一元二次不等式及解法

一元二次不等式的解法

[学习目标]

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2.掌握图像法解一元二次不等式

[教学过程]

一、一元二次不等式的概念

一元二次不等式

定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数

解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合

思考 下列不等式是一元二次不等式的有________．

①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.

答案 ①②

解析 ①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．

二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} 错误! R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

思考 一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)

一元二次不等式的解法

教学目标

把握;

知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组;

了解简单的分式不等式的解法;

能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式,理解它们三者之间的内在联系;

能够进行较简单的分类讨论,借助于数轴的直观,求解简单的含字母的一元二次不等式;

通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想;

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生熟悉到事物是相互联系、相互转化的,树立辨证的世界观.

教学重点:;

教学难点:弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系.

教与学过程设计

课时

Ⅰ.设置情境

问题:

①解方程 ②作函数的图像

③解不等式

置疑在解决上述三问题的基础上分析,一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?

回答函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注重色彩或彩色粉笔的运用

在这里我们发现一元一次方程,一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?

Ⅱ.探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。

答方程的解集为

不等式的解集为

置疑哪位同学还能写出的解法?

答不等式的解集为

我们通过二次函数的图像,不仅求得了开始上课时我们

还不知如何求解的那个第小题的解集,还求出了的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见,暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题:

第 1 页 共 4 页 3.2一元二次不等式的解法（1）

一、选择题

1．已知2{|320}Axxx，2{|(1)0}Bxxaxa，当AB时,a的取值范围是( )

A.1a B.12a C.2a D.2a

2．集合23100,AxxxxZ，2260,BxxxxZ，则AB的子集有（ ）

A．15个 B．16个 C．7个 D．8个

3．若不等式022bxax的解集是}3121|{xx，则ba（ ）

(A)4 (B)14 (C)10 (D)10

4．若关于x的不等式axbxc20的解是x2或x12，则关于x的不等式cxbxa20的解是（ ）

（A）x2或x12 （B）212x （C）122x （D）x2或x12

5．设1a，则关于x的不等式0)1)((axaxa的解集是（ ）

(A)axx|{或}1ax (B)}|{axx (C)axx|{或}1ax (D)}1|{axx

6．若不等式22463122xkxkxx对xR恒成立，则实数k的取值范围是（ ）

（A）(,+) （B）(1,3) （C）(,1) （D）(,1)∪(3,+)

7．若不等式x2＋ax＋1  0对于一切x（0，12〕成立，则实数a的最小值是（ ）

A．0 B. –2 C.-52 D.-3

8．当,1x时，不等式21240xxaa恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A、12,4 B、13,22 C、1,4 D、,6

1 一元二次不等式及其解法⑴

【考点及要求】

会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

【基础知识】

一元二次不等式的解集情况如下表：

判别式acb42 0 0 0

二次函数

)0(2acbxaxy

的图象

一元二次方程)0(02acbxax的根

)0(02acbxax的解集

)0(02acbxax的解集

【基本训练】

1．不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 ．

2．若关于x的不等式01xax的解集为),4()1,(，则实数a= ．

3．已知不等式022cxax的解集为2131x，则ca ．

4．若关于x的方程09222kxkx两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k的取值范围是 ．

【典型例题讲练】

例1 ． 解下列不等式：

⑴ 01832xx (2) 18342xx

(3) 1212xx (4) 0)4()1)(2)(3(2xxxx

2 例2．已知不等式02cbxax的解集为,，且0，求不等式02abxcx的解集．

练习：已知不等式02qpxx的解集为2131|xx，求不等式012pxqx的解集．

【课堂小结】

1．解一元二次不等式的一般步骤 ；