第十三章 拉普拉斯变换

第十三章 拉普拉斯变换

一、教学基本要求

1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。

2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。

3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。

二、教学重点与难点

教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开；

2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路；

3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。

教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法；

2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。

三、本章与其它章节的联系：

是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。

四、学时安排 总学时：6

教 学 内 容 学 时

1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2

2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2

3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2

4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题

2

五、教学内容

§13－1 拉普拉斯变换的定义

1. 拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。

2. 拉普拉斯变换的定义

一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为

式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。

第十三章 拉氏变换在电路分析中的应用

重点：

1． 元件的复频域模型

2． 拉氏变换及其在电路分析中的意义

3． 应用拉氏变换分析线性电路

在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程，而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于2或者输入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。

拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代替相应的时间函数，即可将原线性微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。

13-1 有关知识的复习

13.1.1 拉氏变换的定义

一、拉氏变换

定义在区间)0[，内的函数)(tf，其拉氏变换)(sF的定义为00)()(dtetfsFst

其中s为复频率js，)(sF为)(tf的象函数，)(tf为)(sF的原函数。

二、拉氏反变换

jcstjcdsesFjtf0)(21)(

三、表示

L )()]([sFtf，L )()]([1tfsF

注意：我们用大写的字母表示频域量，如)(sU、)(sI等，用小写字母表示时域量，如)(tu、)(ti。

13.1.2 拉氏变换的基本性质

一、唯一性：原函数)(tf与象函数)(sF一一对应。

二、线性性：)()(11sFtf，)()(22sFtf，则：)()()()(22112211sFAsFAtfAtfA

三、时域导数特性：L )0()()]('[fssFtf

四、时域积分特性：L ssFdft/)()(0

五、卷积定理：L )()()]()([2121sFsFtftf

13.1.3 常用时间函数及其象函数

见书中P294。——一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形式，然后通过查表得到结果。AtA)(sAtA)(sAAet

常用拉普拉斯变换总结

1、指数函数

000)(ttAetft，其中，A和a为常数。

sAteAteAeAeLtssttt0)(0dd][

2、阶跃函数

000)(ttAtf，其中，A为常数。

sAtAeALst0d][

3、单位阶跃函数

4、斜坡函数

，其中，A为常数。

000dd][tsAeseAttAteAtLststst

A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t0时刻的单位斜坡函数写成r（t-t0）

5、单位斜坡函数

000)(ttttf 0010)(tttustetuLst1d)]([0000)(ttAttf20dsAtesAst000dd][tsesetttetLststst

201d1stesst

6、正弦函数

00sin0)(tttAtf，其中A为常数。

根据欧拉公式：

拉式变换为：

2201212d)(2]sin[sAjsjAjsjAteeejAtALsttjtj

同理余弦函数的拉式变换为：22]cos[sAstAL

7、脉动函数

ttttttAtf000,000)(，其中，A和t0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成。

)()()(000ttutAtutAtf

)1()()()]([00000000ststestAestAstAttutALtutALtfL )(tft图2.3正弦函数和余弦函数)(tft(a)(b)00)(21sintjtjeejt8、脉冲函数

第十三章 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)

本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。

§13-1 拉普拉斯变换定义

教学目的：拉普拉斯变换的定义。

教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。

教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：

一、引言

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

二、拉普拉斯拉斯变换的定义

一个定义在 区间的函数 ,其拉氏变换 定义为:

e-stdt

式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频率。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。

F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

三、几个常见函数的拉氏变换 1．

2．

§13-2 拉普拉斯变换的基本性质

教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

教学重点：拉普拉斯变换的性质。

教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：

一、唯一性

定义在 区间的时间函数 与其拉氏变换 存在一一对应关系。根据 可以唯一的确定其拉氏变换 ；反之，根据 ，可以唯一的确定时间函数 。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。 二、线性性质