高一数学专题：集合(导学案含答案 )

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

一、集合的概念

1．集合与元素

一般地，我们把_研究对象_统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,表示．把一些元素组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,表示．

说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．

2．元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作____aA___；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作____aA__．学@科网

注意：aA与aA取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立．

3．集合中元素的特征

（1）确定性__：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．

（2）互异性_：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

（3）无序性__：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．

4．集合相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

二、常用的数集及其记法

1．全体非负整数_组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

2．所有正整数_组成的集合称为正整数集，记作N或N；

3．全体_整数__组成的集合称为整数集，记作Z；

4．全体__有理数__组成的集合称为有理数集，记作Q；

5．全体_实数__组成的集合称为实数集，记作R．

易错点：N为非负整数集（即自然数集），包括0，而N表示正整数集，不包括0，注意区分．

三、集合的表示方法 1．列举法

把集合的元素_一一列举_出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．

（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R表示所有实数是错误的，应是R．

2．描述法

用集合所含元素的_共同特征_表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共同特征．

说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．

四、Venn图，子集

1．Venn图的概念

我们经常用平面上封闭曲线_的内部代表集合，这种图称为Venn图．

说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．

（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．

2．子集

（1）子集的概念

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：

（2）子集的性质

①任何一个集合是它自身的子集，即AA．

②传递性，对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC．

五、从子集的角度看集合的相等

如果集合A是集合B的_子集（AB），且集合B是集合A的子集_（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB．用Venn图表示AB如图所示．

六、真子集

1．真子集的概念

如果集合AB，但存在元素_xB_xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）．

如果集合A是集合B的真子集，在Venn图中，就把表示A的区域画在表示B的区域的内部．如图所示：

2．真子集的性质

对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

辨析：子集与真子集的区别：若AB，则AB或AB；若AB，则AB．

七、空集

1．空集的概念

我们把_不含_任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．

2．空集的性质

（1）空集是任何集合的_子集_，即A；

（2）空集是任何非空集合的真子集_，即A．

注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．

八、并集

1．并集的概念

一般地，由_所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B_（读作“A并B”），即,ABxxAxB或．用Venn图表示如图所示：

（1） （2） （3）

由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，AB恒有意义，图中阴影部分表示并集．

注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．

2．并集的性质

对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：

（1）()AAB，()BAB； （2）AAA；

（3）AA； （4）ABBA．

九、交集

1．交集的概念

一般地，由_属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A∩B____（读作“A交B”），即{|},ABxxAxB且．用Venn图表示如图所示：

（1）A与B相交（有公共元素） （2）AB，则ABA （3）A与B相离（AB）

注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．

（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．

2．交集的性质

（1）(),()ABAABB； （2）AAA；

（3）A； （4）ABBA． 十、全集与补集 1．全集的概念

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网

说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集．

2．补集的概念

对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即,UAxxUxA且．用Venn图表示如图所示：

说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．

（2）若xU，则xA或UxA，二者必居其一．

3．全集与补集的性质

设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：

（1）UU； （2）UU； （3）UUAA；

（4）UAAU； （5）UAA．

1．集合的概念

判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．

【例1】下列各组对象中不能构成集合的是

A．正三角形的全体 B．所有的无理数

C．高一数学第一章的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解

【答案】C

【解析】C中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合．A，B，D中的对象满足集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够构成集合．

2．元素与集合之间的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．

若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若aA，且集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．

【例2】已知{21}Mx|xa,aZ，则有

A．1M B．0M C．2M D．1M

【答案】D

【解析】设121a，则0aZ，即1M，同理可得0M，2M，1M．

【名师点睛】解决本题的关键是根据集合M中元素的一般形式分别判断1，0，2，1是否为该集合中的元素，即分别判断方程21a=1，0，2，1是否有整数解．

3．集合的表示方法

对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．

但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．

【例3】选择适当的方法表示下列集合：

（1）1和70组成的集合；

（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．

（3）大于1且小于70的实数组成的集合．

（4）平面直角坐标系中函数2yx图象上的所有点组成的集合．

【答案】答案详见解析．

（4）设平面直角坐标系中函数2yx图象上的所有点组成的集合为E，函数2yx图象上的点可以用坐标(,)xy表示，则有{(,)|2}xyyx． 4．集合相等

从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．

【例4】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a，2，2b，且两集合相等，求a，b的值．

【答案】01ab或1412ab．

5．判断两个集合之间的关系

（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B．

（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；

对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．

【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系：

（1）{1,2,4}A，{|8}Bxx是的约数；

（2）{|3,}AxxkkN，{|6,}BxxzzN；