第21届希望杯初一2试试题详细解答

第21届希望杯初⼀2试试题详细解答

第⼆⼗⼀届“希望杯”全国数学邀请赛

初⼀ 第2试

得分 ⼀、选择题（每⼩题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母写在每题后⾯的圆括号内．1．若a-b 的相反数是2b-a ，则b=( )

(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.

2．某⼯⼚3⽉份的产值⽐2⽉份增加10%，4⽉份的产值⽐3⽉份减少10%，则( )

(A)4⽉份的产值与2⽉份相等． (B)4⽉份的产值⽐2⽉份增加

99

1． (C)4⽉份的产值⽐2⽉份减少991． (D)4⽉份的产值⽐2⽉份减少1001． 3．如图1，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外⾓分别记为α，β，γ，．若α：β:γ，=3:4:5， 则∠A ：∠B ：∠C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.

4．若m=2

2011201020102009?+?，则m 是( ) (A)奇数，且是完全平⽅数． (B)偶数，且是完全平⽅数．

(C)奇数，但不是完全平⽅数． (D)偶数，但不是完全平⽅数．

5．有两个两位数的质数，它们的差等于6，且它们平⽅的个位数字相同，

这样的两位质数的组数是( )(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．

6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm 2,and the area of

thombus BCPQ is 156cm 2. Then the area of the shadow part is ( )

(A) 23cm 2. (B) 33cm 2. (C) 43cm 2. (D) 53cm 2.

（英汉词典：square 正⽅形；thombus 菱形）7．要将40kg 浓度为16%的盐⽔变为浓度为20%的盐⽔，则需蒸发掉⽔( )

(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.

8．如图3，等腰直⾓△ABC 的腰长为2cm.将△ABC 绕C 点逆时针旋转90。

则线段AB 扫过的⾯积是( ).2)(2cm A π

.)(2cm B π .2

3)(2cm C π .2)(2cm D π 9．若⼀个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”．则不是“巧数”的两位数的个数是( )(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.

10.如果在⼀个正⽅体的每个⾯内写⼀个正整数，然后，在每个顶点处再写⼀个数，该数等于过这个顶点

的三个⾯内的数的乘积，那么当该正⽅体各个顶点处的数之和是290时，各个⾯内的数之和等于( )(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.

⼆、填空题（每⼩题4分，共40分．）11.甲、⼄两车从A 向B ⾏驶，甲⽐⼄晚出发6⼩时，甲、⼄的速度⽐是4：3.甲出发6⼩时后，速度提 ⾼1倍，甲、⼄两车同时到达B ．则甲从A 到B 共⾛了 ⼩时． 12.若有理数x,y ，岁满⾜⽅程0|2|)2(2=++-+y x y x ，则=+32y x13.图4是⼀个六⾓星，其中,60 =∠AOE =∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

14.加⼯某种⼯件，须顺次进⾏三道⼯序，⼯作量的⽐依次是2：1：4．甲完成1个⼯件与第⼆个⼯件的前两道⼯序，所⽤时间为t ．已知甲和⼄的加⼯效率⽐是6:7，则⼄完成⼀个⼯件，需要的时间是f 的____倍．15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所⽰，它的俯视图是菱形，

则这个直四棱柱的侧⾯积为 .2cm16.有这样⼀种衡量体重是否正常的算法：⼀个男⽣的标准体重（单位：

千克）等于其⾝⾼（单位：厘⽶）减去110.当实称体重在标准体重的90%和110%之间（舍边界）时，就认为该男⽣的体重为正常体重，已知

男⽣甲的⾝⾼是161厘⽶，实称体重是55千克．根据上述算法判定，

甲的体重 正常体重（填“是”或“不是”）．17. If a 2?a +1and a 2+a ?3 are opposite numbers to each other,

and themverse number of a is less than the opposite number of a,

then 20102009a a +=

（英汉词典：inverse number 倒数；opposite 相反的）18.从长度为1的线段开始，第⼀次操作将其三等分，并去掉中间的⼀

段；第⼆次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的⼀段．

此后每次操作都按这个规则进⾏．图6是最初⼏次操作的⽰意图，当完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为

19.已知m ，n 都是正整数，且n m m 364-是整数．若n

m 的最⼤值是a ，最⼩值是b ，则a+b= 20.从最⼩的质数算起，若连续n （n 是⼤于1的⾃然数）个质数的和是完全平⽅数，则当n 最⼩时，n

1|2n

-|

-

=

答案详解：1、B a ?b =?(2b ?a )=a ?2b ，b =0

2、D 设2⽉份的产值为1，3⽉份的产值就是1.1，4⽉份的产值⼜⽐3⽉份减少10%，那么4⽉份的产值

是 1.1×(1?10%)=0.99，所以4⽉份的产值⽐2⽉份减少0.01，即1100 3、A 设α+β+γ=3k+4k+5k=12k ，多边形外⾓和360度

法⼀：k=360/12=30度，求出∠A=90度∠B=60度∠C=30度，∠A ：∠B ：∠C=3：2：1

法⼆：180度=6k ，互为邻补⾓之和为180度，∠A ：∠B ：∠C=6k-3k ：6k-4k ：6k-5k=3：2：14、B m =2009×2010+2010×2011

2=2010×(2009+2011)2=2010×2×2010

2=20102

5、D 两位数的质数有11，13，17，19，23……，差是6的个位搭配有（1，7），（3，9），（7，13）红⾊

的这组⽐较容易忽略，平⽅的个位数相同的质数个位搭配有（1，9），（3，7），综合两个条件，符合的质数组有（17，23），（37，43），（47，53），（67，73）四组6、C 图中阴影部分为不规则图形，常⽤割补法或作差法，此处使⽤作差法⽐较简单。 正⽅形ABCD ⾯积已知169 cm 2，可得BC=13 cm ，菱形BCPQ ⾯积已知156 cm 2，

所以⾼QE=12 cm ，可求得梯形BCMQ ⾯积为126 cm 2，作差得阴影⾯积为43 cm 27、A 法⼀：原盐⽔含盐40kg ×16%=6.4kg ，⽔蒸发后盐⽔总质量为6.4kg/20%=32kg

法⼆：设蒸发⽔Xkg ，40×16%=（40-X ）×20%，解得X=88、B 图像转动了90度，线段AB 扫过的是个圆环，如果这是个完整的圆环，

圆环的⾯积是以BC 为半径的圆减去以AC 为半径的圆，⾯积是

π(2√2)2

π22=4πcm 2, 将△ABC 绕C 点逆时针旋转90度,AB 并没有扫

过整个圆环，但是如果旋转360度就是完整的圆环，根据周期性，可得

此时AB 扫过的⾯积是1/4圆环的⾯积，就是πcm 29、C 设ab ，有10a+b=4a+4b ,得2a=b ，巧数有12，24，36，48，其中10到99共有90个 两位数，不是巧数的两位数有90-4=86（个）

10、C 如图分别设六个⾯上的正整数为a,b,c,d,e,f 。

依题意有abe+abf+bcf+cdf+cde+ade+adf+bce

=ab(e+f)+cd(e+f)+bc(e+f)+ad(e+f)

=(ab+cd+bc+ad)(e+f) =[a(b+d)+c(b+d)](e+f)

=(a+c)(b+d)(e+f)=290

因为290=2×5×29=1×10×29 ⼜因为a,b,c,d,e,f 为正整数，即a+c>1,

所以a+b+c+d+e+f=2+5+29=3611、8.4 法⼀：设甲的速度为4，⼄的速度为3，甲经过t 追上⼄

(12+t)×3=6×4+t ×8

解得t=2.4

法⼆：设⼄出发12⼩时后，甲⾛了4k ，⼄⾛了6k ，甲⽐⼄少⾛2k ；甲加速后12⼩时⾛16k ，

⼄⾛6k ，甲每追上1k 需要12/10k 时间，所以甲追上⼄需要（12/10k ）×2k=2.4⼩时。

甲后来追上⼄的时间，加上原来⾛的6⼩时，共8.4⼩时。 E MA1 B1 a b

c d e f

12、8 {x +y ?2=0x +2y =0

→{x =4y =?2→x 2+y 2=42+(?2)3=8

13、120° 如图，P 为AD 与BF 的交点。因为 ∠AOE=∠B +∠BPD , ∠BPD =∠D +∠F

所以∠AOE=∠B +∠D +∠F

同理∠AOE=∠A+∠C+∠E

所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2×∠AOE=120°14、0.6 甲每个⼯作量需要0.1t ，那么⼄每个⼯作量需要

0.1t ×67，完成⼀个⼯件，就是7个⼯作量，需时0.6t 15、80 根据图⽰，AC=3cm ，BD=4cm ，AC 与BD 相交于O 点，勾股定理可得，AO 2+BO 2=AB 2，AB=2.5cm ，侧⾯积S=8×AB ×4=80cm 216、是 90%×55<（161-110）/55<110%×55

17、0 {

a 2?a +1=?(a 2+a ?3)1a

)2，完成第六次操作后是原来的(23)6=64

729 19、1.8 设4m 6m?3n =t (…?2,?1,1,2…)注意，这⾥t 不能取0，

原式：4m=6mt-3nt(6t-4)m=3nt

m n =3t 6t?4=

12?43t (…?2,?1,1,2…) 当m n 取最⼤值时，要求(2?43t )取最⼩的正值，t=1，a=32

当m n 取最⼩值时，要求(2?43t )取最⼤的正值，t=-1，b=31020、89 将质数从2开始加，可得

2+3+5+7+11+13+17+19+23=100=102

所以n=9,|1?n ?n 2|=89P A B C D O