向量知识点总结
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1. 理解向量 (平面向量、空间向量) 的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的
概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了
解向量的基本定理， 掌握向量的数量积及其几何意义， 了解用向量的数量积处理有关长度、
角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。
2. 理解向量 (平面向量、空间向量) 的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点
间的距离公式。
3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。
(一)向量的基本运算
1. 有关概念
( 1 )向量——既有大小又有方向的量叫做向量。
常用有向线段表示向量
(|方向
向量二要素〈|长度
(2) 向量的模—有向线段的长度| AB|， | a |
长度等于1的向量叫做单位向量，
a = 0 a
| a |
零向量 0 ( 0 的方向不定) ， | 0 |= 0
( 3 )共线向量(平行向量) ——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。
(|长度相等
(4) 相等的向量——〈|方向相同 a = b
规定： 0 = 0
向量可以在平面(或空间)平行移动而不变。
规定：零向量与任一向量平行。
2. 向量有三种形式(或三种表示) 几何表示 — 几何运算 代数表示 — 代数运算
坐标表示 — 坐标运算
3. 向量的加法、减法与数乘
( 1 )向量的加法——三角形法则或平行四边形法则
如图：
向量加法的多边形法则
如图， 求 a + b + c
( 2 )向量的减法：
a - b = a + (- b )， 即向量 a 加上 b 的相反向量。 ) ) ) )
① a + b = b + a ) ) ( a - b 的箭头指向被减向量)
( 3 )实数与向量的乘积
(|长度|入 a|=|入| · | a|
入 a〈方向：
入
>
0时与同向
) )
入入
00时时与，入aJ 入 a ∥ a
) ) ) ) ) ) ※ b ∥ a ( a 丰 0 ) 一 存在唯一实数入， 使 b = 入 a
4. 向量的运算法则(加、减、数乘)
) ) )
设向量 a ， b ， c 及实数入， 山， 则： ②( a + b ) + c = a + ( b + c )
③(入 + ) a = 入 a + a
④入( a + b ) = 入 a + 入 b
⑤|入 a |=|入| · | a |
⑥| a || b || a 士 b || a |+| b |
(此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等
式。 )
5. 平面向量基本定理(向量的分解定理)
e ， e 是平面内的两个不共线向量， 那么对该平面内任一 向量 a ， 存在 1 2
唯一实数对入 ， 入 ， 使得 a = 入 e + 入 e 。
(这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的
和 。入 e + 入 e 叫做向量 e ， e 的线性组合， e ， e 叫做表这一平面内所
有向量的一组。 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 (|①基底不唯一， 关键是不共线)|
(②基底给定， 分解形式唯一 )
应用：
) ) 设OA， OB 不共线， 点P在直线AB上 (即A、B、P三点共线)
) ) )
一 OP = 入 OA+ pOB 且入 + p = 1 (入， p = R)
(二)向量的坐标运算
) ) 1. 在直角坐标系内， 分别取与x轴， y轴同方向的两个单位向量 i ， j 作为基
) ) ) )
底， 则该平面内任一 向量 a ， 有且只有一对实数x， y， 使得 a = x i + y j ，
) )
称 (x， y) 叫做向量 a 的 (直角) 坐标， 记作 a = (x， y)， 即为向量的坐标表
示。
) ) ) (如图， 当把向量 a 的起点移至原点时， (x， y) 是向量 a = OA 终点A的
) )
坐标，即A(x， y)， x， y 是向量 a 在x， y轴上的射影，与 a 相等的向量的坐标 也相同。 )
2. 向量的坐标运算
已知 a = (x1， y1 )， b = (x2， y2 )， 入 R
则： (1) a + b = (x1 i + y1 j ) + (x2 i + y2 j )
= (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j
= (x1 + x2， y1 + y2 )
(2) a b = (x1 x2， y1 y2 )，设A(x1， y1 )， B(x2， y2 )
BA = a b = (x1 x2， y1 y2 ) | AB|= (x1 _ x2 )2 + (y1 _ y2 )2
) (3) 入 a = 入(x1， y1 ) = (入x1， 入y1 )
(三)平面向量的数量积
1. 数量积的概念
) ) ) ) ) ) 设向量 OA = a ， OB = b ， ∠AOB = 9 叫做向量 a 与 b 的夹角 。记作
) ) ) ) < a ， b >， 0。共 < a ， b > 共 180。
) ) ) ) ) ) (1) 数量 | a | · | b |cos9 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积) ， 记作 a · b
) ) ) ) 即 a · b =| a | · | b |cos9
(2) 数量积的几何意义：
) ) ) ) ) ) ) a · b 等于 a 的模| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b |cos9 的乘积。
2. 数量积的运算法则 一 (x1， y1 ) = 入(x2， y2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) (1) a · b = b · a ， a · 0 = 0 · a = 0
) ) ) ) ) ) (2) (入 a ) · b = 入( a · b ) = a · (入 b ) (入 = R)
) ) ) ) ) ) ) (3) ( a + b ) · c = a · c + b · c
注意：数量积不满足结合律！
) ) ) ) ) ) ( a · b ) · c 丰 a · ( b · c )
) ) (4) a = (x1， y1 )， b = (x2， y2 )， 则
) ) a · b = (x1， y1 ) · (x2， y2 ) = x1 x2 + y1 y2
3. 重要性质
) ) ) ) ) ) ) ) (1) 设 e 是单位向量， 9 =< a ， e >， 则 e · a = a · e =| a | · cos9
) ) ) ) (2) a ⊥ b 一 a · b = 0 一 x1 ·x2 + y1 ·y2 = 0
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) (3) a ∥ b 一 a · b =| a | · | b |或 a · b = -| a | · | b |
) ) ) ) 一 a = 入 b ( b 丰 0 ) (入 唯一确定)
