几点：

(1)解直角三角形的公式不可死记，要灵活地运用；

(2)解直角三角形求出的元素(不包括直角)共有3个；

(3)要准确地应用公式，认真计算，防止出错；

(4)解直角三角形时，近似计算的数字，如无特别说明，边长保留四个有效数字，角精确到1′；

(5)尽可能避免开方运算；

(6)有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决.

例2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC.

分析：因为△ABCBC边上的高，可把原三角形变成两个直角三角形，再利用三角函数的定义，即可求解.

解：过点A作AD⊥BC于D.在Rt△ADC中，

∵AC＝2，∠C＝45°，sinC＝ACAD，

∴AD＝AC·sin45°＝2×222，∴DC＝AD＝2.

在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AD＝2，

∴AB＝2AD＝22.∵cosB＝ABBD，∴BD＝AB·cosB＝22×623.

∴BC＝BD＋DC＝26.∴AB为22，BC为26.

说明：斜三角形中的边角计算问题，往往通过作高转化为解直角三角形的问题.这也是本章解题的基本方法之一，必须熟练掌握.

例3．一个等腰三角形的两边长为4和6，求底角的余切值.

分析：在一些与直角三角形密切联系的图形(如等腰三角形、等腰梯形或一般梯形等图形)中，我们往往根据给出的条件，构造直角三角形，本题则通过作底边上的高，构造出底角所在的直角三角形，从而求出底角的余切值.

解：如图，过顶点A作底边BC的垂线，垂足为D.

(1)当AB＝4，BC＝6时，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝BC21＝3，∴AD＝7342222BDAB

word

- 3 - / 3 ∴cotB＝.77373ADBD

(2)当AB＝AC＝6，BC＝4时，∵AD⊥BC，∴BD＝DC＝2

.42cot.24262222ADBDBBDABAD

综上可知，底角的余切值为.42773或

说明：本题的条件中，已知等腰三角形的两边长为4和6，这里要对4为腰、6为腰两种情况进行讨论.

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中考数学复习解直角三角形

中考数学复习解直角三角形

中考数学复习解直角三角形

知识考点：

本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。

精典例题：

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，sinA＝52，D为AC上一点，∠BDC＝450，DC＝6，求AB的长。

分析：由∠C＝900，∠BDC＝450，可知DC＝BC＝6，再由sinA＝ABBC＝52即可求出AB的长。

变式：如图，在△ABC中，∠B＝900，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝450，∠ACB＝600，求AB的长。

分析：设AB＝x，通过解Rt△ABC和解Rt△ABD即可。

评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。

【例2】如图，在△ABC中，∠A＝300，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则cot∠CFB＝（ ）

A、361 B、321 C、334

D、341

分析：因为∠CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB是它的一个锐角，由EF⊥AB联想到作EF的平行线CD，得到Rt△CDB即可求解。

【例3】已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝352，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB的长。

分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。

。

评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。

探索与创新：

【问题】如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝a，AC＝b。证明：CabSABCsin21

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形知识点整理复习

解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。

一、基本概念

1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。

2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。

二、特殊角度的三角函数值

1.0°和90°的三角函数值：

正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；

余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；

正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。

2.30°和60°的三角函数值：

正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；

余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；

正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3

三、三角函数在特定角度的性质

1. 正弦函数sin的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时 sinA = y/r

其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

2. 余弦函数cos的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时

cosA = x/r

其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。

3. 正切函数tan的性质：

当角A的终边经过点(x,y)时

tanA = y/x

其中x不等于0。

4.三角函数的周期性：

三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。

四、特殊角的三角函数值的计算

1.特殊角度的三角函数值：

根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。

2.夹角的三角函数值：

两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。 3.弧度和角度的转换：

一圈等于2π弧度或360°；

一个弧度等于180°/π。

五、直角三角形的基本定理

初中数学_解直角三角形及其应用中考复习教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_解直角三角形及其应用中考复习教学设计学情分析教材分析课后反思

解直角三角形及其应用教学设计

【导学目标】

1、理解锐角三角函数的概念，并准确记忆30°，45°，60°角的三角函数值。

2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

【导学过程】

一、知识梳理

1、锐角三角函数的定义：

在Rt△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=90°，

∠A的正弦sinA=ca斜边的对边A；

∠A的余弦cosA=）（）（________；

∠A的正切tanA=）（）（________.

2、特殊的三角函数值：

α sinα cosα tanα

300

450

600

常见的特殊直角三角形：

(1)含30°角的直角三角形中三边之比_________________.

(2)含45°角的直角三角形中三边之比___________________.

3、解直角三角形应用中的有关概念：

⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角

铅直水平线 视线

视线

⑵坡度坡角：如图，斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。

【设计目的】：1.做好知识铺垫，为夯实基础。

2.

抓好关键概念学习。

3. 培养数形结合思想

二、典例分析

考点一 锐角三角函数的概念

典例1、正方形网格中，AOB∠如图放置，则sinAOB∠＝（ ）

对应训练

1.如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（ ）

A．513B．1213C．512D．125

2．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ ）

A．23B．32C．21313D．31313

【设计目的】：利用坐标、网格渗透数形结合思想，培养添加辅助线的意识。

考点二 特殊角的三角函数值

典例2、 0033sin602cos458

对应训练

初中数学中考解直角三角形复习指导

初中数学中考解直角三角形复习指导

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- 1 - / 3 解直角三角形复习指导

1．什么条件下可以解直角三角形?

三角形中共有六个元素.在直角三角形中，由于有一个角(即直角)是已知的，所以通常是在已知两个元素求另外三个元素，这里的元素是指边和角(直角除外).

已知的两个元素中，不能都是锐角，因为一个三角形只知道角不能确定三角形的大小，所以根本不可能求出三边的长.故已知的两个元素中，至少要知道一条边.

解直角三角形有两种类型：

(1)已知一边和一锐角，求另外两边和另一锐角；

(2)已知两边求第三边和两个锐角.

例1．已知：在△ABC中，∠C＝90°，a＝7，∠A＝60°，求∠B，b,c.

解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°,

b＝a·tanB＝7·tan30°＝.3314sin,337Bbc

说明：(1)求三角形的边长，应算出最简结果(包括分母有理化).因本题没有给出精确度，所以最后结果可以保留根式的形式.

(2)本题还可以用勾股定理或直角三角形中30°的内角所对的边等于斜边的一半，来求边c.

2．解直角三角形两种类型的解法如下表

已知 解法公式

已知边和一锐角 斜边和锐角 C、A B＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·sinB

C、B A＝90°－B，b＝c·sinB，a＝c·sinA

直角边和一锐角 a、A B＝90°－A，b＝a·tanA，c＝Aasin

a、B A＝90°－B，a＝b·cotB，c＝Bbsin

b、B

A＝90°－B，a＝b·tanA，c＝Bbsin

b、A B＝90°－A，a＝b·tanA，c＝Bbsin

已知两边 两直角边 a、b cbBcaAbacsin,sin,22

斜边和一直角边 c、a cbBcaAacbsin,sin,22

c、b cbBcaAbcasin,sin,22

注意：(1)尽量使用给定的原始数据； word

- 2 - / 3 (2)角的某种三角函数值确定后，可以查表求出角的度数.