1 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形垂心的性质
设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、
C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的
垂心；
3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH•HD=BH•HE=CH•HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
2 9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、 设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
垂心的向径
定义
设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，
1 / 23 专题17 三角形及其性质
☞解读考点
知 识 点 名师点晴
三角形的重要线段 中线、角平分线、高线 理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线
三角形的中位线 理解并掌握三角形的中位线的性质
三角形的三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围
三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180° 掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理
三角形的外角 三角形的外角的性质 能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明
☞2年中考
【题组】
1．（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C．
【解析】
试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．
考点：三角形三边关系．
2．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C．
【解析】
试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．
考点：三角形的外角性质．
3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2 / 23 【答案】D．
考点：三角形的外角性质．
4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
B．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
第八讲 三角形（一）
专项一 三角形的概念及重要线段
知识清单
1.
三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段
所围成的图形叫做三角形.
2. 三角形的分类
3. 三角形的三边关系
三角形的任意两边之和
第三边，任意两边之差 第三边.
三角形具有 性.
4. 三角形中的重要线段
考点例析
例1 若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个即可）
分析：根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，求得第三边长的取值范围.
归纳：三角形的三条边必须满足“任意．．两边之和大于第三边”，一定不要忽略“任意”二字，在具体应用时，根据“判断两条较短的线段之和是否大于第三条较长线段”确定是否能构成三角形. 按边分 三边都不相等的三角形
等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
按角分 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
例2 （2021·聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF的值为 .
分析：根据三角形三条高所在的直线交于一点，可得BF⊥AC，再根据等积法得到CE∶AD∶BF的值.
归纳：正确理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段.其中，三角形的高不一定是在三角形的内部，钝角三角形的两条高在外部，直角三角形的高与两条直角边重合.
跟踪训练
1.下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）
A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2
2.（2021·衢州）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为（
定边五中
九
年级
数学 科导学案（总第 课时）
主备人 备课组审核 领导审核 授课人 班级
学生姓名 组 号
课题：三角形及其性质 备注
一、学习目标
1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性.
2．探索并掌握三角形中位线的性质.
3．了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件.
4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；了解等边三角形的概念并探索其性质.
5．了解直角三角形的概念.探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.
6．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
.
二、知识梳理
知识点一、三角形的概念及其性质
1．三角形的概念
由________________的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2．三角形的分类
(1)按边分类：
(2)按角分类：
3．三角形的内角和外角
(1)三角形的内角和等于________.
(2)三角形的任一个外角等于____________两个内角之和；三角形的一个外角_______任何一个和它不相邻的内角.
4．三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和_____第三边，任意两边之差_____第三边.
5．三角形内角与对边对应关系 在同一个三角形内，大边对_____，大角对______；在同一三角形中，等边对______，等角对______.
6．三角形具有稳定性.
知识点二、三角形的“四心”和中位线
三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
