向量知识点总结

1、向量的加法：

AB+BC=AC设a=（x,y）b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a 结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a 2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y') 若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0·

若a垂直b

则a·b=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法设a=（x,y）b=(x',y')

用坐标计算向量的内积：a·b(点积）=x·x'+y·y'

a·b=|a|·|b|*cosθ　

a·b=b·a

(a+b)·c=a·c+b·c a·a=|a|的平方向量的夹角记为∈[0,π]

Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)

(a·b)·c≠a·(b·c)

a·b=a·c不可推出b=c 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使

向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ) 则有

y=(y1+λy2)/(1+λ) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λａ，且∣λａ∣=∣λ∣*∣a∣,当λ＞0时，与a同

方向；当λ＜0时，与a反方向。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩

小。

- 1 -

平面向量知识点总结归纳

1、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；

③00aaa．

⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy． b a C





abCC - 2 -

设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．

4、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

5、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．

6、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）

平面向量基础知识复习

1平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.

举例1已知

(1,2)A，

(4,2)B，则把向量

AB

按向量

(1,3)a

平移后得到的向量是_____.结果：

(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：

0

，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与

AB共线的单位向量是

||AB

AB

）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量

a

、

b

叫做平行向量，记作：

a

∥

b

，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有

0

)；

④三点

ABC、、共线

ABAC

、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.

a

的相反向量记作

a

.

举例2如下列命题：（1）若

||||ab



，则

ab



.

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若

ABDC

，则

ABCD是平行四边形.

（4）若

ABCD是平行四边形，则

ABDC

.

（5）若

ab



，bc



，则

ac

.

（6）若//ab



，

//bc



则

//ac.其中正确的是.结果：（4）（5）

二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如

AB

，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如

a

，

b

，

c

等；平面向量基础知识复习

23.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与

平面向量

1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量

2、 向量的表示方法

（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB.

（2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a， b， c…向量

手写时 带箭头的小写字母 a，b…

3、向量点的长度（模）

向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB|、｜a｜

4、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行

a＝0｜a｜＝0

单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a为单位向量｜0a｜＝1

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量

记作a∥b

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为ba

即大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx

6、

对于任意非零向量的单位向量是 .

7、向量的加法

（1）三角形法则

设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC

对于零向量与任意向量a的和有aaa00

（2）平行四边形法则

已知两个不共线的向量a，b，做,ABaBCb，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b.

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．

8、向量加法的运算律

（1）交换律 a+b=b+a

（2）结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

9、向量的减法

)(baba 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量